Örnek: Yandaki şekilde kareler özdeştir.
Ayşe şekilden rastgele bir dikdörtgeni boyuyor.
Ayşe'nin boyadığı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır?
Dikdörtgen elde edebilmem için yatayda 2, dikeyde 2 doğru seçersem bunları kesişiminden dikdörtgen elde edelim.
O halde başlayalım.
seçtim, aynı şekilde ikisini seçtim ve dikdörtgen elde ettim.
Buradan hesaplayalım, 5 çarpı 4 3 faktöriyeller gitti 2, 6 çarpı 5 çarpı 4 faktöriyeller gitti bölü buradan 10 çarpı 15'ten 150 tane dikdörtgen elde ederim.
Tabii bu 150 tanesi dikdörtgen elde ederim.
Peki bu 150 tane dikdörtgen içerisinde tabi kareler de var çünkü kare aynı zamanda nedir?
Dikdörtgendir.
Tüm durumu bulmuş olduk şimdi ise kareye bakalım, önce bir birim kare kaç tane ona bakalım.
Burada şöyle bir birim kareyi düşünecek olursak 1 2 3 4 5 yatayda kareler vardır.
Şimdi ise 4 birim kareye bakalım.
Yani bir kenarı 2 birim olanlara bakalım.
O halde burada şöyle tarayacak olursak burası 1, 1 kaydırdım 2, 1 kaydırdım burası 1'di.
1 kaydırdım 2, 1 kaydırdım yani bir kenarı 3 olanları şöyle boyayacak olursak bu 1, 1 birim kaydırdım 2, 1 birim kaydırdım 3 sağa doğru.
Şimdi aşağıya doğru kaydırıyorum.
Bu bir birim aşağı kaydırdım 2, 3 çarpı 2'den 6 tane bir kenarı 3 birim olan 9 birim kare elde ederim.
Peki şimdi ise bir kenarı 4 birim kare olan yani 16 birim kare elde edecek olursam şöyle burada ise bu 1, bir tane de şöyle yana kaydırdım 2.
O halde toplam kaç tane kare elde ettim?
18 20 20 daha 40 bana bunun olasılığını sorduğu için Örnek: Bir küpün herhangi bir yüzü mavi, herhangi üç yüzü sarı, diğer yüzleri ise kırmızıdır.
Bu küp düzgün bir zemine atıldığında her üç rengin de görünüyor olma olasılığı kaçtır?
Şimdi burada her üç rengin görünüyor olması için aşağıya mavinin gelmemesi lazım.
Mavi geldiği durumların haricindeki her durumda üç renk görünür.
Maviden bir tane olduğu için ne yapacağız?
Mavi gelme ihtimalini öncelikle bir düşünelim.
Mavi gelme ihtimali nedir?
mavi gelme durumunu çıkartırsam eğer 3 rengi çok rahat görebilirim, tüm durum nedir?
tüm üç rengin görünüyor olma olasılığı üç gruba ayrılmıştır.
Her gruptaki kartlardan ikisi mavi biri sarıya boyandıktan sonra ters çevrilip karıştırılıyor.
Buna göre her gruptan birer kart seçen birinin iki mavi ve bir sarıya boyalı kart seçmiş olma olasılığı kaçtır?
Her grupta 2 mavi 1 sarı var.
Şöyle yazacak olursak yazıyorum.
Şimdi her gruptan birer kart seçen birinin 2 mavi.
Şimdi birinci gruptan mavi seçeyim birinci grup da nedir?
Şöyle: mavi mavi sarı birinci gruptaki elindeki kartlar.
Bu kartlardan ben maviyi seçmiş olayım.
Mavi seçme olasılığım nedir benim?
3 kartım var, ikisini seçebilirim yani 2 bölü 3.
Devam ediyorum, 2.
gruptan da yine şöyle mavi seçeyim ben buraya birinci grubun şöyle mavi olduğunu yazayım.
Devam ediyorum, ikinci gruptan da yine elindeki kartlar mavi mavi sarı.
Yine mavi seçtiğimi düşüneyim peki 3 tane kartım var.
İkisini seçtim, ikinci gruptan da yine mavi kart seçmiş olduk, olasılığını yazdık.
Devam ediyorum, üçüncü gruptan da yine elimdeki kartlar mavi mavi sarı bu sefer bu üçüncü gruptan da sarı seçmiş olayım.
3 tanesinden olduk.
Peki ben şu an sırayla yazdım.
Tabii asıl istediğim mavi mavi sarı fakat hangi gruptan aldığım belli değil.
O halde ben hangi gruptan aldığım belli olmadığı için bunlar kendi aralarında yer değiştirebilir.
Peki biz bunun şurada tekrarlı permütasyon gibi düşünecek olursak 3 tane harfim var, 2 tane mavi var.
Yani tekrar eden 2 tane mavi olduğu için paydaya 2 faktöriyel yazıyorum yani burada şunu demek istiyorum ben burada birinci grup olarak adlandırdım ama ben bunu aslında ikinci gruptan seçmiş de olabilirim, birinci gruptan sarı da seçmiş olabilirim.
O yüzden bunlar kendi aralarında yer değiştirecek.
O yüzden 3 faktöriyel bölü 2 faktöriyeli de ekledik, peki buradan 3 faktöriyel bölü 2 faktöriyel 3 geldi.
3 çarpı 2 bölü 3 çarpı 2 bölü 3 çarpı 1 bölü 3.
3ler birbirini götürdü, buradan cevabımız 4 bölü 9 gelmiş oldu.
