Her Niceleyicisi

Merhabalar arkadaşlar, şimdi açık önermelere bakacağız.
Daha sonrasında her niceleyicisini inceleyeceğiz.
Şimdi, açık önerme nedir?
İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlerle doğru ya da yanlış olduğu belirlenen önermelere biz açık önerme diyoruz.
Açık önerme.
Buradaki bizim kriterimiz içinde en az bir tane değişken bulunacak yani x, y, z gibi değişkenler bulunmak zorunda açık önerme diyebilmemiz için.
Bir açık önermeyi doğrulayan elemanların kümesine ise o açık önermenin -biz ne diyoruz- doğruluk kümesi diyoruz.
Doğruluk kümesi.
Aslında bu çözüm kümesi de anlamını alıyor birinci dereceden denklemlerde.
Burada ise doğruluk kümesi adını alıyor.
Bakalım bir a sayısı P(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise yani onu sağlıyorsa o zaman biz ne diyeceğiz oraya?
Orayı da turuncu yazalım.
P(a) denktir 1 diyeceğiz çünkü onu sağlıyor.
Doğruluk kümesinin elemanı değilse bu sefer de P(a) denktir bu sefer 0'dır diyeceğiz çünkü bu da bizi olumsuzu hatırlatıyordu.
Bu da bize olumluyu hatırlatıyordu.
Bu şekilde şimdi bunların örneklerine bakalım Şimdi örneğimiz.
"P(x), x bir tamsayı ve x kare eksi 25 eşittir 0'dır" demiş.
Bu açık önermesi için doğruluk kümesini bulunuz ve p(6), p(5) ve p(0) ifadelerinin doğruluk değerleri bulunuz demiş.
Şimdi ilk önce biz ne yapalım?
a'yı bir inceleyelim, doğruluk kümesini bulalım.
Yani aslında bu denklemi bir çözelim bakalım çözdüğümüzde ne sayıları geliyor şimdi x kare eksi 25 eşittir 0'sa 25'i karşıya attığımızda x kare eşittir 25 olur ki burada x hangi sayıları alabilir?
Eksi 5 tam sayısını alabilir, bir de x eşittir 5 tam sayısını alabilir E o zaman demek ki biz bunun doğruluk kümesini nasıl yazarız?
Doğruluk kümesini de D ile gösterecek olursak parantezi açtık, eksi 5 ile 5'i bunun içine yazdığımızda biz bunun doğruluk kümesini oluşturmuş oluruz yani aslında denklemi çözer gibi çözüyoruz burada şimdi ikincisine bakalım yani b şıkkına, p(6), p(5), p(0) ifadelerinin doğruluk değerlerini bulunuz diyor yani aslında x'i yerine 6, 5, 1, 0 yazdığında bu denklemi sağlıyor mu?
Bunun derdindeyiz.
Şimdi ilk önce x eşittir 6 koyalım, x eşittir 6 koyalım.
x eşittir 6 için bu denklem ne olur?
36 eksi 25 olur ki 36 eksi 25'in sonucu 11'dir.
Bu 0'a eşit gelmedi çünkü biz 0'a eşittir dedik bu önermede.
0'a eşittir gelmediği için o zaman biz burada ne diyeceğiz?
P(6)'nın denginin 0 olduğunu söyleyeceğiz.
x eşittir 5 için inceleyelim.
x eşittir 5 zaten yukarıda bunun sağladığını göstermiştik yani doğruluk kümesinde vardı direkt olarak yazmış olalım.
Bu sağladığı için o zaman demek ki ne olacak?
direkt olarak P(5)'in denginin 1 olduğunu söyleyeceğiz.
x eşittir 0 için deneyelim bunu, ise eşittir 0 için de gelmeyeceği zaten çok bariz belli.
0'ın karesi 0 eksi 25 bu eksi 25 olur ki bu 0'a eşit değildir Bu yüzden biz ne diyeceğiz.
P(0), o zaman dengi burada 0 olacaktır.
Bu şekilde bunların da doğruluk değerlerini oluşturmuş olduk.
Şimdi biz işte niceleyicilere bakacağız aslında her ve bazı niceleyicileri.
Bu videoda her niceleyicisini inceleyeceğiz.
Şimdi her niceleyicisini biz şu şekilde ters v'nin içine şu şekilde bir çizgi çekerek gösteriyoruz.
Her niceleyicisi önüne geldiği elemanların tamamını anlattığı için -buradaki kısım önemli- tamamını anlattığı için biz bu niceleyiciye evrensel niceleyici diyeceğiz.
Evrensel niceleyici.
Yani aslında hepsini gösteriyor ve biz bunu yukarıda gösterdiğimiz gibi şu şekildeki sembolle göstereceğiz her niceleyicisi önemlidir.
Matematiksel tanımlarda ve teoremlerde bu genelde kullanılır çünkü matematikte tanımlar verilirken bütün geneli ifade etmesi gerektiği için her niceleyicisi burada kullanılmak zorundadır.
Her niceleyicisinin şimdi örneğine bakalım.
Aşağıda verilen önermeleri sembolik mantık kullanarak yazıp önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz demiş.
Şimdi burada ilk önce a'ya bir bakalım a'da ne demiş?
p önermesi "Her doğal sayının karesi pozitiftir." diyor.
İşte her kelimesini kullandığı için o zaman demek ki ki biz şu şekilde bir her sembolünü kullandık ve her doğal sayı dediği için biz ne yapacağız onu bir değişkenle ifade etmemiz lazım o zaman doğal sayılar dediği için biz bunu doğal sayıların elemanı ile gösteririz matematiksel olarak.
Her doğal sayının ne diyor, doğal sayıları seçtik.
Karesi pozitiftir diyor yani x kare büyüktür 0'dır Şimdi bu tamam, bunun yazımı ama acaba bu doğru mu?
Şimdi her doğal sayının karesi pozitif mi geliyor?
Hayır.
Mesela x eşittir 0'ı seçelim.
x eşittir 0 için 0'ın karesi tekrardan 0 geliyor ki bu pozitif değildir.
O zaman demek ki ne oldu?
Biz bunu sağlatamadık yani söylediği önerme yanlış geldi.
O zaman demek ki biz burada ne diyeceğiz?
p önermesinin biz burada denginin 0 olduğunu söyleyeceğiz çünkü sağlamıyor şimdi bir de burada b'ye bakalım.
"Her negatif tam sayının küpü negatiftir." diyor.
İlk önce bir yazalım.
Her sembolünü kullandım ve negatif tam sayı dediği için şu şekilde tam sayıların üstüne eksi işareti koydum ve bunun küpünün negatif olduğunu söylüyor yani x küp küçüktür doğrudur, seçtiğimiz bütün negatif tam sayılarda bu sağlar.
Mesela eksi 1 seçelim, eksi 2 seçelim, eksi 3 seçelim, eksi 99 seçelim küpüne aldığımız için o hiçbir zaman eksisini kaybetmeyeceği için hepsi sıfırdan küçük gelecektir.
O zaman demek ki biz burada ne diyeceğiz buna?
q'nun denginin de burada 1 olduğunu söylemiş olacağız yani doğruluk değerlerini de oluşturmuş olduk.