Sıralama ve Seçme Yeni Nesil Sorular Bölüm 2

Merhaba arkadaşlar.
Konumuza yeni soru çeşitleriyle devam edelim.
Örnek yandaki şekilde bir ilçenin krokisini göstermektedir.
A noktasında bulunan Kadir C noktasında bekleyen Ömer'in yanına uğrayıp B noktasında bekleyen Fatma'nın yanına en kısa yoldan gidecektir.
Kadir, Fatma'nın yanına kaç farklı yoldan gidebilir?
Şimdi verilen şöyle kroki.
Biz iki boyutlu şekilde çizelim.
Şöyle kabataslak çizecek olursak.
Peki şurası A noktası olsun, burası C noktası, burası da B noktası olsun.
Şimdi A noktasında bulunan Kadir C noktasında bekleyen Ömer'in yanına uğramak şartı ile demiş.
Yani A'dan C'ye gidecek.
O halde başlayalım.
Kaç farklı yolda gidebilir?
Peki başlayalım.
Bir iki, iki tane sağa doğru gitsek, iki tane de şöyle yukarı doğru gitsek.
Peki şöyle de yazabiliriz.
Şöyle iki tane yukarı, iki tane sağa veya bir sağa, iki yukarı.
Yine burada her türlü iki sağa, iki yukarı olacak.
Peki bunu biz tekrarlı permütasyon şeklinde yazacak olursak, toplamda dört farklı yolun var.
4!
/2!
*2!
şeklinde yazdık.
Peki C'ye uğramak şartıyla dediği için A'dan B'ye şöyle bu iki yol birbirine bağlı, birbirine bağlı olduğu için çıkartacağız.
Şimdi C'deydi.
C'den B'ye gideceğim.
Peki aynı şeyi şöyle yazacak olursak C'den B'ye kaç farklı gidebilir?
Bir sağa, bir yukarı veya şöyle yazabiliriz.
Bir yukarı, bir sağ fark etmez.
Şöyle bir sağa bir yukarı yazdık.
Bunda da yine iki farklı yolum var.
Bir tane sağa ve bir tane yukarı şöyle tekrarlı permütasyon şeklinde yazdık.
Dediğim gibi birbirine bağlı bu iki yol olduğu için şöyle çarpma yapıyorum.
O halde işleme devam edecek olursak 4!
nedir?
4*3*2!
şeklinde yazalım.
Aşağıda 2!
var 2!
de yine iki yapar.
Şöyle iki şeklinde yazalım.
Çarpı 2!
yani ikidir ikiyi bire böldü iki.
Şöyle i̇kiler gitti, 2!
ler de gitti dört çarpı 3'ten cevabımız bizim 12 gelmiş oluyor.
Örnek, Melek Öğretmen Elif, Ebrar ve Ali isimli öğrencileri tahtaya kaldırır ve şunları yapmalarını ister.
Elif sınıfından 6 arkadaşını seçmesini ister.
Ebrar'dan sınıfından 4 arkadaşını seçmesini ister.
Ali'den sınıfından 9 arkadaşını seçmesini ister.
Elif ve Bora'nın seçimleri aynı çıktığına göre Ali dokuz öğrenciyi kaç farklı şekilde seçebilir?
Şimdi öncelikle sınıf mevcudu bilmiyorum.
Ben sınıf mevcudu yazalım.
Sınıf mevcudu şöyle X olsun.
O halde şimdi Elif kendisini seçebileceği için yani Elif hariç X-1 kişi kalmış oluyor.
Yani Elif'in X-1 tane arkadaşı var.
X-1 arkadaşı arasından 6 kişiyi seçiyor.
O halde X-1'in 6'lı kombinasyonu.
Peki devam ediyorum, Ebrar da sınıfından 4 arkadaşını seçiyor.
Yine X kişi var, yine kendisi hariç.
Yine X-1 kişi arasından 4 arkadaşını seçiyor ve bu seçimler birbirine eşitmiş.
Öncelikle şöyle bir özellik hatırlatalım n'in a'lısı diyelim, eşittir n'in b'lisine.
İşte böyle bir ifadede n her zaman a+b'ye eşittir.
O halde başlayalım.
Yani X-1 neye eşit olmuş olur?
6 artı 4'e eşit olmuş olur.
O halde X buradan 11 gelmiş oluyor.
Yani sınıf mevcudunu artık bulduk.
On bir kişi.
Peki diyor ki Ali'den dokuz arkadaşını seçmesini istiyor.
Bana zaten bunu soruyor.
Kaç farklı seçim yapar diyor.
O halde sınıf mevcudu on bir ise Ali hariç.
Yani Ali'nin on tane arkadaşı var.
On kişi arasından dokuz kişiyi seçiyorum.
Onun dokuzlusu aynı zamanda neye eşittir onun birlisine.
Onun birlisi de zaten ona eşittir.
O halde cevabımız 10 olacaktır.
Örnek.
Yanda 25 birim kareden oluşan bir oyun tahtası verilmiştir.
Bu tahtadaki birim karelerden beş tanesi her satır ve her sütunda yalnızca bir boyalı kare olacak şekilde boyanacak dır.
Bu boyama işlemi kaç farklı biçimde yapılabilir?
Evet, 25 birim kareden yalnızca 5 tanesi boyanacak.
Fakat bu 5 tanesi her satır ve sütunda yalnızca bir kez boyanacakmış.
Mesela başlayalım, şöyle yapabiliriz mesela burayı boyayabilirim.
Burayı boyasam, her satır ve sütunda, yani bunun satır ve sütunda başka boyalı bölge olmayacak.
İşte bir tane boyama işlemi gerçekleştirdim.
Bu bir tane boyama işlemi burada olabilir veya burada olabilir veya burada olabilir veya burada olabilir veya burada olabilir.
Kaç farklı durum çıktı karşıma?
5 farklı durum çıktı.
O halde bir tanesini şöyle seçtim.
O halde başlayalım.
Bu satır ve sütunda artık boyama olmayacak beş farklı durum olduğunu gösterdim.
O halde burada şöyle beş yazdık.
Devam ediyorum.
Şimdi ikinci boyamayı gerçekleştirdim.
Bu ikinci boyama burada olabilir veya burada olabilir veya burada olabilir veya burada olabilir.
Yine kaç farklı durum var?
Dört farklı durum var.
Bu dört farklı durumdan şunu bir tanesini gösterecek olursak, o halde burada da yine satır ve sütunda yine aynı şekilde boyama yapılmayacak.
O halde yine dört farklı durum olduğunu gösterdik.
Şimdi devam ediyorum.
Sıra üçüncü boyama da.
Burası boya yanabilir veya burası boya yanabilir veya burası boyanan bilir.
Peki ben bu üçüncü boyamayı burada gerçekleştirmiş olayım.
Yine satır ve sütunda boyama olmayacak.
O halde üç farklı durum olduğunu gösterdik.
Peki son olarak şöyle dördüncü boyama gerçekleştireceğim.
Burası olabilir veya burası olabilir.
Peki burayı seçtim.
Dördüncü boyama da yine satır ve sütunda iki farklı durum olduğunu gösterdim.
Son olarak bir tane boyama kaldı.
O da zaten tek seçeneği var, o da bir olduğunu gösterdim işte.
Bunlar şöyle birbirine bağlı olduğu için beş çarpı dört çarpı üç çarpı iki çarpı bir, yani 5!
farklı durum vardır.
O halde bunun sonucu da 120 olacaktır.