Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersimizde sizlerle sinüs teoremi ile ilgili farklı tarzda örnekler çözmeye çalışacağız. İlk sorumuzla başlayalım.
Şekildeki ABC üçgeninin kenar uzunlukları aynı birim cinsinden verilmiştir.
BAC açısıyla BCA açısının farkı 90 derecedir.
Buna göre tanjant C ifadesinin değeri kaçtır, diye bize sorulmuş.
Şimdi hemen burada C açısı gördüğünüz gibi zaten şurası.
Burayı da şu C açısı diye belirtelim.
Yani diyor ki eğer bize BCA açısına şuraya C açısı derseniz, burası -C karşıya attığımızda +C olarak geçer.
BAC açısının ölçüsü 90 derece artı C açısı kadar olur diyor. Şimdi hemen burada bir ABC üçgeninde sinüs teoremi yazmaya çalışalım.
Neydi?
Kenar bölü kenarı gören açının sinüs değeri.
Yani 20 bölü sinüs C eşittir yine aynı şekilde bu sefer A açısı ve karşısındaki kenara bakıyorum.
24 bölü 24'ü gören açının sinüs değeri yani sinüs (90+C) olarak ifade edilebilir.
Şimdi burada hemen sadeleştirelim isterseniz.
20'yi 4'e böldüm 5.
24'ü 4'e böldüm 6 olmuş olur.
Şimdi içler dışlar çarpımı yapacağım. ileri gidiyorum, ikinci bölgedeyim.
Sinüsün ikinci bölgedeki işareti artı ama 90'dan gittiğim için isim değişiyordu.
Ne olur burası?
Kosinüs C olarak ifade edebilir.
Tanjant demek sinüs bölü kosinüs demektir.
Hemen cosC'yi sinüsün alt tarafına doğru alıyorum.
Yani sinüs C bölü kosinüs C olmuş oluyor orası.
Buradaki 6'yı da karşı tarafa, 5'in olduğu bölümün altına almış olduk.
5 bölü 6.
Yani zaten şurası neydi?
Az önce de ifade ettiğimiz gibi tanjant C demekti.
Tanjant C neymiş?
5/6'ymış sevgili gençler diyelim ve hemen sıradaki sorumuza geçelim.
Diyor ki bakın, bir ABC üçgeninde küçük a, küçük b, küçük c sırasıyla üçgenin kenarlarıdır. Sinüs B artı sinüs C 4 sinüs A'ya eşit ve b artı c 2a artı 10'a eşit olduğuna göre a kaç birimdir, diye soruyor.
Şimdi normalde sinüs teoremi gereği biliyorsunuz şöyle bir bilgi var.
Neydi?
A bölü sinüs A açısı eşittir B bölü sinüs B açısı ve son olarak kenar C bölü bu kenarı gören açının sinüs değeri sinüs C eşittir 2R hatta.
Böyle bir formül var biliyorsunuz.
Şimdi bunu aslında oran orantıyı biraz hatırlayarak çözmeye çalışalım.
Biliyorsunuz burada a bölü sinA bir orandır arkadaşlar.
b bölü sinB de bir orandır.
Birden fazla oranın eşitliğine biz orantı diyorduk.
Burada hepsi birbirine eşitti, 2R.
Bu da, 2R'yi orantı sabiti olarak düşünelim.
Şimdi burada b artı c gibi bir şey var ya.
Yani şu ikisini toplasam ne olur?
b artı c olur pay kısmı.
Payda kısmı da sinüs B açısı artı sinüs C açısı olur ve hala bu aynı orantı sabiti olan 2R'ye eşit olmaya devam eder. Yani aslında bu neye eşitmiş arkadaşlar?
a bölü sinüs A'ya eşit olmaya devam edermiş.
Peki, güzel.
O zaman biz şimdi b, sinüs B ve sinüs C, şu toplamın yerine ne yazacağız?
Bana vermişti, 4 çarpı sinüs A açısı yazabiliriz.
Burada sinA'lar bakın kısaldı gördüğünüz gibi.
b artı c yerine ne yazacağız?
Şu üstteki ifade yerine ne yazacağız?
Onu da vermiş bana.
Burası da 2a artı 10 olacak arkadaşlar.
Tabii 4sinA'yı gördüğünüz gibi şu ikisinin toplamı yerine yazdım.
Onu karıştırmayalım lütfen.
Yani ne oldu?
Aslında şöyle bir denklem elde etmiş olduk.
2a artı 10 bölü 4 eşittir a.
