Merhaba sevgili arkadaşlar, ekstremum noktalarla ilgili örnek çözümüne devam ediyorum.
Yanda f x türevinin grafiği verildi.
Buna göre alttaki soruları cevaplayalım.
Dikkat edin.
F x'in değil f türev x'in grafiği velidi.
Altta demişiz ki f x in artan azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Grafiğin aynısını ben alta da çizdim.
Artan azalan olduğu yerleri bulmak için f x'in artan azalan olduğu yerleri bulmak için türevin işaretini incelemek gerekir.
Türevin pozitif olduğu yerde f x artandır, türevin negatif olduğu yerde f x azalandır.
Türevin pozitif olduğunu nasıl anlarım?
Grafikte x ekseninin üzerinde ise o zaman işareti pozitiftir.
Burada f türev x'in x ekseninin üzerinde kalan kısımları neresi arkadaşlar?
Bakın şöyle şunlara artı koyalım.
Bakın burada fonksiyonumuz pozitif şu aralıklarda fonksiyonumuz hep pozitif.
Bu da pozitif devam ediyor.
Sadece nerede fonksiyonumuzun türevi negatif.
Bakın burada negatif negatif.
Bu aralıklarda türevin değerleri negatif.
O zaman f türev x eksi sonsuzdan 3'e kadar eksi 3'e kadar n pozitif olduğu için fonksiyonum artandır artan azalanlık da arkadaşlar dahilliği de alıyorduk birleşim eksi birden sonsuza kadar f x artandır.
Azalan olduğu yerde türevin negatif olduğu kısım neresi?
Eksi 3 ile eksi 1 aralığı dahildi.
Kalıp eksi 3 eksi 1 aralığında da f x'in azalan olduğunu söyleyebiliriz.
Çünkü türevin işareti pozitif yerde artan, negatif olduğu yerde azalandı.
Evet, A şıkkı tamam.
B'de neyi sormuşuz.
F x'in ekstrem noktalarının apsisleri, f x'in ekstrem noktalarına dikkat edin.
O zaman f x'in ekstremum noktasında nedir?
f türevi sıfırdır.
O zaman f türev x'in kökleri lazım ama tek katlı kökler lazım.
Bir fonksiyonun grafiğinde kökleri nasıl anlarız?
x eksenini kestiği yerler onun kökleridir.
Bakın burada eksi üç, eksi bir ve üç f türev x'in kökleri.
Ama üç burada çift katlı kök.
Teğet olduğunda çift katlı kök kestiğinde tek katlı kök arkadaşlar.
Yani f x'in yerel maksimuma, yerel minimum noktalarının apsisleri eksi 3 ve eksi birdir.
Peki hangisi maks, hangisi min eksi 3'te bakın ne oldu?
Fonksiyon artandan pozitifdi çünkü artandan azalana geçti şu şekilde.
Artandan azalana geçti o zaman x eşittir eksi 3 f x'in Neymiş yerel maksimum noktasının apsisiymiş.
O halde x eşittir eksi 1'de bakın o da azalandan artana geçiyor.
x eşittir eksi birde de f x'in yerel minimum noktasının apsisidir arkadaşlar.
Evet C'ye bakalım.
f türev x'in artan azalan olduğu aralıkları bulunuz demiş.
Zaten f türev x'in grafiği verildi.
Bize de f türev x'in artan azalan olduğu yerleri soruyor.
O zaman sağa doğru ilerledikçe fonksiyonum aşağı doğru iniyor.
Azalan yukarı doğru çıkıyorsa artandır.
Bakın fonksiyon ne oldu?
Buradan eksi 2'ye kadar azaldı.
O zaman eksi sonsuzdan eksi 2'ye kadar eksi iki dahil ve birleşim başka nerede azalan?
Birden 3'e kadar.
Bakın şöyle bir azalanlık var.
O zaman bir üçte ne diyeceğiz?
f türev x azalandır.
Artan olduğu yer de burası ve burası.
Arkadaşlar o zaman eksi 2'den başlayıp eksi 2'den bire kadar birleşim üçten sonsuza kadar f Türev x artandır.
Son olarak d'de neyi soruyoruz?
f Türev x'in ekstremum noktaları zaten f türev x bilgi grafiği verildi.
Ekstremum yani maksimum minimum noktaya bakın.
Burada azaldı azaldı, artışa geçti.
