Merhaba sevgili arkadaşlar, bu videomuzda artan azalan fonksiyonların türevi ile ilişkisini inceleyeceğiz.
Ev AB'ye kapalı ayrılığından reel sayılara tanımlı ve her x1 x2 eleman AB'ye kapalı aralığı için x1 küçüktür x2 iken ev x1 ev fiks 2'den daha küçükse fiks fonksiyonu AB kapalı aralığında artı Kur'an'dır.
Burada ne demek istedik?
Yani fonksiyon da ilk yerine yazdığımız değerleri büyüttüğümüz de, elde ettiğimiz sonuçlar da büyüyorsa artan dır arkadaşlar.
Aynı şekilde tanımlı başka bir fonksiyonun da ilk zeyne yazdığımız değerleri büyüttüğümüz de elde ettiğimiz sonuçlar küçülüyor.
Bu fonksiyon az alandır.
Grafik lerimize bakalım.
Ab'ye aralığında ev ve g fonksiyonlarının grafiklerini verdim.
Bakın IX birden x 2'ye gittiğimde arttırdığını da değeri mi?
Ne oldu?
Bunları yerine yazdığımızda elde ettiğimiz sonuçlara bakın.
Ev fiks bir burada, ev x2 burada.
Yani sonuç larımız arttı deme.
X yerine yazdığım değerleri arttırdıkça.
Elde ettiğim sonuçlar da artı bu fonksiyon artı andır.
G fonksiyonunda bakın x birden x 2'ye giderken değerleri arttırmış oldum.
Elde ettiğim sonuçlara bakın.
Ev fiks bir burada ve ev IX burada.
Yani ev fiks iki daha küçük.
İlk sene yazdım, değeri büyüttüm ama elde ettiğim sonuç küçüldü.
O halde bu fonksiyonunda azalan fonksiyondur.
Yani koordinat düzleminde sağa doğru gittikçe grafiğini yukarı doğru çıkıyorsa bu artan deri sağa doğru gittiğimizde grafik aşağı doğru iniyor ise bu azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Şimdi bunun türev ile ilişkisine bakalım.
Artan fonksiyon da herhangi bir nokta neresinde olursa olsun bir nokta seçin ve o noktadan tweetler atın.
Bu tweetleri attım.
Bakın bu tweetlerin ortak özelliği ne?
Eeee bu artan fonksiyon üzerinde hangi noktaya alırsam alayım hiçbir noktada attığım tweet bu şekilde olmaz ve hepsi böyledir.
Bu şekildedir.
Bu yöne doğru bakar.
Yani ilk 80 ile yaptığı pozitif yönlü açığının tancan rantı pozitiftir değil mi?
Açımız dar açı çünkü zaten o noktadaki türev neye eşitti?
O noktadaki T yeteneği mini eteği deneyiminin pozitif olduğunu bulunuz.
Demek ki fonksiyonu artan sa o aralıktaki türevleri miyiz?
Pozitif olmalıdır arkadaşlar.
Her ilk z eleman AB'ye kapalı aralığı için türevi miz pozitif çıkıyorsa ev bu aralıkta artı andır.
Aynı mantıkla azalan fonksiyonun üzerinde birkaç nokta belirleyin.
Bakın oralardan tweetler atın arkadaşlar.
Ne olur o attığınız tweetler kesinlikle ilk sekseni ile yaptığı pozitif yönlü açığı geniş açılır.
Yani tanjant negatif dir.
Yani eğimi negatif dir.
Ekimde ne demek o noktadaki türev demek zaten yani türevi miz negatif olmalıdır.
Buradan şu sonucu çıkartıyoruz bu aralıkta türevi miyiz?
Negatif ise arkadaşlar o aralıkta fonksiyonu muz azalan dır diyebilir miyiz?
Yani türev pozitif ise artan, türev negatif ise azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Örneğimizde bakalım fiks eşittir 3 3x kare eksi 12 lik sardı, 5 fonksiyonu artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
Artan azalan olduğu aralıklar için ne yapacağım?
Fonksiyonun türevi nin işaretini inceleyeceğim.
