Merhaba sevgili arkadaşlar, artan azalan fonksiyonların örnekleriyle devam ediyorum.
Aşağıdaki fonksiyonundan hangisi daima artan dır.
Yani bize ne soruyu arkadaşlar aşağıdaki fonksiyonlarından hangisinin türevi her zaman pozitiftir diye soruyor.
Tüney Post ise artan demekti.
O zaman tek tek ışıkların türevlerini alacağım.
A seçeneğinde ev türevi X türevi ni aldım.
2x artı birdir.
Bu her zaman pozitiftir diyebilir miyiz arkadaşlar?
Yani bunun bir kökü var mı?
Evet, bunun kökü eksi bir bölü 2'dir.
O zaman eksi bir böyle 2'nin.
Bakın şöyle sıfıra eşit dediniz.
Eksi bir böyle iki bulduğunuz tek katlı kök sağında eksin katsayısı pozitif olduğu için polisiz solunda negatif dir.
Yani bu fonksiyon fiks fonksiyonu umuz bu aralıkta azalan bu aralıkta artı andır.
Daima artan dır diyemez miyiz?
B seçeneğine baktığımızda türevi ev türev IX, B seçeneğinin nedir?
X üçlü zaten bakın türevi kesin negatif çıktı.
Bu her zaman az alandır.
Bir kere C seçeneğine geldim.
Ev türevi X nedir?
18 IX üzeri 5 artı iki IX.
Bunun kökleri tek katlı kökler dir değil mi?
0'a eşit dediğinizde.
Şöyle sıfıra eşit diyelim IX parantezine alalım, hatta 2 x parantezine alalım, 900 x üzeri 4 artı bir eşittir 0.
Zaten buradan kök gelmez.
Burası her zaman pozitiftir.
Bunu sıfıra eşit dediğinizde de ilk eşittir sıfır.
Kökü müdür, tek katlı kökü müdür o zaman bunu sağında pozitif, solunda negatif dir.
Yani fonksiyonun sıfır, sağında artan, solunda az alandır.
O zaman her zaman artan dır diyemez miyiz?
D seçeneğinin türevi ne?
Gelelim ev türev 2x eşittir eksi on iki x kare değil mi?
Şimdi iki karenin biz kesin pozitif olduğunu biliyoruz.
O zaman eksi 12 ile çarptı mıza kesin negatif dir.
Türevi kesin negatif olduğu için bu fonksiyon azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Son olarak ev seçeneğinde ev türevi x eşittir üç ix kare artı 6 oldu.
Türevi miz bakın ix kare kesin pozitiftir, 3x kare de o zaman pozitif olur.
Bir de bunu 6 eklediğinizde negatif olma ihtimali yoktur.
Sıfır olma ihtimali yoktur.
Bu her zaman pozitif olduğu için fonksiyonu muz daima artan fonksiyondur.
Arkadaşlar.
Türel'in işaretini inceliyoruz.
Baktım Türel'in işareti hep pozitif.
O zaman o fonksiyonu Aralık'ta hep art andır.
Türel'in işareti hep negatif ise o zaman fonksiyonu aralıkta daima azalan dır arkadaşlar.
Bakalım diğer örneğimizde fonksiyonu daima artan ise ağanın alabileceği değerler kümesini bulunuz.
Bir kere önce bir türev alırız deme türevi alayım, sonra başlayan yorumlamaya üç IX kare artı 6 IX eksi A tür evimize aldık türü evimizin daima fonksiyonunu artan ise türe türevi hep pozitif olması gerekir ve türev ile ilgili bilmeniz gereken kısım burada bitti.
Buradan sonrası artık ikinci dereceden eşitsizlik kısmı.
Şimdi bu eşitsizliğin hep sağlanması gerekiyor değil mi?
Daima artan olması için 3 x kare artı 6 xx.
A'nın hep pozitif olması gerekir.
Peki bunu hep pozitif yapan A değerini ben nasıl bulacağım?
Şöyle diyelim bunlar da birkaç böyle ezber lik tanımlar verilebilir ama onlar da çok karışacak kafanız.
Şöyle anlatıyorum, bunun hep pozitif olmasını istiyoruz değil mi?
Şimdi bu ikinci dereceden bir eşitsizlik.
O ikinci dereceden denklemin iki iki tane tek katlı kökü olsa o zaman ben buraya artı değil mi?
3 x karenin işareti pozitif olduğu için artı kök de değiştirdim, kök de değiştirdim, işaret tablosunu bu şekilde kurarım.
Yani illaki bir yerde bu fonksiyon azalan olur mu arkadaşlar?
