Merhabalar arkadaşlar şimdi aralarında asal sayıları inceleyelim.
1'den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla tam sayıya biz aralarında asal sayılar deriz.
Aralarında asal sayılar.
Şimdi bunlara birazcık örnek vermek istiyorum.
Şöyle mesela derdimiz sadece ortak böleni olmaması, aralarında asal dediğimiz için illa sayılarının birinde veya ikisinde asal olması gerekmiyor burada, sadece seçilen sayıların ortak bölenlerinin olmamasını istiyoruz biz.
Mesela bak örnek olarak 8 ile 15.
Şimdi bunlar normalde asal sayılar değil ama bakınız bunların ikisinde ortak bir bölen var mı 1 haricinde?
olmadığı için o zaman biz 8 ile 15 aralarında asal sayılar deriz.
Yani bunların ikisi de asal olmayarak aralarında asal hale getirilebildi veya tabi asal sayı da seçilebilir.
Ne olabilir mesela?
7 olsun diğeri de 9 olsun mesela 7 asal bir sayı, 9 asal bir sayı değil ama bakınız bunlar aralarında asaldır.
Çünkü ortak bir bölenleri yok veya burada mi?
Bir de harici olarak asal sayı bunlar ve bakınız bunların hiçbir ortak bölenleri olmadığı için bunlar aralarında asal sayılardır.
Mesela burada ben 9 ile 10 demek istiyorum.
Bir de çünkü ardışık sayıların da aralarında asal olduğunu söyleyelim.
Çünkü Ortak bölenleri olmadığı için bunlar asal olmamalarına rağmen aralarında asal sayılardır diyebiliriz biz burada.
Peki onlar alakalı bir özelliğimiz var, x ile y ve a ile b aralarında asal olmak üzere bunların oranları eğer eşitse demek ki harici olarak bunlar birbirlerine eşittir yani x burada a'ya eşit burada y de b'ye eşittir.
Çünkü aralarında asal oldukları için artık son böyle sadeleştirilmiş hale gelmişlerdir bunlar.
Sadeleştirilmiş halleri eşitse demek ki bunların birbirlerine eşit olduğunu söyleriz.
Peki örneğimiz, a ve b sayıları aralarında asal sayılardır.
a artı b bölü a eksi b 19 bölü 9 olduğuna göre a çarpı b'nin sonucunu bize soruluyor.
Şimdi biz a ve b sayıları aralarında asalsa bizim şöyle bir şey elde etmemiz lazım yani karşı tarafında da bir şey dediğimiz lazım ki ona göre bir eşitlik bulalım.
O zaman ben burada a bölü b'yi elde edebilmek için içler dışlar yapıyorum yani 9 ile a artı b'yi çarpıyorum, 9a artı 9b elde ediyorum.
19la da a eksi b'yi çarpıyorum 19a eksi 19b elde ediyorum.
Eksi 19b'yi sol tarafa 9a'yı da sağ tarafa alacak olursam burada 28 tane b olacak 28 tane b, sağ tarafta da 10 tane a olacak.
Her taraf 2 ile sadeleştirilsin, en son sadeleşmeyecek hale kadar gelsin yani burası 14 tane b olsun burası da 5 tane a olsun.
Bakınız biz a bölü b'yi istiyoruz değil mi?
O zaman b'yi buradaki 5a'nın altına 5'i de 14'ün altına alacak olursak yani şunu edecek olursak 14 bölü 5 eşittir a bölü b elde edecek olursak biz burada bakınız a ile b'nin aralarında asal olduğunu soru bize söyledi, 14 ile burada 5'in biz zaten aralarında asal olduğunu söyledik.
Çünkü bakınız sadeleşmiyorlar artık son ortak bölenleri yok.
O zaman demek ki direkt olarak 14 burada a'ya eşit, 5 de burada b'ye eşit deriz.
O zaman a eşittir 14, b eşittir 5 olur ki çarpımları soruluyor.
14 ile 5 çarpılırsa burada 70 elde edilir.
Evet diğer bir örneğimiz, a eksi 2b ve 3a artı b sayıları aralarında asaldır.
a eksi 2b bölü 3a artı b, 8 bölü 24 olduğuna göre a kare artı b kaçtır?
Şimdi bakınız a eksi 2b ile 3a artı b sayıları aralarında asal ve zaten bunları bölmüş.
O zaman bizim istediğimiz şeyi elde etmiş, o zaman sağ tarafın da aralarında asal olması lazım ama 8 ile 24 aralarında asal değiller.
O zaman sadeleşecekler, sadeleştirelim.