Türevi nin pozitif olduğu yerde artan, türevi negatif olduğu yerde azalan peki tünelinin işaret tablosunu nasıl yaparım?
Türevi nin köklerini bulmam gerekir.
O yüzden bir türev ini alalım.
Ef türevi X eşittir 2'yi başa indirdim 3'le çarptım.
6 x buranın türevi x 12 eksin, türevi de eksi 10 ikidir.
5'in türevi 0 zaten türevi bir sıfıra eşit dedim.
6 x eşittir 12 buldum ve türevi kökünün iki olduğunu bulduk.
Yani türevi in işaret değiştirdiği yer zaten kökü dü o da 2 imiş.
2'de türev işaret değiştiriyor arkadaşlar tek katlı kök.
O zaman sağ en büyük dereceli terimin katsayısının işareti yani 6 yıksın katsayısının işaretini pozitif yazdım.
Kök de işaret değiştirdim o halde.
Bakın bu aralıkta fonksiyonu muzun türevi negatif imiş.
Bu aralıkta fonksiyonu uzun, türevi pozitif miş.
Yani fonksiyon burada arkadaşlar az alandır.
Buradaki fonksiyon artı andır.
O zaman ne diyeceğiz?
Hangi aralıkta artan azalan eksi sonsuz dan 2'ye kadar kapalı olacak burası.
Dikkat edin eksi sonsuz iki kapalı aralığında fonksiyon neymiş azalan mış.
Ve iki kapalı yine iki sonsuz aralığında fonksiyonu muz artan arkadaşlar şu burada şunu diyebilirsiniz.
Hocam ikide hem azalan hem artan dedin.
Zaten artan azalan lık aralıklarda söylenebilir arkadaşlar.
Ey hocam ilk seçilir, ikide ne artan mı azalan mı demeyin.
İlk seçimdir 2'de artan darı ilk seçimdir, 2'de ajandır gibi bir şey söyleyemeyiz zaten.
Artan, azalan Ilık Aralık için söyleriz.
O zaman eksi sonsuz iki kapalı aralığında azalan kapalı iki sonsuz aralığında da artı Kur'an'dır, ikiyi ikisinde de dahil alırız.
Devam edelim, fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Yine ne yapacağım türevi aldınız?
Eff türevi Higgs eşittir 6 ilk kare eksi on sekiz, IX eksi yirmi dört tür.
Evimizi bir sıfıra eşit değilim.
Hatta bunu altı parantezine alıp IX kare eksi üç, IX eksi dört eşittir sıfır.
O da altı çarpı IX eksi 4, IX artı bir diye burayı çarpanlar ayırabiliriz.
Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşit dediğimde ilk seksi dördü sıfıra izlediğimde eksi 4 IX artı biri sıfıra işlediğinde eksi eksi 1 bulurum.
O zaman eksi 1 ve 4.
Bu denklemin tek katlı kökleri dir.
Arkadaşlar en sağ IX.
Karenin katsayısı olan pozitif yazdım.
Kök de değiştirdim, kök de değiştirdim.
Yani fonksiyon burada artan burada, azalan burada artı andır.
Ne diyeceğiz?
Eksi sonsuz dan eksi bir kapalı aralığına kadar fonksiyon şöyle birleşim diyelim.
Hatta 4 sonsuz da fonksiyon umuz artı andır.
Eksi bir kapalı 4 kapalı aralığında fonksiyon muz azalan olmalıdır arkadaşlar.
Ev AB'ye kapalı ayrılığından reel sayılara tanımlı ve her x1 x2 eleman AB'ye kapalı aralığı için x1 küçüktür x2 iken ev x1 ev fiks 2'den daha küçükse fiks fonksiyonu AB kapalı aralığında artı Kur'an'dır.
Burada ne demek istedik?
Yani fonksiyon da ilk yerine yazdığımız değerleri büyüttüğümüz de, elde ettiğimiz sonuçlar da büyüyorsa artan dır arkadaşlar.