Daima artan dır diyemem.
Yani ben neyi istemiyorum?
İki farklı kökünün olmasını istemiyorum.
Bakalım çift katlı kök olmasını istiyor muyuz?
Çift katlı kök olsun.
O zaman burası artı burası da artı olur.
Fonksiyon burada artı andır.
Burada da artı andır.
Bakın fonksiyon hep artan mı?
Evet, fonksiyon hep artan oldu.
O zaman biz bunu istiyoruz arkadaşlar.
Yani çift katlı kök olmasını istiyoruz.
Sonra hiç kök olmayabilir.
Hiç kök olmadığında en sağa IX.
Karenin işaretini koydum.
Kök görmeyince hepsi pozitif olacak.
Zaten benim istediğine bu değil mi?
Hep pozitif olması değil mi?
O zaman benim istediğim ya çift katlı kök olsun ya da hiç kökü olmasın.
Yani 3x kale artı 6 x eksi anın deltası arkadaşlar.
Ya pozitif üzülelim ya negatif olsun.
Hiç kök olmayacak ya da olacaksa çift katlı olsun.
Delta küçük eşit 0 demeliyiz arkadaşlar.
O zaman Baykara yani 36 eksi 4 çarpı a çarpı cebimizde eksi adır.
Biz bunun negatif veya 0 olmasını istiyoruz.
Çözelim 36 artı on iki a küçük eşit sıfır olacaksa o nikahı burada kalsın.
30 6'yı diğer tarafa eksi 36 olarak gönderdim ve her iki tarafı on ikiye böldü.
Pozitif sayÄ bölüm için yön değişmez.
Eksi 36 12'ye öldüğünde de eksi 3 olur.
Yani AAA elemanıdır.
Eksi sonsuz, eksi üç kapalı aralığında olmalıdır arkadaşlar.
Bakalım buna benzer bir örnek daha yazmıştım.
Tevfik seçi̇ldi̇.
Xx Küba artı 6 İskele artı AİK.
Seksi B fonksiyonu tüm reel sayıları için azalan ise Ağa'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?
Tüm reel sayılar için ajan ansa türevi hep negatif olacak anlamı vardır.
Türevi ni alalım.
Eff türevi eksi eşittir eksi üç IX kare artı on iki x artı A türevi ne aldınız ve bunun hep negatif olmasını istiyorum.
Bunun hep negatif olmasını istiyorsam arkadaşlar yine az önceki gibi ya bunun çift katlı kökü olacak ya da hiç kökü olmaması lazım değil mi?
Bakın İskelenin işareti de negatif iki tane kökü olsa iki farklı, kökü olsa N ile başlayıp eksi artı eksi yani bu fonksiyonun illaki bir yerde artan olacak.
O yüzden çift katlı kök olmasını, pardon iki tane kök olmasını istemiyorum arkadaşlar.
Ya çift katlı kök olacak ya da hiç kök olmayacak yani.
Yine delta ya küçük olacak ya da sıfıra eşit olacak.
O zaman delta mız 12'nin karesi bekara yani 144 eksi 4 ağımız eksi 3 c mizde.
A.
Biz bunun küçük eşit 0 olmasını istiyoruz.
Yüz kırk dört artı on iki AAA küçük eşit sıfır olacaksa o nikahı burda dursun yine yüz kırk dördü diğer tarafa attım eksi 144.
Her iki tarafı 12'ye bölümde yine yön değiştirmez, eksi 144 on ikiye böldüğünü de de eksi on 12 olur yani a elemanıdır.
Hangi aralığın eksi sonsuz, eksi on iki kapalı aralığının elemanı olmalıdır ki aa bu fonksiyon tüm reel sayılarda azalan olsun.
Bize neyi sormuş?
A'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri.
O zaman en büyük tam sayı değerimiz eksi 12 ve eksi 12'den bütün küçük sayılar alıyorsak en büyükleri eksi 12'de arkadaşlar.
Cevabımız eksi on iki.
Aşağıdaki fonksiyonundan hangisi daima artan dır.
Yani bize ne soruyu arkadaşlar aşağıdaki fonksiyonlarından hangisinin türevi her zaman pozitiftir diye soruyor.
Tüney Post ise artan demekti.
O zaman tek tek ışıkların türevlerini alacağım.
A seçeneğinde ev türevi X türevi ni aldım.
2x artı birdir.
Bu her zaman pozitiftir diyebilir miyiz arkadaşlar?
Yani bunun bir kökü var mı?
Evet, bunun kökü eksi bir bölü 2'dir.