Direkt olarak 8 ile sadeleşir 1 ve burası 3 gelir.
direkt olarak deriz ki a eksi 2b 1'e eşit, 3a artı b 3'e eşit, ben bunları şöyle yazmak istiyorum: a eksi 2b 1'e ve 3a artı b de burada 3'e eşit.
Şimdi bizim a'yı ve b'yi ayrı ayrı bulmamız lazım ki a kare artı b'yi bulalım.
Ayrı ayrı bulabilmek için iki tane değişken ve iki tane denklem varsa bunların çözüm metotları vardır.
Bunlardan biri de yok etme metodudur.
Bir tane değişken seçilir ve o değişken alt alta toplayarak yok edilir.
Ben burada b'yi seçmek istiyorum, bakınız alt taraftaki denklemi ikiyle çarpıp ben tekrardan şuraya yazacağım.
a eksi 2b burada 1 olur.
Alt taraftakinde yazarsam 6a artı 2b eşittir 6 olur yani alt taraftaki ne gördüysem hepsini çarptı.
Şimdi alt alta toplarsak bakınız 2b'ler gitti yani yok ettim ve 6a ile de a'yı topladığımda 7'yi bulmuş oldum.
O zaman her tarafı bulurum.
Bir tane değişken bulunduktan sonra sonucu o zaman herhangi bir denklemde üsttekine veyahutta alttakinde bulduğumuz değişkenin yerine o sayı yazılırsa o zaman diğer değişkenler bulunacaktır.
Ben ilk denklemde yazmak istiyorum yani şurada a'nın yerine 1 yazıyorum, 1 eksi 2b eğer burada 1 ise eksi 2b sağ tarafa 1 de bu tarafa alınırsa 1 eksi 1'den sol taraf 0, burada sıfır olduğunu söyleriz.
Tamam b 0, a da 1, a kare artı b'yi istiyoruz.
a kare yani 1'in karesi 1.
b zaten 0, 1 ile 0'ı topladığımızda cevabımız 1 gelecektir.
Evet geldik son örneğimize.
Şimdi burada a artı 3 ve b eksi 2 sayıları aralarında asal sayılardır.
5a eksi 7b artı 29 eşittir 0 olduğuna göre a çarpı b bize soruluyor.
Şimdi bizim burada a artı 3'ü ve b eksi 2'yi elde etmemiz lazım.
O yüzden ben şuradaki 29'u parçalamak istiyorum ,sebebini açıklayacağım ve zaten göreceğiz.
5a artı 15 ve eksi 7b artı burada 14 olarak parçalanmış oldum bunu.
Bakınız zaten burası bizim istediğimiz gibi bakınız şurada 5a artı 15'i 5 parantezine alacak olursak a artı 3 geliyor yani istediğimiz şeye ulaşmış olduk.
Bu yüzden parçaladık.
Daha sonra burayı da eksi 7 parantezine alacak olursam eksi 7 parantezinde de b eksi 2 gelecek, b eksi 2 gelecek çünkü dağıttığımızda artı 14'ü vermeli.
Bak b eksi 2'yi de elde ettik.
O zaman eşittir 0 diyorum.
Şimdi şunu komple sağ tarafa alalım, sol tarafta çarpı b eksi 2 oldu.
E biz aralarında asal olduğunda bunların bir oranlarını bulmalıyız yani b eksi 2'yi a artı 3'ün altına 5'i de 7'nin altına alalım.
Yani şunu elde edelim: a artı 3 bölü b eksi 2 o zaman 7 bölü 5 olur.
Bakınız en son istediğimiz şeye ulaştık, a artı 3 ile b eksi 2 aralarında asal, sıkıntı yok.
7 ile 5 de aralarında asal o zaman demek ki direkt olarak karşılıklı birbirlerine eşitlerdir yani a artı 3 burada eğer 7 ise o zaman a'nın burada biz 4 olduğunu söyleriz ve aynı şekilde b eksi 2 de burada eğer 5 ise o zaman demek ki eksi 2'yi de karşıya aldığımızda b'nin de burada 7 olduğunu söyleriz.
a çarpı b soruluyor,
1'den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla tam sayıya biz aralarında asal sayılar deriz.
Aralarında asal sayılar.
Şimdi bunlara birazcık örnek vermek istiyorum.
Şöyle mesela derdimiz sadece ortak böleni olmaması, aralarında asal dediğimiz için illa sayılarının birinde veya ikisinde asal olması gerekmiyor burada, sadece seçilen sayıların ortak bölenlerinin olmamasını istiyoruz biz.
Mesela bak örnek olarak 8 ile 15.
Şimdi bunlar normalde asal sayılar değil ama bakınız bunların ikisinde ortak bir bölen var mı 1 haricinde?
olmadığı için o zaman biz 8 ile 15 aralarında asal sayılar deriz.