Aynı şekilde tanımlı başka bir fonksiyonun da ilk zeyne yazdığımız değerleri büyüttüğümüz de elde ettiğimiz sonuçlar küçülüyor.
Bu fonksiyon az alandır.
Grafik lerimize bakalım.
Ab'ye aralığında ev ve g fonksiyonlarının grafiklerini verdim.
Bakın IX birden x 2'ye gittiğimde arttırdığını da değeri mi?
Ne oldu?
Bunları yerine yazdığımızda elde ettiğimiz sonuçlara bakın.
Ev fiks bir burada, ev x2 burada.
Yani sonuç larımız arttı deme.
X yerine yazdığım değerleri arttırdıkça.
Elde ettiğim sonuçlar da artı bu fonksiyon artı andır.
G fonksiyonunda bakın x birden x 2'ye giderken değerleri arttırmış oldum.
Elde ettiğim sonuçlara bakın.
Ev fiks bir burada ve ev IX burada.
Yani ev fiks iki daha küçük.
İlk sene yazdım, değeri büyüttüm ama elde ettiğim sonuç küçüldü.
O halde bu fonksiyonunda azalan fonksiyondur.
Yani koordinat düzleminde sağa doğru gittikçe grafiğini yukarı doğru çıkıyorsa bu artan deri sağa doğru gittiğimizde grafik aşağı doğru iniyor ise bu azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Şimdi bunun türev ile ilişkisine bakalım.
Artan fonksiyon da herhangi bir nokta neresinde olursa olsun bir nokta seçin ve o noktadan tweetler atın.
Bu tweetleri attım.
Bakın bu tweetlerin ortak özelliği ne?
Eeee bu artan fonksiyon üzerinde hangi noktaya alırsam alayım hiçbir noktada attığım tweet bu şekilde olmaz ve hepsi böyledir.
Bu şekildedir.
Bu yöne doğru bakar.
Yani ilk 80 ile yaptığı pozitif yönlü açığının tancan rantı pozitiftir değil mi?
Açımız dar açı çünkü zaten o noktadaki türev neye eşitti?
O noktadaki T yeteneği mini eteği deneyiminin pozitif olduğunu bulunuz.
Demek ki fonksiyonu artan sa o aralıktaki türevleri miyiz?
Pozitif olmalıdır arkadaşlar.
Her ilk z eleman AB'ye kapalı aralığı için türevi miz pozitif çıkıyorsa ev bu aralıkta artı andır.
Aynı mantıkla azalan fonksiyonun üzerinde birkaç nokta belirleyin.
Bakın oralardan tweetler atın arkadaşlar.
Ne olur o attığınız tweetler kesinlikle ilk sekseni ile yaptığı pozitif yönlü açığı geniş açılır.
Yani tanjant negatif dir.
Yani eğimi negatif dir.
Ekimde ne demek o noktadaki türev demek zaten yani türevi miz negatif olmalıdır.
Buradan şu sonucu çıkartıyoruz bu aralıkta türevi miyiz?
Negatif ise arkadaşlar o aralıkta fonksiyonu muz azalan dır diyebilir miyiz?
Yani türev pozitif ise artan, türev negatif ise azalan fonksiyondur arkadaşlar.
Örneğimizde bakalım fiks eşittir 3 3x kare eksi 12 lik sardı, 5 fonksiyonu artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
Artan azalan olduğu aralıklar için ne yapacağım?
Fonksiyonun türevi nin işaretini inceleyeceğim.
Türevi nin pozitif olduğu yerde artan, türevi negatif olduğu yerde azalan peki tünelinin işaret tablosunu nasıl yaparım?
Türevi nin köklerini bulmam gerekir.
O yüzden bir türev ini alalım.
Ef türevi X eşittir 2'yi başa indirdim 3'le çarptım.
6 x buranın türevi x 12 eksin, türevi de eksi 10 ikidir.
5'in türevi 0 zaten türevi bir sıfıra eşit dedim.
6 x eşittir 12 buldum ve türevi kökünün iki olduğunu bulduk.
Yani türevi in işaret değiştirdiği yer zaten kökü dü o da 2 imiş.