Yani burada ne var arkadaşlar minimum var f türev x'in minimumu burada, maksimumu burada tekrar minimum u var.
O zaman d de neymiş?
f Türev x'in yerel maksimum noktasının apsisi hangisi?
x eşittir 1.
f türev x'in yerel minimum noktasının apsisi de arkadaşlar azalıp artana geçtiği yer neresi?
X eşittir eksi 2 ve eksi eşittir üç.
x eşittir eksi 2 ve X eşittir 3 noktaları da f türev x'in, maksimum minimum noktalarının apsisleriymiş arkadaşlar.
Devam edelim diğer sorumuza.
Yanda f x'in türevinin grafiği verildiğine Buna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
f x artandır bakın türevimiz pozitif mi?
Evet, o zaman f türev x artandır.
Pardon, f x artandır türevi pozitif olduğu için f x artandır.
Çünkü x ekseninin üzerinde grafiğimiz yani f türevi pozitif.
Evet, ikide diyor ki f x, x eşittir 3'te minimum değerini alır.
Burada minimum değerini, x eşittir 3'te minimum değerini alan şey f x değil.
f türev x bakın f türevi x 3'e kadar azaldı, azaldı.
Sonra artışa geçti.
x eşittir 3'te arkadaşlar f türev x minimum değerin adıdır.
f x değil.
f x'in X eşittir 3te minimum değerin alması için türevin grafiği x eksenini kesmesi gerekirdi.
Tek katlı kök olması gerekirdi.
Yani fonksiyon azalandan artana geçmesi gerekirdi.
Yani f türevin işareti x den artıya geçmeliydi arkadaşlar minimum değeri alması için.
Zaten f türev x hiçbir zaman eksiye geçmedi değil mi?
O yüzden x eşittir 3te minimum değerini alamaz f X.
Üçte f x'in ekstrem noktası yoktur.
F x'in ekstremum noktası var mı yok mu bakalım.
f türev x'in tek katlı kökü var mı arkadaşlar?
Yani x eksenini böyle kesip geçtiği bir yer var mı?
Yok.
O zaman ekstremum noktası yoktur.
Doğrudur arkadaşlar.
Dörtte her x elemanı reel sayı için f ikinci türev X vardır.
Ikinci türev x ne demek?
f türev x'in tekrar türevini alın demek.
Şimdi ikinci türevi, birinci türevi grafiği var ve f türev x'in grafiğinde bakın burda sivri uç var.
Arkadaşlar burada sivri uç olduğu için x eşittir 3'te bu fonksiyonun yani f türev x'in türevi yani f ikinci türevi X yoktur.
Orada sivri uç kırılma olduğu için türev vardır demişti.
4 yanlış.
5'de her x elemanı reel sayı için f türev X vardır zaten.
Bakın f türev x'in grafiği burada.
Tanımsız yapan bir değer var mı?
Yok.
Bu şu demektir.
Her X için türevi var demektir.
O zaman 5 de doğrudur arkadaşlar.
1, 3 ve 5 doğru.
Son bir sorumuz kaldı yanda f x fonksiyonun türevinin grafiğini verdim.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
Bakın yine f'in grafiği değil f türevin grafiği.
Buraya dikkat.
Ama bize f ile ilgili sıralama sormuş.
f eksi bir, f sıfırdan daha büyüktür demiş.
Bunun için şuna bakın.
Eksi birle sıfırın olduğu aralıkta fonksiyon artan mı azalan mı?
Eksi birle sıfırın olduğu bölge şurası ve bakın türevimiz bu bölgede pozitif değil mi?
Türevi pozitif ise fonksiyon artandır.
Fonksiyonun artan olması ne demek?
x'e yazdığınız değerleri büyüttüğünüzde sonuçlar da büyümesi gerekir değil mi?
Bakın burada x'e yazdığında değeri büyüttüm ama sonuç büyümemiş.
O zaman bir yanlıştır arkadaşlar.
5 ile 6'nın olduğu bölge şu bölge, 5 ile 6 şurada bir yerde ve bu aralıkta f türev negatif yani fonksiyonu azalan.
O yüzden x yerine yazdığım değerleri büyüttüğümde sonuçların küçülmesi gerekir.
Bakın 5'ten 6'ya değeri büyütmüşüm ve sonucun daha küçük çıkmış o zaman 2 doğrudur.
3'e baktım.