Ayşe şekilden rastgele bir dikdörtgeni boyuyor.
Ayşe'nin boyadığı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır?
Dikdörtgen elde edebilmem için yatayda 2, dikeyde 2 doğru seçersem bunları kesişiminden dikdörtgen elde edelim.
O halde başlayalım.
seçtim, aynı şekilde ikisini seçtim ve dikdörtgen elde ettim.
Buradan hesaplayalım, 5 çarpı 4 3 faktöriyeller gitti 2, 6 çarpı 5 çarpı 4 faktöriyeller gitti bölü buradan 10 çarpı 15'ten 150 tane dikdörtgen elde ederim.
Tabii bu 150 tanesi dikdörtgen elde ederim.
Peki bu 150 tane dikdörtgen içerisinde tabi kareler de var çünkü kare aynı zamanda nedir?
Dikdörtgendir.
Tüm durumu bulmuş olduk şimdi ise kareye bakalım, önce bir birim kare kaç tane ona bakalım.
Burada şöyle bir birim kareyi düşünecek olursak 1 2 3 4 5 yatayda kareler vardır.
Şimdi ise 4 birim kareye bakalım.
Yani bir kenarı 2 birim olanlara bakalım.
O halde burada şöyle tarayacak olursak burası 1, 1 kaydırdım 2, 1 kaydırdım burası 1'di.
1 kaydırdım 2, 1 kaydırdım yani bir kenarı 3 olanları şöyle boyayacak olursak bu 1, 1 birim kaydırdım 2, 1 birim kaydırdım 3 sağa doğru.
Şimdi aşağıya doğru kaydırıyorum.
Bu bir birim aşağı kaydırdım 2, 3 çarpı 2'den 6 tane bir kenarı 3 birim olan 9 birim kare elde ederim.
Peki şimdi ise bir kenarı 4 birim kare olan yani 16 birim kare elde edecek olursam şöyle burada ise bu 1, bir tane de şöyle yana kaydırdım 2.
O halde toplam kaç tane kare elde ettim?
18 20 20 daha 40 bana bunun olasılığını sorduğu için Örnek: Bir küpün herhangi bir yüzü mavi, herhangi üç yüzü sarı, diğer yüzleri ise kırmızıdır.
Bu küp düzgün bir zemine atıldığında her üç rengin de görünüyor olma olasılığı kaçtır?
Şimdi burada her üç rengin görünüyor olması için aşağıya mavinin gelmemesi lazım.
Mavi geldiği durumların haricindeki her durumda üç renk görünür.
Maviden bir tane olduğu için ne yapacağız?
Mavi gelme ihtimalini öncelikle bir düşünelim.
Mavi gelme ihtimali nedir?
mavi gelme durumunu çıkartırsam eğer 3 rengi çok rahat görebilirim, tüm durum nedir?
tüm üç rengin görünüyor olma olasılığı üç gruba ayrılmıştır.
Her gruptaki kartlardan ikisi mavi biri sarıya boyandıktan sonra ters çevrilip karıştırılıyor.
Buna göre her gruptan birer kart seçen birinin iki mavi ve bir sarıya boyalı kart seçmiş olma olasılığı kaçtır?
Her grupta 2 mavi 1 sarı var.
Şöyle yazacak olursak yazıyorum.
Şimdi her gruptan birer kart seçen birinin 2 mavi.
Şimdi birinci gruptan mavi seçeyim birinci grup da nedir?
Şöyle: mavi mavi sarı birinci gruptaki elindeki kartlar.
Bu kartlardan ben maviyi seçmiş olayım.
Mavi seçme olasılığım nedir benim?
3 kartım var, ikisini seçebilirim yani 2 bölü 3.
Devam ediyorum, 2.
gruptan da yine şöyle mavi seçeyim ben buraya birinci grubun şöyle mavi olduğunu yazayım.
Devam ediyorum, ikinci gruptan da yine elindeki kartlar mavi mavi sarı.
Yine mavi seçtiğimi düşüneyim peki 3 tane kartım var.
İkisini seçtim, ikinci gruptan da yine mavi kart seçmiş olduk, olasılığını yazdık.
Devam ediyorum, üçüncü gruptan da yine elimdeki kartlar mavi mavi sarı bu sefer bu üçüncü gruptan da sarı seçmiş olayım.
3 tanesinden olduk.
Peki ben şu an sırayla yazdım.
Tabii asıl istediğim mavi mavi sarı fakat hangi gruptan aldığım belli değil.
O halde ben hangi gruptan aldığım belli olmadığı için bunlar kendi aralarında yer değiştirebilir.
Peki biz bunun şurada tekrarlı permütasyon gibi düşünecek olursak 3 tane harfim var, 2 tane mavi var.
Yani tekrar eden 2 tane mavi olduğu için paydaya 2 faktöriyel yazıyorum yani burada şunu demek istiyorum ben burada birinci grup olarak adlandırdım ama ben bunu aslında ikinci gruptan seçmiş de olabilirim, birinci gruptan sarı da seçmiş olabilirim.
O yüzden bunlar kendi aralarında yer değiştirecek.
O yüzden 3 faktöriyel bölü 2 faktöriyeli de ekledik, peki buradan 3 faktöriyel bölü 2 faktöriyel 3 geldi.
3 çarpı 2 bölü 3 çarpı 2 bölü 3 çarpı 1 bölü 3.
3ler birbirini götürdü, buradan cevabımız 4 bölü 9 gelmiş oldu.
