Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersteki konumuz kotanjant fonksiyonunun tersi.
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi de bir fonksiyon olur.
Kotanjant fonksiyonunda belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi vardır ve bu fonksiyon arc kotanjant fonksiyonudur.
Arc kot şeklinde de kısaltarak yazılır.
Buna göre biz kotanjantın birebir ve örten olduğu aralığı 0 pi açık aralığı seçersek, yani kotanjant fonksiyonunu sıfır pi açık aralığından reel sayılara tanımlarsak bunun tersi olan arc kotanjant fonksiyonu da reel sayılardan sıfır pi açık aralığına tanımlanmış olur ve bu da bir fonksiyon olur.
Tabii ki kotanjant birebir ve örten olduğu için tersi de bir fonksiyon olur.
Bu iki fonksiyon arasındaki bağıntıyı ifade etmek için şu fonksiyonu kullanalım.
Yani diyelim ki f(x) eşittir kotanjant x ise f ters eşittir arc kotanjant x yani burada kotanjant pi bölü 6 kök 3 ise ne demiştik?
Şu ikisini yer değiştirdiğimizde fonksiyonun tersi olmuş olur.
Şimdi kotanjantın tersi yukarıda söyledik arc kotanjant x'de.
Dolayısıyla arc cıt kök 3 pi bölü altı olmuş olur.
Yani kotanjant tersini aldım içinde şunu yer değiştirdim fonksiyonun.
Diğer taraftan gidelim arc cot eksi 1'in üç bölü dört olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla nedir fonksiyonun tersinin tersi tekrar kendisi olacak.
Yani burası kotanjant olacak şu ikisini yer değiştirdiğimde.
Kotanjant 3 bölü 4 de eksi birdir diyebiliriz sevgili arkadaşlar ve hemen vakit kaybetmeden örneklere geçmek istiyorum.
Tanjant arc cot eksi kök 3 ifadesinin eşitini bulunuz diyor.
Şimdi şu kısma hemen gidiyorum X diyorum.
Bana arkadaşlar burası tanjant x'i soruyor ve dedi ki arc kotanjant eksi kök 3 x'e eşit.
Ben bu durumda şunu derim.
Hemen içini dışını yer değiştirip arc kot kotanjant olmuş olur.
Dolayısıyla kotanjant x dediğimiz şey eksi kök 3'e eşitmiş.
Buradan şimdi x nedir?
Hemen onu bulalım.
kotanjantın kök 3 olduğu yer.
30 derece X olması için bunu ikinci bölgeye taşıyacağım.
180 eksi 30 x 150 derecedir deriz.
Bana sorduğu şey tanjant x'ti yani tanjant yüz elli derece isterseniz onu hemen şöyle yazayım.
İndirgemeden tanjant 180 derece eksi 30 derece diye yazalım, 180'den geri geliyorum ikinci bölge diyelim, işareti eksi isim de değiştirmez, eksi tanjant otuzdur.
Dolayısıyla tanjant 30.
Biliyorsunuz bir bölü kök 3 eksi bir bölü kök 3'tür ya da diğer bir ifadeyle eksi kök 3 bölü 3'tür.
Eğer paydada köklü ifade bırakmamayı tercih ederseniz diyelim.
Bir sonraki soruya geldim.
Sinüs arc tanjant x artı arc kotanjant x ifadesinin eşiti bize sorulmuş.
Şimdi ne yapalım hemen.
İsterseniz öncelikle şuraya alfa diyelim, buraya da gidelim beta diyelim.
Şimdi bana şunu sormuş bakın sinüs alfa artı beta A'yı sormuş.
Siz Arc tanjant x ifadesine alfa derseniz şunu elde edersiniz bakınız tanjant alfa eşittir x olur.
Diğer taraftan Arc kotanjant x ifadesine de Beta derseniz buradan da kotanjant Betanın X olduğunu bulursunuz.
Önemli bir sonuç elde ettik.
Sanki ikisi de x'e eşit oldu.
Yani tanjant alfa eşittir kotanjant beta oldu arkadaşlar.
Tanjant ve kotanjant ne zaman birbirine eşittir?
Eğer iki açı birbirini 90 derece ya da pi bölü 2 radyana tamamlıyorsa eşittir.