Yani bunların ikisi de asal olmayarak aralarında asal hale getirilebildi veya tabi asal sayı da seçilebilir.
Ne olabilir mesela?
7 olsun diğeri de 9 olsun mesela 7 asal bir sayı, 9 asal bir sayı değil ama bakınız bunlar aralarında asaldır.
Çünkü ortak bir bölenleri yok veya burada mi?
Bir de harici olarak asal sayı bunlar ve bakınız bunların hiçbir ortak bölenleri olmadığı için bunlar aralarında asal sayılardır.
Mesela burada ben 9 ile 10 demek istiyorum.
Bir de çünkü ardışık sayıların da aralarında asal olduğunu söyleyelim.
Çünkü Ortak bölenleri olmadığı için bunlar asal olmamalarına rağmen aralarında asal sayılardır diyebiliriz biz burada.
Peki onlar alakalı bir özelliğimiz var, x ile y ve a ile b aralarında asal olmak üzere bunların oranları eğer eşitse demek ki harici olarak bunlar birbirlerine eşittir yani x burada a'ya eşit burada y de b'ye eşittir.
Çünkü aralarında asal oldukları için artık son böyle sadeleştirilmiş hale gelmişlerdir bunlar.
Sadeleştirilmiş halleri eşitse demek ki bunların birbirlerine eşit olduğunu söyleriz.
Peki örneğimiz, a ve b sayıları aralarında asal sayılardır.
a artı b bölü a eksi b 19 bölü 9 olduğuna göre a çarpı b'nin sonucunu bize soruluyor.
Şimdi biz a ve b sayıları aralarında asalsa bizim şöyle bir şey elde etmemiz lazım yani karşı tarafında da bir şey dediğimiz lazım ki ona göre bir eşitlik bulalım.
O zaman ben burada a bölü b'yi elde edebilmek için içler dışlar yapıyorum yani 9 ile a artı b'yi çarpıyorum, 9a artı 9b elde ediyorum.
19la da a eksi b'yi çarpıyorum 19a eksi 19b elde ediyorum.
Eksi 19b'yi sol tarafa 9a'yı da sağ tarafa alacak olursam burada 28 tane b olacak 28 tane b, sağ tarafta da 10 tane a olacak.
Her taraf 2 ile sadeleştirilsin, en son sadeleşmeyecek hale kadar gelsin yani burası 14 tane b olsun burası da 5 tane a olsun.
Bakınız biz a bölü b'yi istiyoruz değil mi?
O zaman b'yi buradaki 5a'nın altına 5'i de 14'ün altına alacak olursak yani şunu edecek olursak 14 bölü 5 eşittir a bölü b elde edecek olursak biz burada bakınız a ile b'nin aralarında asal olduğunu soru bize söyledi, 14 ile burada 5'in biz zaten aralarında asal olduğunu söyledik.
Çünkü bakınız sadeleşmiyorlar artık son ortak bölenleri yok.
O zaman demek ki direkt olarak 14 burada a'ya eşit, 5 de burada b'ye eşit deriz.
O zaman a eşittir 14, b eşittir 5 olur ki çarpımları soruluyor.
14 ile 5 çarpılırsa burada 70 elde edilir.
Evet diğer bir örneğimiz, a eksi 2b ve 3a artı b sayıları aralarında asaldır.
a eksi 2b bölü 3a artı b, 8 bölü 24 olduğuna göre a kare artı b kaçtır?
Şimdi bakınız a eksi 2b ile 3a artı b sayıları aralarında asal ve zaten bunları bölmüş.
O zaman bizim istediğimiz şeyi elde etmiş, o zaman sağ tarafın da aralarında asal olması lazım ama 8 ile 24 aralarında asal değiller.
O zaman sadeleşecekler, sadeleştirelim.
Direkt olarak 8 ile sadeleşir 1 ve burası 3 gelir.
direkt olarak deriz ki a eksi 2b 1'e eşit, 3a artı b 3'e eşit, ben bunları şöyle yazmak istiyorum: a eksi 2b 1'e ve 3a artı b de burada 3'e eşit.
Şimdi bizim a'yı ve b'yi ayrı ayrı bulmamız lazım ki a kare artı b'yi bulalım.
Ayrı ayrı bulabilmek için iki tane değişken ve iki tane denklem varsa bunların çözüm metotları vardır.
Bunlardan biri de yok etme metodudur.
Bir tane değişken seçilir ve o değişken alt alta toplayarak yok edilir.
Ben burada b'yi seçmek istiyorum, bakınız alt taraftaki denklemi ikiyle çarpıp ben tekrardan şuraya yazacağım.
a eksi 2b burada 1 olur.