O zaman eksi bir böyle 2'nin.
Bakın şöyle sıfıra eşit dediniz.
Eksi bir böyle iki bulduğunuz tek katlı kök sağında eksin katsayısı pozitif olduğu için polisiz solunda negatif dir.
Yani bu fonksiyon fiks fonksiyonu umuz bu aralıkta azalan bu aralıkta artı andır.
Daima artan dır diyemez miyiz?
B seçeneğine baktığımızda türevi ev türev IX, B seçeneğinin nedir?
X üçlü zaten bakın türevi kesin negatif çıktı.
Bu her zaman az alandır.
Bir kere C seçeneğine geldim.
Ev türevi X nedir?
18 IX üzeri 5 artı iki IX.
Bunun kökleri tek katlı kökler dir değil mi?
0'a eşit dediğinizde.
Şöyle sıfıra eşit diyelim IX parantezine alalım, hatta 2 x parantezine alalım, 900 x üzeri 4 artı bir eşittir 0.
Zaten buradan kök gelmez.
Burası her zaman pozitiftir.
Bunu sıfıra eşit dediğinizde de ilk eşittir sıfır.
Kökü müdür, tek katlı kökü müdür o zaman bunu sağında pozitif, solunda negatif dir.
Yani fonksiyonun sıfır, sağında artan, solunda az alandır.
O zaman her zaman artan dır diyemez miyiz?
D seçeneğinin türevi ne?
Gelelim ev türev 2x eşittir eksi on iki x kare değil mi?
Şimdi iki karenin biz kesin pozitif olduğunu biliyoruz.
O zaman eksi 12 ile çarptı mıza kesin negatif dir.
Türevi kesin negatif olduğu için bu fonksiyon azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Son olarak ev seçeneğinde ev türevi x eşittir üç ix kare artı 6 oldu.
Türevi miz bakın ix kare kesin pozitiftir, 3x kare de o zaman pozitif olur.
Bir de bunu 6 eklediğinizde negatif olma ihtimali yoktur.
Sıfır olma ihtimali yoktur.
Bu her zaman pozitif olduğu için fonksiyonu muz daima artan fonksiyondur.
Arkadaşlar.
Türel'in işaretini inceliyoruz.
Baktım Türel'in işareti hep pozitif.
O zaman o fonksiyonu Aralık'ta hep art andır.
Türel'in işareti hep negatif ise o zaman fonksiyonu aralıkta daima azalan dır arkadaşlar.
Bakalım diğer örneğimizde fonksiyonu daima artan ise ağanın alabileceği değerler kümesini bulunuz.
Bir kere önce bir türev alırız deme türevi alayım, sonra başlayan yorumlamaya üç IX kare artı 6 IX eksi A tür evimize aldık türü evimizin daima fonksiyonunu artan ise türe türevi hep pozitif olması gerekir ve türev ile ilgili bilmeniz gereken kısım burada bitti.
Buradan sonrası artık ikinci dereceden eşitsizlik kısmı.
Şimdi bu eşitsizliğin hep sağlanması gerekiyor değil mi?
Daima artan olması için 3 x kare artı 6 xx.
A'nın hep pozitif olması gerekir.
Peki bunu hep pozitif yapan A değerini ben nasıl bulacağım?
Şöyle diyelim bunlar da birkaç böyle ezber lik tanımlar verilebilir ama onlar da çok karışacak kafanız.
Şöyle anlatıyorum, bunun hep pozitif olmasını istiyoruz değil mi?
Şimdi bu ikinci dereceden bir eşitsizlik.
O ikinci dereceden denklemin iki iki tane tek katlı kökü olsa o zaman ben buraya artı değil mi?
3 x karenin işareti pozitif olduğu için artı kök de değiştirdim, kök de değiştirdim, işaret tablosunu bu şekilde kurarım.
Yani illaki bir yerde bu fonksiyon azalan olur mu arkadaşlar?
Daima artan dır diyemem.
Yani ben neyi istemiyorum?
İki farklı kökünün olmasını istemiyorum.
Bakalım çift katlı kök olmasını istiyor muyuz?
Çift katlı kök olsun.
O zaman burası artı burası da artı olur.
Fonksiyon burada artı andır.
Burada da artı andır.
Bakın fonksiyon hep artan mı?
Evet, fonksiyon hep artan oldu.
O zaman biz bunu istiyoruz arkadaşlar.
Yani çift katlı kök olmasını istiyoruz.
Sonra hiç kök olmayabilir.
Hiç kök olmadığında en sağa IX.