7 ile 8, hemen 7 ile 8'in olduğu bölgeye bakın.
Bu bölge o zaman bu aralıkta f türevi negatif yani azalan, içine yazdığım değeri büyüttüğümde sonucun küçülmesi gerekir.
f 8 daha küçüktür.
Doğrudur.
4'te bakın türevinin sıralaması verilmiştir.
Grafiğe bakıp yorum yapmanız lazım.
7 ve 8 bakın 7'nin değeri 7 şurada bir yerde zaten negatif bir değer f türev 7 f türev 8'de 0 değil mi?
O zaman f türev 8 daha büyüktür.
Gitti 4'te yanlıştır.
f 1 ve f 3 hemen 1 ile 3'ün olduğu bölgeye bakalım.
1 ile 3.
Şu bölgede değil mi ve türevimiz pozitif.
Bu bölgede o zaman artandır.
Yani içine yazdığım değeri büyüdükçe sonuç büyümesidir.
O halde f üç daha büyüktür arkadaşlar 5 doğrudur.
6'da eksi 4 ve eksi 3'e bakalım.
Eksi 4 ve eksi 3.
Şu bölgede bir yerde fonksiyon böyle devam edecek sonuçta.
Yani türevimiz negatif arkadaşlar.
O zaman içine yazdığım değeri büyüttüğümde sonucunun küçülmesi lazım.
Çünkü azalan bir fonksiyon bu.
O halde 4 doğrudur.
Bakın içine yazdığınız değeri büyüttünüz ve daha küçük çıktı f ikinci türev iki pozitiftir diyor.
Şimdi burada şöyle diyelim f türev x, x eşittir 2'de maksimum değerini almış mı?
O zaman maksimum minimum noktalarda o fonksiyonun türevi sıfırdır değil mi?
Yani bakın buradaki eğim x eksenine teğet doğrusu x eksenine paralel yani x eşittir iki deki f türev x'in teğetinin eğimi sıfır.
O zaman f Türev X'in bu noktadaki türevi yani ikinci türev.
O zaman f türev iki eşittir sıfır olmalıydı.
Burada pozitiftir demiş.
Yanlıştır arkadaşlar.
2 3 ve 5 6 doğrudur.
Diğerleri yanlıştır.
Yanda f x türevinin grafiği verildi.
Buna göre alttaki soruları cevaplayalım.
Dikkat edin.
F x'in değil f türev x'in grafiği velidi.
Altta demişiz ki f x in artan azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Grafiğin aynısını ben alta da çizdim.
Artan azalan olduğu yerleri bulmak için f x'in artan azalan olduğu yerleri bulmak için türevin işaretini incelemek gerekir.
Türevin pozitif olduğu yerde f x artandır, türevin negatif olduğu yerde f x azalandır.
Türevin pozitif olduğunu nasıl anlarım?
Grafikte x ekseninin üzerinde ise o zaman işareti pozitiftir.
Burada f türev x'in x ekseninin üzerinde kalan kısımları neresi arkadaşlar?
Bakın şöyle şunlara artı koyalım.
Bakın burada fonksiyonumuz pozitif şu aralıklarda fonksiyonumuz hep pozitif.
Bu da pozitif devam ediyor.
Sadece nerede fonksiyonumuzun türevi negatif.
Bakın burada negatif negatif.
Bu aralıklarda türevin değerleri negatif.
O zaman f türev x eksi sonsuzdan 3'e kadar eksi 3'e kadar n pozitif olduğu için fonksiyonum artandır artan azalanlık da arkadaşlar dahilliği de alıyorduk birleşim eksi birden sonsuza kadar f x artandır.
Azalan olduğu yerde türevin negatif olduğu kısım neresi?
Eksi 3 ile eksi 1 aralığı dahildi.
Kalıp eksi 3 eksi 1 aralığında da f x'in azalan olduğunu söyleyebiliriz.
Çünkü türevin işareti pozitif yerde artan, negatif olduğu yerde azalandı.
Evet, A şıkkı tamam.
B'de neyi sormuşuz.
F x'in ekstrem noktalarının apsisleri, f x'in ekstrem noktalarına dikkat edin.
O zaman f x'in ekstremum noktasında nedir?
f türevi sıfırdır.
O zaman f türev x'in kökleri lazım ama tek katlı kökler lazım.