Böyle bir şey elde etmiş olduk. İçler dışlar çarpımı yaparsam 4a eşittir 2a artı olarak sevgili gençler bulunmuş olur diyelim, sıradaki sorumuzla devam edelim.
Bir ABC üçgeninde çevrel çemberin yarıçapı büyük R'dir. A açısının karşısındaki kenar a birim, A açısı göre kosinüs A açısı ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Şimdi hemen şöyle yazıyorduk ya, hatırlayınız lütfen.
a bölü bunu gören açının sinüsü, sinüs A açısı eşittir işte b bölü sinB, c bölü sinC.
Onlara şu an ihtiyacım yok, vermemiş de zaten.
Dolayısıyla yazıp kafa karıştırmaya gerek yok.
Bu sonuç neye eşitti sevgili gençler?
2R'ye eşitti hatırlayın.
Şimdi burada siz, R ne acaba?
R yerine ne yazabilirsiniz?
Bakın 2a'yı 3R'ye eşit vermiş.
Dolayısıyla 2a bölü 3 eşittir R'yi siz götürüp yerine yazabilirsiniz.
Hemen yazalım.
Yani a bölü sinüs A açısı eşittir iki çarpı R yerine ne yazıyorum?
2a bölü 3 yazıyorum.
Şu şekilde a'lar da kısalsın.
Buradan 1 bölü sinüs A 4/3 olduğuna göre sinüs A açısı ne olur?
Ters çevirdiğimde 3/4 olur arkadaşlar.
Şimdi bana kosinüsünü soruyor. Ben açının sinüsünü buldum.
O zaman ne lazım bana?
Bir tane dik üçgen lazım.
Hemen bir dik üçgen yazıyorum.
A açısını da buraya yerleştiriyorum. Zaten bana 90 dereceden küçük olduğunu da söylemişti.
İşaret olarak hiçbir problem yok, hepsi pozitif zaten birinci bölgede.
Sinüs ne demek?
Arkadaşlar, biliyorsunuz ki karşı bölü hipotenüs demek.
Hemen A açısının karşısına 3, hipotenüse 4 yazdım.
Şuraya ne diyelim?
x diyelim. Sonra diyelim ki x'in karesi artı 3'ün karesi eşittir 4'ün karesi.
Yani 16 eksi 9.
Pisagor yaptım.
x² eşittir 7'den x eşittir kök 7 oldu. Bakın hemen şurayı buldum, kök 7.
Bana ne lazım?
Tekrar soruyorum, kosinüs A açısı.
Yani A'nın kosinüsü ne demek?
Komşu bölü hipotenüs demek arkadaşlar.
O da kök 7 bölü 4 olarak bulunmuş olur.
Tekrar hatırlatayım, 90 dereceden küçük bir açı.
Birinci bölgede kosinüsün işareti artıdır, başına eksi falan koymadım o yüzden diyelim ve sıradaki sorumuza gelelim arkadaşlar. Çok affedersiniz.
Şekildeki ABC üçgeninde AC 15 birim, CD 6 birim ve CAD açısı α kadar, BAD açısı θ kadar ve sinα 1/5 olduğuna göre cosθ ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Evet, şimdi bakın hemen burada ADC açısına dikkat edecek olursanız iki iç açının toplamı bir dış açı olacağından burası nedir?
90 artı θ'dır sevgili gençler ve yine ADC üçgenine bakmaya devam edelim.
Bu üçgende ben bir sinüs teoremi yazmak istiyorum.
Kenar bölü kenarı gören açının sinüs değeri.
Yani 6 bölü sinüs α eşittir yine devam ediyorum.
Bu sefer 15 bölü bu 15 kenarını gören açının sinüs değeri.
O da nedir?
sinüs 90 artı θ'dır arkadaşlar.
Şimdi burada hemen sadeleştireceğim.
3'e böldüm şurayı, ne olur?
2.
3'e böldüm, 5.
Değil mi?
Yani aslında buradan içler dışlar çarpımı yapacağım ama şuradan ekranın başından devam ediyorum.
5 tane sinüs α eşittir 2 çarpı sinüs (90+θ).
Bakın bu ne demek sevgili arkadaşlar?
90'dan ileri gidiyorum, ikinci bölgedeyim.
Sinüs artı yalnız isim değiştirir orası.
Ne olur?
Kosinüs θ olur ve bana sinα'yı vermişti.
Hemen onu da yerine yazayım.
5 çarpı olarak bulunmuş olur diyelim ve buyrun sıradaki sorumuza geçelim.