Karenin işaretini koydum.
Kök görmeyince hepsi pozitif olacak.
Zaten benim istediğine bu değil mi?
Hep pozitif olması değil mi?
O zaman benim istediğim ya çift katlı kök olsun ya da hiç kökü olmasın.
Yani 3x kale artı 6 x eksi anın deltası arkadaşlar.
Ya pozitif üzülelim ya negatif olsun.
Hiç kök olmayacak ya da olacaksa çift katlı olsun.
Delta küçük eşit 0 demeliyiz arkadaşlar.
O zaman Baykara yani 36 eksi 4 çarpı a çarpı cebimizde eksi adır.
Biz bunun negatif veya 0 olmasını istiyoruz.
Çözelim 36 artı on iki a küçük eşit sıfır olacaksa o nikahı burada kalsın.
30 6'yı diğer tarafa eksi 36 olarak gönderdim ve her iki tarafı on ikiye böldü.
Pozitif sayÄ bölüm için yön değişmez.
Eksi 36 12'ye öldüğünde de eksi 3 olur.
Yani AAA elemanıdır.
Eksi sonsuz, eksi üç kapalı aralığında olmalıdır arkadaşlar.
Bakalım buna benzer bir örnek daha yazmıştım.
Tevfik seçi̇ldi̇.
Xx Küba artı 6 İskele artı AİK.
Seksi B fonksiyonu tüm reel sayıları için azalan ise Ağa'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri nedir?
Tüm reel sayılar için ajan ansa türevi hep negatif olacak anlamı vardır.
Türevi ni alalım.
Eff türevi eksi eşittir eksi üç IX kare artı on iki x artı A türevi ne aldınız ve bunun hep negatif olmasını istiyorum.
Bunun hep negatif olmasını istiyorsam arkadaşlar yine az önceki gibi ya bunun çift katlı kökü olacak ya da hiç kökü olmaması lazım değil mi?
Bakın İskelenin işareti de negatif iki tane kökü olsa iki farklı, kökü olsa N ile başlayıp eksi artı eksi yani bu fonksiyonun illaki bir yerde artan olacak.
O yüzden çift katlı kök olmasını, pardon iki tane kök olmasını istemiyorum arkadaşlar.
Ya çift katlı kök olacak ya da hiç kök olmayacak yani.
Yine delta ya küçük olacak ya da sıfıra eşit olacak.
O zaman delta mız 12'nin karesi bekara yani 144 eksi 4 ağımız eksi 3 c mizde.
A.
Biz bunun küçük eşit 0 olmasını istiyoruz.
Yüz kırk dört artı on iki AAA küçük eşit sıfır olacaksa o nikahı burda dursun yine yüz kırk dördü diğer tarafa attım eksi 144.
Her iki tarafı 12'ye bölümde yine yön değiştirmez, eksi 144 on ikiye böldüğünü de de eksi on 12 olur yani a elemanıdır.
Hangi aralığın eksi sonsuz, eksi on iki kapalı aralığının elemanı olmalıdır ki aa bu fonksiyon tüm reel sayılarda azalan olsun.
Bize neyi sormuş?
A'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri.
O zaman en büyük tam sayı değerimiz eksi 12 ve eksi 12'den bütün küçük sayılar alıyorsak en büyükleri eksi 12'de arkadaşlar.
Cevabımız eksi on iki.
Sıkça Sorulan Sorular
Daima artan fonksiyon türev yardımıyla nasıl anlaşılır?
Reel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonunda f'(x) = ax2 + bx + c olmak üzere,
a > 0 ve Δ ≤ 0 ise f fonksiyonu daima artan fonksiyondur.
Not: “Bir fonksiyon belli bir aralıkta hep artansa, o aralıkta her noktasındaki türevi pozitiftir denemez, bazen 0 da olabilir. Türevin 0 olduğu nokta sayısı sonluysa fonksiyon daimi artandır.” (Kaynak: Mustafa Yağcı MY MAT-3 Kitabı)
Daima azalan fonksiyon türev yardımıyla nasıl anlaşılır?
Reel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonunda f'(x) = ax2+ bx + c olmak üzere,
a < 0 ve Δ ≤ 0 ise f fonksiyonu daima azalan fonksiyondur.
Not: “Bir fonksiyon belli bir aralıkta hep azalansa, o aralıkta her noktasındaki türevi negatiftir denemez, bazen 0 da olabilir. Türevin 0 olduğu nokta sayısı sonluysa fonksiyon daimi azalandır.” (Kaynak: Mustafa Yağcı MY MAT-3 Kitabı)