Alt taraftakinde yazarsam 6a artı 2b eşittir 6 olur yani alt taraftaki ne gördüysem hepsini çarptı.
Şimdi alt alta toplarsak bakınız 2b'ler gitti yani yok ettim ve 6a ile de a'yı topladığımda 7'yi bulmuş oldum.
O zaman her tarafı bulurum.
Bir tane değişken bulunduktan sonra sonucu o zaman herhangi bir denklemde üsttekine veyahutta alttakinde bulduğumuz değişkenin yerine o sayı yazılırsa o zaman diğer değişkenler bulunacaktır.
Ben ilk denklemde yazmak istiyorum yani şurada a'nın yerine 1 yazıyorum, 1 eksi 2b eğer burada 1 ise eksi 2b sağ tarafa 1 de bu tarafa alınırsa 1 eksi 1'den sol taraf 0, burada sıfır olduğunu söyleriz.
Tamam b 0, a da 1, a kare artı b'yi istiyoruz.
a kare yani 1'in karesi 1.
b zaten 0, 1 ile 0'ı topladığımızda cevabımız 1 gelecektir.
Evet geldik son örneğimize.
Şimdi burada a artı 3 ve b eksi 2 sayıları aralarında asal sayılardır.
5a eksi 7b artı 29 eşittir 0 olduğuna göre a çarpı b bize soruluyor.
Şimdi bizim burada a artı 3'ü ve b eksi 2'yi elde etmemiz lazım.
O yüzden ben şuradaki 29'u parçalamak istiyorum ,sebebini açıklayacağım ve zaten göreceğiz.
5a artı 15 ve eksi 7b artı burada 14 olarak parçalanmış oldum bunu.
Bakınız zaten burası bizim istediğimiz gibi bakınız şurada 5a artı 15'i 5 parantezine alacak olursak a artı 3 geliyor yani istediğimiz şeye ulaşmış olduk.
Bu yüzden parçaladık.
Daha sonra burayı da eksi 7 parantezine alacak olursam eksi 7 parantezinde de b eksi 2 gelecek, b eksi 2 gelecek çünkü dağıttığımızda artı 14'ü vermeli.
Bak b eksi 2'yi de elde ettik.
O zaman eşittir 0 diyorum.
Şimdi şunu komple sağ tarafa alalım, sol tarafta çarpı b eksi 2 oldu.
E biz aralarında asal olduğunda bunların bir oranlarını bulmalıyız yani b eksi 2'yi a artı 3'ün altına 5'i de 7'nin altına alalım.
Yani şunu elde edelim: a artı 3 bölü b eksi 2 o zaman 7 bölü 5 olur.
Bakınız en son istediğimiz şeye ulaştık, a artı 3 ile b eksi 2 aralarında asal, sıkıntı yok.
7 ile 5 de aralarında asal o zaman demek ki direkt olarak karşılıklı birbirlerine eşitlerdir yani a artı 3 burada eğer 7 ise o zaman a'nın burada biz 4 olduğunu söyleriz ve aynı şekilde b eksi 2 de burada eğer 5 ise o zaman demek ki eksi 2'yi de karşıya aldığımızda b'nin de burada 7 olduğunu söyleriz.
a çarpı b soruluyor,
Sıkça Sorulan Sorular
Aralarında asal sayılar nedir? Aralarında asal ne demek?
1’den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
Aralarında asal sayılara örnek vermek gerekirse 12 ve 25 aralarında asal sayılardır çünkü 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
1 ile 7 aralarında asal mıdır?
İki sayının aralarında asal olup olmadığını incelerken bakmamız gereken tek nokta verilen iki sayının 1’den başka ortak pozitif tam sayı böleni olup olmadığını kontrol etmek. 1 ile 7 aralarında asaldır çünkü 1 ile 7’nin tek ortak pozitif tam sayı böleni 1’dir.
12 ve 15 aralarında asal mıdır?
12 ve 15 aralarında asal değildir çünkü 1’den farklı ortak pozitif tam sayı bölenleri vardır. 3 her iki sayının da bölenidir.
Aralarında asal olan sayıların EBOB’u kaçtır?
Aralarında asal sayıların 1’den başka pozitif tam sayı böleni yoktur. Bu yüzden aralarında asal olan sayıların EBOB’u 1’dir.
Aralarında asal olan sayıların EKOK’u kaçtır?
Aralarında asal sayıların EKOK’u bu sayılar çarpılarak bulunur.
Örneğin;
3 ve 16 aralarında asaldır. EKOK(3,16) = 3.16 = 48’dir.