2'de türev işaret değiştiriyor arkadaşlar tek katlı kök.
O zaman sağ en büyük dereceli terimin katsayısının işareti yani 6 yıksın katsayısının işaretini pozitif yazdım.
Kök de işaret değiştirdim o halde.
Bakın bu aralıkta fonksiyonu muzun türevi negatif imiş.
Bu aralıkta fonksiyonu uzun, türevi pozitif miş.
Yani fonksiyon burada arkadaşlar az alandır.
Buradaki fonksiyon artı andır.
O zaman ne diyeceğiz?
Hangi aralıkta artan azalan eksi sonsuz dan 2'ye kadar kapalı olacak burası.
Dikkat edin eksi sonsuz iki kapalı aralığında fonksiyon neymiş azalan mış.
Ve iki kapalı yine iki sonsuz aralığında fonksiyonu muz artan arkadaşlar şu burada şunu diyebilirsiniz.
Hocam ikide hem azalan hem artan dedin.
Zaten artan azalan lık aralıklarda söylenebilir arkadaşlar.
Ey hocam ilk seçilir, ikide ne artan mı azalan mı demeyin.
İlk seçimdir 2'de artan darı ilk seçimdir, 2'de ajandır gibi bir şey söyleyemeyiz zaten.
Artan, azalan Ilık Aralık için söyleriz.
O zaman eksi sonsuz iki kapalı aralığında azalan kapalı iki sonsuz aralığında da artı Kur'an'dır, ikiyi ikisinde de dahil alırız.
Devam edelim, fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Yine ne yapacağım türevi aldınız?
Eff türevi Higgs eşittir 6 ilk kare eksi on sekiz, IX eksi yirmi dört tür.
Evimizi bir sıfıra eşit değilim.
Hatta bunu altı parantezine alıp IX kare eksi üç, IX eksi dört eşittir sıfır.
O da altı çarpı IX eksi 4, IX artı bir diye burayı çarpanlar ayırabiliriz.
Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşit dediğimde ilk seksi dördü sıfıra izlediğimde eksi 4 IX artı biri sıfıra işlediğinde eksi eksi 1 bulurum.
O zaman eksi 1 ve 4.
Bu denklemin tek katlı kökleri dir.
Arkadaşlar en sağ IX.
Karenin katsayısı olan pozitif yazdım.
Kök de değiştirdim, kök de değiştirdim.
Yani fonksiyon burada artan burada, azalan burada artı andır.
Ne diyeceğiz?
Eksi sonsuz dan eksi bir kapalı aralığına kadar fonksiyon şöyle birleşim diyelim.
Hatta 4 sonsuz da fonksiyon umuz artı andır.
Eksi bir kapalı 4 kapalı aralığında fonksiyon muz azalan olmalıdır arkadaşlar.
Sıkça Sorulan Sorular
Artan fonksiyon nasıl bulunur?
f: [a, b] → R ve ∀ x1, x2 ∈ [a, b] için x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında artandır.
Tanım kümesindeki elemanların değeri arttıkça değer kümesindeki elemanların değeri de artıyorsa, o fonksiyon artan fonksiyondur diyebiliriz.
Azalan fonksiyon nasıl bulunur?
f: [a, b] → R ve ∀ x1, x2 ∈ [a, b] için x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında azalandır.
Tanım kümesindeki elemanların değeri arttıkça değer kümesindeki elemanların değeri azalıyorsa, o fonksiyon azalan fonksiyondur diyebiliriz.
Fonksiyonun artan ve azalan olduğunu türev yardımıyla nasıl anlarız?
∀ x ∈ [a, b] için f’(x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında artandır.
Not: f fonksiyonu [a, b] aralığında artan ise bu aralığın her noktasında teğetin eğimi pozitiftir, dolayısıyla türev de pozitif olur.
∀ x ∈ [a, b] için f’(x) < 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında azalandır.
Not: f fonksiyonu [a, b] aralığında azalan ise bu aralığın her noktasında teğetin eğimi negatiftir, dolayısıyla türev de negatif olur.