Şekildeki ABC üçgeninde AD 5, AB 6, AC 8 birim, ACB açısı α, ABC açısı θ olduğuna göre sinα bölü sinθ oranı kaçtır, diye sorulmuş.
Evet, güzel.
Şimdi hemen bakın şöyle yapıyorum.
Burası 60 derece, burada bunun bir bütünleri de var.
Şurası nedir?
Burası da biliyorsunuz birbirine eşittir, birbirini 180'e tamamladığı için.
Sinüs her ikisinde de pozitif, hem 60 hem 120 derece birinci ve ikinci bölgede.
Bunlar birbirine eşittir, sinüs değerleri.
Birazdan bunu kullanacağım. Yani isterseniz şuraya yazalım, birazdan lazım olur bize.
Sinüs 60 derece eşittir nedir?
Sinüs 120 derecedir arkadaşlar.
Şimdi burada hemen şöyle bakın ben yapacağım.
ABD üçgeninde bir sinüs teoremi yazalım.
Nasıl yazacağız o teoremi?
Diyeceğiz ki kenar bölü kenarı gören açının sinüsü yani 6 bölü sinüs 120 derece.
Kenar bölü kenarı gören açının sinüsü eşittir yine devam ediyorum. Bu sefer ne diyeceğim?
5 bölü 5'i gören açının sinüs değeri, yani sinüs θ arkadaşlar.
Devam ediyorum, bu sefer ne yaptım?
Hemen geçtim, şu şekilde ACD üçgenine.
Burada da aynı şeyi yapıyorum.
8 bölü 8'i gören açının sinüs değeri yani sinüs 60 derece eşittir devam ediyorum yine Bu iki eşit, taraf tarafa oranlarsak eğer sin120 ve sinüs 60 birbirine eşitti hatırlayın.
6/8'den burası ne oldu?
3/4'ümüz var bir tane eşittir şimdi buradaki 5'ler de gitti.
1 bölü sinθ'yı Yani orası ne olur?
Sinüs α bölü sinüs θ olarak yazılır.
Yani üstteki ifadeyi şöyle birinciyi aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarptım gibi düşünün. Dolayısıyla aradığımız sinα bölü sinθ oranı 3/4 olarak bulunmuş olur sevgili gençler diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizde sizlerle sinüs teoremi ile ilgili farklı tarzda örnekler çözmeye çalışacağız. İlk sorumuzla başlayalım.
Şekildeki ABC üçgeninin kenar uzunlukları aynı birim cinsinden verilmiştir.
BAC açısıyla BCA açısının farkı 90 derecedir.
Buna göre tanjant C ifadesinin değeri kaçtır, diye bize sorulmuş.
Şimdi hemen burada C açısı gördüğünüz gibi zaten şurası.
Burayı da şu C açısı diye belirtelim.
Yani diyor ki eğer bize BCA açısına şuraya C açısı derseniz, burası -C karşıya attığımızda +C olarak geçer.
BAC açısının ölçüsü 90 derece artı C açısı kadar olur diyor. Şimdi hemen burada bir ABC üçgeninde sinüs teoremi yazmaya çalışalım.
Neydi?
Kenar bölü kenarı gören açının sinüs değeri.
Yani 20 bölü sinüs C eşittir yine aynı şekilde bu sefer A açısı ve karşısındaki kenara bakıyorum.
24 bölü 24'ü gören açının sinüs değeri yani sinüs (90+C) olarak ifade edilebilir.
Şimdi burada hemen sadeleştirelim isterseniz.
20'yi 4'e böldüm 5.
24'ü 4'e böldüm 6 olmuş olur.
Şimdi içler dışlar çarpımı yapacağım. ileri gidiyorum, ikinci bölgedeyim.
Sinüsün ikinci bölgedeki işareti artı ama 90'dan gittiğim için isim değişiyordu.
Ne olur burası?
Kosinüs C olarak ifade edebilir.
Tanjant demek sinüs bölü kosinüs demektir.
Hemen cosC'yi sinüsün alt tarafına doğru alıyorum.
Yani sinüs C bölü kosinüs C olmuş oluyor orası.
Buradaki 6'yı da karşı tarafa, 5'in olduğu bölümün altına almış olduk.
5 bölü 6.
Yani zaten şurası neydi?
Az önce de ifade ettiğimiz gibi tanjant C demekti.
Tanjant C neymiş?
5/6'ymış sevgili gençler diyelim ve hemen sıradaki sorumuza geçelim.