Alfa artı beta pi bölü 2 ise eğer götürelim şurada hemen yerine yazalım arkadaşlar.
Buna pi bölü 2 yani bize aslında ne soruyor?
Sinüs pi bölü 2 yani sinüs 90 dereceyi soruyor.
Sin 90 nedir?
Birdir.
Dolayısıyla sorunuzun cevabını bulmuş olduk diyebiliriz.
Sevgili gençler, hemen bir sonraki sorumuza vakit kaybetmeden geçiyorum.
Ark kotanjant 12 x eşittir arc tanjant 3x olduğuna göre x'in pozitif değerini bulunuz demiş bana.
Hemen bakalım şimdi şu iki birbirine eşit.
İfadeye ne yapalım, ikisine de Alfa diyelim isterseniz ikisi de eşitmiş çünkü.
Dolayısıyla Arc Kot 12x alfa ise hemen buradan kotanjant alfanın 12 x olduğunu, diğer taraftan da arctan 3x alfaya eşit iken tanjant alfanın da 3x'e eşit olduğunu söyleyebilirim.
Şimdi burada bunlar tan alfa ve cot alfa bizim nerede işimize yarar çarpımının bir olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla tanjant alfa çarpı kotanjant alfa eşittir 36 x kare.
Eğer bu 1'e eşitlenirse burada ne olur?
x kare eşittir bir bölü 36 iki durum var.
x eşittir ya artı ya eksi bir bölü altı.
Yalnız bana ikisinin pozitif değeri sorulmuş.
Dolayısıyla x'imiz nedir?
Bir bölü altıdır diyebiliriz.
Sevgili gençler, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere hoşçakal.
Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi de bir fonksiyon olur.
Kotanjant fonksiyonunda belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi vardır ve bu fonksiyon arc kotanjant fonksiyonudur.
Arc kot şeklinde de kısaltarak yazılır.
Buna göre biz kotanjantın birebir ve örten olduğu aralığı 0 pi açık aralığı seçersek, yani kotanjant fonksiyonunu sıfır pi açık aralığından reel sayılara tanımlarsak bunun tersi olan arc kotanjant fonksiyonu da reel sayılardan sıfır pi açık aralığına tanımlanmış olur ve bu da bir fonksiyon olur.
Tabii ki kotanjant birebir ve örten olduğu için tersi de bir fonksiyon olur.
Bu iki fonksiyon arasındaki bağıntıyı ifade etmek için şu fonksiyonu kullanalım.
Yani diyelim ki f(x) eşittir kotanjant x ise f ters eşittir arc kotanjant x yani burada kotanjant pi bölü 6 kök 3 ise ne demiştik?
Şu ikisini yer değiştirdiğimizde fonksiyonun tersi olmuş olur.
Şimdi kotanjantın tersi yukarıda söyledik arc kotanjant x'de.
Dolayısıyla arc cıt kök 3 pi bölü altı olmuş olur.
Yani kotanjant tersini aldım içinde şunu yer değiştirdim fonksiyonun.
Diğer taraftan gidelim arc cot eksi 1'in üç bölü dört olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla nedir fonksiyonun tersinin tersi tekrar kendisi olacak.
Yani burası kotanjant olacak şu ikisini yer değiştirdiğimde.
Kotanjant 3 bölü 4 de eksi birdir diyebiliriz sevgili arkadaşlar ve hemen vakit kaybetmeden örneklere geçmek istiyorum.
Tanjant arc cot eksi kök 3 ifadesinin eşitini bulunuz diyor.
Şimdi şu kısma hemen gidiyorum X diyorum.
Bana arkadaşlar burası tanjant x'i soruyor ve dedi ki arc kotanjant eksi kök 3 x'e eşit.
Ben bu durumda şunu derim.
Hemen içini dışını yer değiştirip arc kot kotanjant olmuş olur.
Dolayısıyla kotanjant x dediğimiz şey eksi kök 3'e eşitmiş.
Buradan şimdi x nedir?
Hemen onu bulalım.
kotanjantın kök 3 olduğu yer.
30 derece X olması için bunu ikinci bölgeye taşıyacağım.
180 eksi 30 x 150 derecedir deriz.