Bir fonksiyonun grafiğinde kökleri nasıl anlarız?
x eksenini kestiği yerler onun kökleridir.
Bakın burada eksi üç, eksi bir ve üç f türev x'in kökleri.
Ama üç burada çift katlı kök.
Teğet olduğunda çift katlı kök kestiğinde tek katlı kök arkadaşlar.
Yani f x'in yerel maksimuma, yerel minimum noktalarının apsisleri eksi 3 ve eksi birdir.
Peki hangisi maks, hangisi min eksi 3'te bakın ne oldu?
Fonksiyon artandan pozitifdi çünkü artandan azalana geçti şu şekilde.
Artandan azalana geçti o zaman x eşittir eksi 3 f x'in Neymiş yerel maksimum noktasının apsisiymiş.
O halde x eşittir eksi 1'de bakın o da azalandan artana geçiyor.
x eşittir eksi birde de f x'in yerel minimum noktasının apsisidir arkadaşlar.
Evet C'ye bakalım.
f türev x'in artan azalan olduğu aralıkları bulunuz demiş.
Zaten f türev x'in grafiği verildi.
Bize de f türev x'in artan azalan olduğu yerleri soruyor.
O zaman sağa doğru ilerledikçe fonksiyonum aşağı doğru iniyor.
Azalan yukarı doğru çıkıyorsa artandır.
Bakın fonksiyon ne oldu?
Buradan eksi 2'ye kadar azaldı.
O zaman eksi sonsuzdan eksi 2'ye kadar eksi iki dahil ve birleşim başka nerede azalan?
Birden 3'e kadar.
Bakın şöyle bir azalanlık var.
O zaman bir üçte ne diyeceğiz?
f türev x azalandır.
Artan olduğu yer de burası ve burası.
Arkadaşlar o zaman eksi 2'den başlayıp eksi 2'den bire kadar birleşim üçten sonsuza kadar f Türev x artandır.
Son olarak d'de neyi soruyoruz?
f Türev x'in ekstremum noktaları zaten f türev x bilgi grafiği verildi.
Ekstremum yani maksimum minimum noktaya bakın.
Burada azaldı azaldı, artışa geçti.
Yani burada ne var arkadaşlar minimum var f türev x'in minimumu burada, maksimumu burada tekrar minimum u var.
O zaman d de neymiş?
f Türev x'in yerel maksimum noktasının apsisi hangisi?
x eşittir 1.
f türev x'in yerel minimum noktasının apsisi de arkadaşlar azalıp artana geçtiği yer neresi?
X eşittir eksi 2 ve eksi eşittir üç.
x eşittir eksi 2 ve X eşittir 3 noktaları da f türev x'in, maksimum minimum noktalarının apsisleriymiş arkadaşlar.
Devam edelim diğer sorumuza.
Yanda f x'in türevinin grafiği verildiğine Buna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
f x artandır bakın türevimiz pozitif mi?
Evet, o zaman f türev x artandır.
Pardon, f x artandır türevi pozitif olduğu için f x artandır.
Çünkü x ekseninin üzerinde grafiğimiz yani f türevi pozitif.
Evet, ikide diyor ki f x, x eşittir 3'te minimum değerini alır.
Burada minimum değerini, x eşittir 3'te minimum değerini alan şey f x değil.
f türev x bakın f türevi x 3'e kadar azaldı, azaldı.
Sonra artışa geçti.
x eşittir 3'te arkadaşlar f türev x minimum değerin adıdır.
f x değil.
f x'in X eşittir 3te minimum değerin alması için türevin grafiği x eksenini kesmesi gerekirdi.
Tek katlı kök olması gerekirdi.
Yani fonksiyon azalandan artana geçmesi gerekirdi.
Yani f türevin işareti x den artıya geçmeliydi arkadaşlar minimum değeri alması için.
Zaten f türev x hiçbir zaman eksiye geçmedi değil mi?
O yüzden x eşittir 3te minimum değerini alamaz f X.
Üçte f x'in ekstrem noktası yoktur.
F x'in ekstremum noktası var mı yok mu bakalım.
f türev x'in tek katlı kökü var mı arkadaşlar?
Yani x eksenini böyle kesip geçtiği bir yer var mı?
Yok.
O zaman ekstremum noktası yoktur.
Doğrudur arkadaşlar.
Dörtte her x elemanı reel sayı için f ikinci türev X vardır.