Diyor ki bakın, bir ABC üçgeninde küçük a, küçük b, küçük c sırasıyla üçgenin kenarlarıdır. Sinüs B artı sinüs C 4 sinüs A'ya eşit ve b artı c 2a artı 10'a eşit olduğuna göre a kaç birimdir, diye soruyor.
Şimdi normalde sinüs teoremi gereği biliyorsunuz şöyle bir bilgi var.
Neydi?
A bölü sinüs A açısı eşittir B bölü sinüs B açısı ve son olarak kenar C bölü bu kenarı gören açının sinüs değeri sinüs C eşittir 2R hatta.
Böyle bir formül var biliyorsunuz.
Şimdi bunu aslında oran orantıyı biraz hatırlayarak çözmeye çalışalım.
Biliyorsunuz burada a bölü sinA bir orandır arkadaşlar.
b bölü sinB de bir orandır.
Birden fazla oranın eşitliğine biz orantı diyorduk.
Burada hepsi birbirine eşitti, 2R.
Bu da, 2R'yi orantı sabiti olarak düşünelim.
Şimdi burada b artı c gibi bir şey var ya.
Yani şu ikisini toplasam ne olur?
b artı c olur pay kısmı.
Payda kısmı da sinüs B açısı artı sinüs C açısı olur ve hala bu aynı orantı sabiti olan 2R'ye eşit olmaya devam eder. Yani aslında bu neye eşitmiş arkadaşlar?
a bölü sinüs A'ya eşit olmaya devam edermiş.
Peki, güzel.
O zaman biz şimdi b, sinüs B ve sinüs C, şu toplamın yerine ne yazacağız?
Bana vermişti, 4 çarpı sinüs A açısı yazabiliriz.
Burada sinA'lar bakın kısaldı gördüğünüz gibi.
b artı c yerine ne yazacağız?
Şu üstteki ifade yerine ne yazacağız?
Onu da vermiş bana.
Burası da 2a artı 10 olacak arkadaşlar.
Tabii 4sinA'yı gördüğünüz gibi şu ikisinin toplamı yerine yazdım.
Onu karıştırmayalım lütfen.
Yani ne oldu?
Aslında şöyle bir denklem elde etmiş olduk.
2a artı 10 bölü 4 eşittir a.
Böyle bir şey elde etmiş olduk. İçler dışlar çarpımı yaparsam 4a eşittir 2a artı olarak sevgili gençler bulunmuş olur diyelim, sıradaki sorumuzla devam edelim.
Bir ABC üçgeninde çevrel çemberin yarıçapı büyük R'dir. A açısının karşısındaki kenar a birim, A açısı göre kosinüs A açısı ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Şimdi hemen şöyle yazıyorduk ya, hatırlayınız lütfen.
a bölü bunu gören açının sinüsü, sinüs A açısı eşittir işte b bölü sinB, c bölü sinC.
Onlara şu an ihtiyacım yok, vermemiş de zaten.
Dolayısıyla yazıp kafa karıştırmaya gerek yok.
Bu sonuç neye eşitti sevgili gençler?
2R'ye eşitti hatırlayın.
Şimdi burada siz, R ne acaba?
R yerine ne yazabilirsiniz?
Bakın 2a'yı 3R'ye eşit vermiş.
Dolayısıyla 2a bölü 3 eşittir R'yi siz götürüp yerine yazabilirsiniz.
Hemen yazalım.
Yani a bölü sinüs A açısı eşittir iki çarpı R yerine ne yazıyorum?
2a bölü 3 yazıyorum.
Şu şekilde a'lar da kısalsın.
Buradan 1 bölü sinüs A 4/3 olduğuna göre sinüs A açısı ne olur?
Ters çevirdiğimde 3/4 olur arkadaşlar.
Şimdi bana kosinüsünü soruyor. Ben açının sinüsünü buldum.
O zaman ne lazım bana?
Bir tane dik üçgen lazım.
Hemen bir dik üçgen yazıyorum.
A açısını da buraya yerleştiriyorum. Zaten bana 90 dereceden küçük olduğunu da söylemişti.
İşaret olarak hiçbir problem yok, hepsi pozitif zaten birinci bölgede.
Sinüs ne demek?
Arkadaşlar, biliyorsunuz ki karşı bölü hipotenüs demek.
Hemen A açısının karşısına 3, hipotenüse 4 yazdım.
Şuraya ne diyelim?
x diyelim. Sonra diyelim ki x'in karesi artı 3'ün karesi eşittir 4'ün karesi.
Yani 16 eksi 9.