Bana sorduğu şey tanjant x'ti yani tanjant yüz elli derece isterseniz onu hemen şöyle yazayım.
İndirgemeden tanjant 180 derece eksi 30 derece diye yazalım, 180'den geri geliyorum ikinci bölge diyelim, işareti eksi isim de değiştirmez, eksi tanjant otuzdur.
Dolayısıyla tanjant 30.
Biliyorsunuz bir bölü kök 3 eksi bir bölü kök 3'tür ya da diğer bir ifadeyle eksi kök 3 bölü 3'tür.
Eğer paydada köklü ifade bırakmamayı tercih ederseniz diyelim.
Bir sonraki soruya geldim.
Sinüs arc tanjant x artı arc kotanjant x ifadesinin eşiti bize sorulmuş.
Şimdi ne yapalım hemen.
İsterseniz öncelikle şuraya alfa diyelim, buraya da gidelim beta diyelim.
Şimdi bana şunu sormuş bakın sinüs alfa artı beta A'yı sormuş.
Siz Arc tanjant x ifadesine alfa derseniz şunu elde edersiniz bakınız tanjant alfa eşittir x olur.
Diğer taraftan Arc kotanjant x ifadesine de Beta derseniz buradan da kotanjant Betanın X olduğunu bulursunuz.
Önemli bir sonuç elde ettik.
Sanki ikisi de x'e eşit oldu.
Yani tanjant alfa eşittir kotanjant beta oldu arkadaşlar.
Tanjant ve kotanjant ne zaman birbirine eşittir?
Eğer iki açı birbirini 90 derece ya da pi bölü 2 radyana tamamlıyorsa eşittir.
Alfa artı beta pi bölü 2 ise eğer götürelim şurada hemen yerine yazalım arkadaşlar.
Buna pi bölü 2 yani bize aslında ne soruyor?
Sinüs pi bölü 2 yani sinüs 90 dereceyi soruyor.
Sin 90 nedir?
Birdir.
Dolayısıyla sorunuzun cevabını bulmuş olduk diyebiliriz.
Sevgili gençler, hemen bir sonraki sorumuza vakit kaybetmeden geçiyorum.
Ark kotanjant 12 x eşittir arc tanjant 3x olduğuna göre x'in pozitif değerini bulunuz demiş bana.
Hemen bakalım şimdi şu iki birbirine eşit.
İfadeye ne yapalım, ikisine de Alfa diyelim isterseniz ikisi de eşitmiş çünkü.
Dolayısıyla Arc Kot 12x alfa ise hemen buradan kotanjant alfanın 12 x olduğunu, diğer taraftan da arctan 3x alfaya eşit iken tanjant alfanın da 3x'e eşit olduğunu söyleyebilirim.
Şimdi burada bunlar tan alfa ve cot alfa bizim nerede işimize yarar çarpımının bir olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla tanjant alfa çarpı kotanjant alfa eşittir 36 x kare.
Eğer bu 1'e eşitlenirse burada ne olur?
x kare eşittir bir bölü 36 iki durum var.
x eşittir ya artı ya eksi bir bölü altı.
Yalnız bana ikisinin pozitif değeri sorulmuş.
Dolayısıyla x'imiz nedir?
Bir bölü altıdır diyebiliriz.
Sevgili gençler, bu soruyla birlikte dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki ders görüşmek üzere hoşçakal.
Sıkça Sorulan Sorular
Kotanjant fonksiyonunun tersi nedir?
Kotanjant fonksiyonunun tersi “arccot” olarak adlandırılır.
f(x) = cotx → f -1 = arccotx
Ters trigonometrik fonksiyonlar örneği olan arccot fonksiyonunun tanım aralığı nedir?
Kotanjant fonksiyonunun belirlenen bir aralıkta birebir ve örten olması durumunda tersi vardır. Kotanjant fonksiyonu (0, π ) aralığında birebir ve örten olmak üzere tanımlıdır. Bu tanım kümesinde kotanjant fonksiyonunun görüntü kümesi reel sayılar kümesidir.
Buna göre, kotanjant fonksiyonun tersi olan arccot fonksiyonu reel sayılar kümesinde tanımlanır. Arccot fonksiyonunun görüntü kümesi de (0, π ) aralığında olur.