Ikinci türev x ne demek?
f türev x'in tekrar türevini alın demek.
Şimdi ikinci türevi, birinci türevi grafiği var ve f türev x'in grafiğinde bakın burda sivri uç var.
Arkadaşlar burada sivri uç olduğu için x eşittir 3'te bu fonksiyonun yani f türev x'in türevi yani f ikinci türevi X yoktur.
Orada sivri uç kırılma olduğu için türev vardır demişti.
4 yanlış.
5'de her x elemanı reel sayı için f türev X vardır zaten.
Bakın f türev x'in grafiği burada.
Tanımsız yapan bir değer var mı?
Yok.
Bu şu demektir.
Her X için türevi var demektir.
O zaman 5 de doğrudur arkadaşlar.
1, 3 ve 5 doğru.
Son bir sorumuz kaldı yanda f x fonksiyonun türevinin grafiğini verdim.
Buna göre aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
Bakın yine f'in grafiği değil f türevin grafiği.
Buraya dikkat.
Ama bize f ile ilgili sıralama sormuş.
f eksi bir, f sıfırdan daha büyüktür demiş.
Bunun için şuna bakın.
Eksi birle sıfırın olduğu aralıkta fonksiyon artan mı azalan mı?
Eksi birle sıfırın olduğu bölge şurası ve bakın türevimiz bu bölgede pozitif değil mi?
Türevi pozitif ise fonksiyon artandır.
Fonksiyonun artan olması ne demek?
x'e yazdığınız değerleri büyüttüğünüzde sonuçlar da büyümesi gerekir değil mi?
Bakın burada x'e yazdığında değeri büyüttüm ama sonuç büyümemiş.
O zaman bir yanlıştır arkadaşlar.
5 ile 6'nın olduğu bölge şu bölge, 5 ile 6 şurada bir yerde ve bu aralıkta f türev negatif yani fonksiyonu azalan.
O yüzden x yerine yazdığım değerleri büyüttüğümde sonuçların küçülmesi gerekir.
Bakın 5'ten 6'ya değeri büyütmüşüm ve sonucun daha küçük çıkmış o zaman 2 doğrudur.
3'e baktım.
7 ile 8, hemen 7 ile 8'in olduğu bölgeye bakın.
Bu bölge o zaman bu aralıkta f türevi negatif yani azalan, içine yazdığım değeri büyüttüğümde sonucun küçülmesi gerekir.
f 8 daha küçüktür.
Doğrudur.
4'te bakın türevinin sıralaması verilmiştir.
Grafiğe bakıp yorum yapmanız lazım.
7 ve 8 bakın 7'nin değeri 7 şurada bir yerde zaten negatif bir değer f türev 7 f türev 8'de 0 değil mi?
O zaman f türev 8 daha büyüktür.
Gitti 4'te yanlıştır.
f 1 ve f 3 hemen 1 ile 3'ün olduğu bölgeye bakalım.
1 ile 3.
Şu bölgede değil mi ve türevimiz pozitif.
Bu bölgede o zaman artandır.
Yani içine yazdığım değeri büyüdükçe sonuç büyümesidir.
O halde f üç daha büyüktür arkadaşlar 5 doğrudur.
6'da eksi 4 ve eksi 3'e bakalım.
Eksi 4 ve eksi 3.
Şu bölgede bir yerde fonksiyon böyle devam edecek sonuçta.
Yani türevimiz negatif arkadaşlar.
O zaman içine yazdığım değeri büyüttüğümde sonucunun küçülmesi lazım.
Çünkü azalan bir fonksiyon bu.
O halde 4 doğrudur.
Bakın içine yazdığınız değeri büyüttünüz ve daha küçük çıktı f ikinci türev iki pozitiftir diyor.
Şimdi burada şöyle diyelim f türev x, x eşittir 2'de maksimum değerini almış mı?
O zaman maksimum minimum noktalarda o fonksiyonun türevi sıfırdır değil mi?
Yani bakın buradaki eğim x eksenine teğet doğrusu x eksenine paralel yani x eşittir iki deki f türev x'in teğetinin eğimi sıfır.
O zaman f Türev X'in bu noktadaki türevi yani ikinci türev.
O zaman f türev iki eşittir sıfır olmalıydı.
Burada pozitiftir demiş.
Yanlıştır arkadaşlar.
2 3 ve 5 6 doğrudur.
Diğerleri yanlıştır.