Pisagor yaptım.
x² eşittir 7'den x eşittir kök 7 oldu. Bakın hemen şurayı buldum, kök 7.
Bana ne lazım?
Tekrar soruyorum, kosinüs A açısı.
Yani A'nın kosinüsü ne demek?
Komşu bölü hipotenüs demek arkadaşlar.
O da kök 7 bölü 4 olarak bulunmuş olur.
Tekrar hatırlatayım, 90 dereceden küçük bir açı.
Birinci bölgede kosinüsün işareti artıdır, başına eksi falan koymadım o yüzden diyelim ve sıradaki sorumuza gelelim arkadaşlar. Çok affedersiniz.
Şekildeki ABC üçgeninde AC 15 birim, CD 6 birim ve CAD açısı α kadar, BAD açısı θ kadar ve sinα 1/5 olduğuna göre cosθ ifadesinin değeri kaçtır, diye sorulmuş.
Evet, şimdi bakın hemen burada ADC açısına dikkat edecek olursanız iki iç açının toplamı bir dış açı olacağından burası nedir?
90 artı θ'dır sevgili gençler ve yine ADC üçgenine bakmaya devam edelim.
Bu üçgende ben bir sinüs teoremi yazmak istiyorum.
Kenar bölü kenarı gören açının sinüs değeri.
Yani 6 bölü sinüs α eşittir yine devam ediyorum.
Bu sefer 15 bölü bu 15 kenarını gören açının sinüs değeri.
O da nedir?
sinüs 90 artı θ'dır arkadaşlar.
Şimdi burada hemen sadeleştireceğim.
3'e böldüm şurayı, ne olur?
2.
3'e böldüm, 5.
Değil mi?
Yani aslında buradan içler dışlar çarpımı yapacağım ama şuradan ekranın başından devam ediyorum.
5 tane sinüs α eşittir 2 çarpı sinüs (90+θ).
Bakın bu ne demek sevgili arkadaşlar?
90'dan ileri gidiyorum, ikinci bölgedeyim.
Sinüs artı yalnız isim değiştirir orası.
Ne olur?
Kosinüs θ olur ve bana sinα'yı vermişti.
Hemen onu da yerine yazayım.
5 çarpı olarak bulunmuş olur diyelim ve buyrun sıradaki sorumuza geçelim.
Şekildeki ABC üçgeninde AD 5, AB 6, AC 8 birim, ACB açısı α, ABC açısı θ olduğuna göre sinα bölü sinθ oranı kaçtır, diye sorulmuş.
Evet, güzel.
Şimdi hemen bakın şöyle yapıyorum.
Burası 60 derece, burada bunun bir bütünleri de var.
Şurası nedir?
Burası da biliyorsunuz birbirine eşittir, birbirini 180'e tamamladığı için.
Sinüs her ikisinde de pozitif, hem 60 hem 120 derece birinci ve ikinci bölgede.
Bunlar birbirine eşittir, sinüs değerleri.
Birazdan bunu kullanacağım. Yani isterseniz şuraya yazalım, birazdan lazım olur bize.
Sinüs 60 derece eşittir nedir?
Sinüs 120 derecedir arkadaşlar.
Şimdi burada hemen şöyle bakın ben yapacağım.
ABD üçgeninde bir sinüs teoremi yazalım.
Nasıl yazacağız o teoremi?
Diyeceğiz ki kenar bölü kenarı gören açının sinüsü yani 6 bölü sinüs 120 derece.
Kenar bölü kenarı gören açının sinüsü eşittir yine devam ediyorum. Bu sefer ne diyeceğim?
5 bölü 5'i gören açının sinüs değeri, yani sinüs θ arkadaşlar.
Devam ediyorum, bu sefer ne yaptım?
Hemen geçtim, şu şekilde ACD üçgenine.
Burada da aynı şeyi yapıyorum.
8 bölü 8'i gören açının sinüs değeri yani sinüs 60 derece eşittir devam ediyorum yine Bu iki eşit, taraf tarafa oranlarsak eğer sin120 ve sinüs 60 birbirine eşitti hatırlayın.
6/8'den burası ne oldu?
3/4'ümüz var bir tane eşittir şimdi buradaki 5'ler de gitti.
1 bölü sinθ'yı Yani orası ne olur?
Sinüs α bölü sinüs θ olarak yazılır.
Yani üstteki ifadeyi şöyle birinciyi aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarptım gibi düşünün. Dolayısıyla aradığımız sinα bölü sinθ oranı 3/4 olarak bulunmuş olur sevgili gençler diyelim ve bu soruyla birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
