Maksimum Minimum Problemleri Bölüm 1

Merhaba arkadaşlar bu videomuzda maksimum minimum problemlerine başlıyoruz, aslında yerel maksimum yerel minimum noktalarda yaptığımız şeyin aynısını yapacağız.
Burada da türevi sıfıra eşitleyeceğim sonra onun maksimum minimum olduğunu belirleyeceğiz.
Sadece burada size bir fonksiyon vermeyecek fonksiyonu biz bulacağız.
Evet başlayalım.
Yandaki ABCD dikdörtgenin çevresi 20 birim ise alanı en çok kaçtır?
Çevresi 20 birimse arkadaşlar önce şunlara x y diyeyim burada.
X, y.
O zaman 2x artı 2y'nin bana yirmi olduğunu soru vermiş, buradan iki parantezine alıp x artı y eşittir 20 ise x artı y'nin on olduğunu buldum.
Şimdi alan ne?
Alan fonksiyonumuz şu olsun.
x çarpı Y nedir?
Y yerine o zaman burda tek değişken yapmanız lazım.
Y yerine 10 eksi x yazın.
Yani alan fonksiyonumuz arkadaşlar buna ax dersen y yerine de ne yazacak mışım?
10 eksi x yazılacakmış.
O zaman alan fonksiyonumuz x çarpı 10 eksi x.
Yani 10x eksi x karedir.
Alan fonksiyonumuz bunun en çok olduğu değeri soruyor en çok kaç birim karedir ve bunun maksimumunu soruyor.
O zaman türevi ne alın?
A türev x alan fonksiyonunun türevi.
10 eksi 2 eksi 0 eşitleyin buradan kökümüz 2x'i sağa attığınızda x eşittir 5 elde etti.
Bu bunun tek katlı köküdür ve X'in işareti en büyük dereceli terimin işareti negatif olduğu için en sağ eksi soluna artı koydum bakın buraya kadar fonksiyonu artan sonra azalanmış yani x eşittir 5'te alan fonksiyonumuz maksimum değerini alır.
Bu fonksiyonun alan fonksiyonunun biz maksimum değerini arıyoruz ve x eşittir 5'te maksimum olacağını bulduk.
Beşi alan fonksiyonunda yerine yazıyorum.
Türevi sıfırı yapan değer 5 zaten evet.
Yani bize a 5 soruldu arkadaşlar.
5 yerine yazarsanız alan fonksiyonunda neydi?
10x eksi x kare idi.
On çarpı beş eksi 5'in karesi yani elli eksi yirmi beşten cevabımız 25'tir arkadaşlar.
Devam edelim.
X ve Y pozitif reel sayı.
x artı y 14.
x çarpı y'nin en büyük değeri az önceki sorunun aynısı değil mi aslında?
Y Buradan nedir?
Y'yi çekerseniz 14 eksi x'dir.
Bunu bir şurada yerine yazarsanız size x çarpı Y'nin en büyük değerini soruyor.
Y yerine 14 eksi x yazın o zaman en büyük değerini arayacağımız fonksiyon nedir?
x çarpı 14 eksi x'tir.
Yine dağıtın bunu 14 x eksi x karenin maksimum değerini arıyorum ben o zaman.
Bunun türevini aldığımda türevi 14 eksi 2x'dir.
Sıfıra eşitledim türevini.
14 eşittir 2x'ten her iki tarafı 2'ye böldüğümde x'in yedi olduğunu buldum ve yedi bunun tek katlı köküdür.
Yine en büyük dereceli terim olan eksi 2x negatif olduğu için en sağ eksi sol artı fonksiyon artandan azalana geçmiş.
Yedide demek ki 7'de maksimum değerini almış fonksiyon.
Evet fonksiyonunda x yerine yedi yazalım.
Hatta şurada yazsam da olur.
Yedi çarpı on dört eksi 7'yi yazdığınızda yedi çarpı 7'den.
Bu fonksiyonun en büyük değeri arkadaşlar 49 olurmuş, en büyük değeri de x eşittir 7'de alırmış.
Üçüncü sorumuz.
Bu sefer toplumlarını on olarak verdim.
Kareler toplamının alabileceği en küçük değer soruluyor.
Tek amacımız ne arkadaşlar?
Fonksiyonu belirlemek.
Tek değişkenli olacak bir de fonksiyonumuz.
Ve buradan x kare artı y kare verdi size.
E siz şuradan y'yi çektiğinizde y eşittir on eksi x olduğunu bulduk mu?
O zaman y yerine bunu yazın.
Şimdi bana sorulan şey neymiş?
x kare artı 10 eksi x'in karesi.
Açın o kareyi.
X kare artı yüz eksi yirmi x artı x kare ve düzenlediğinizde 2x kare eksi 20x artı yüz.
Bu aradığımız fonksiyonun artı yüz dedim.
Evet, aradığımız fonksiyon yani toplamının en küçük değerini almasını istediğim fonksiyon bu.
Bunun en küçük değerini nasıl bulacağım?
Türevini alacak türevi ikiyi başa indirdim.
Dört x eksi 20 türevini sıfıra eşitleyerek kökünü buldum.
X eşittir 5 bunun köküdür bakalım maksimum x eşittir beşte.
En büyük dereceli terim olan türevde en büyük dereceli terim olan x'in katsayısının işareti pozitif olduğu için en sağa pozitif koydum, kökte işaret değiştirdim.
Yani fonksiyon azalandan artana geçti arkadaşlar.
O zaman buradan minimum değerini aldığım fonksiyon.
x eşittir 5'te bu fonksiyon minimum değerini alır.
Fonksiyonumuz buydu.
5'i yerine yazın.
Beşin karesi artı 10 eksi 5'in karesi yani yirmi beş artı 25'ten cevabımız ellidir arkadaşlar.
Bir örnek daha çözelim.
X1 y1 noktası yetiştirdik, x kare eksi 3x artı 7 eğrisinin üzerindedir.
Buna göre x1 artı y1 toplamının en küçük olması için x bir kaç olmalıdır?
Bakın yine iki değişkenli verildi.
Siz bunu tek değişkene çevirmeniz lazım.
Bir noktanın bir eğrinin bir fonksiyonun üzerinde olması ne demek?
Yerine yazınca sağlıyor demek.
O zaman x bir y biri yerine yazalım.
Yani y bir eşittir x birin karesi eksi üç x bir artı yedidir arkadaşlar.
Size sorulan şey ne?
X 1 artı y bir.
Demek ki y 1'i ben x bir cinsinden yazabiliyor muyum?
O zaman x 1 artı y 1 nedir?
Bakın buraya ne yazabilirim ben?
X Birin karesi eksi üç x bir artı 7 yazabilirim.
O zaman bunları bir değiştirdiğinizde X birin karesi eksi iki x bir artı 7.
En küçük olmasını istediğim fonksiyon bu.
Bunun en küçük olması için x bir kaç olmalıdır?
En küçük değeri nedir demeye bakın.
Bu sefer bunu en küçük yapan x biri soruyor o zaman bunu en küçük değerini arıyorsanız türevini aldınız.
Türevi 2x bir eksi 2 üstü başa indirdim.
Türevlerini aldım, sıfıra eşitliyorduk türevi.
Türevin tek katlı kökünü buldum, 2x 1 eşittir 2'den x birin 1 olduğunu buldum.
Bu tek katlı köküdür.
En sağa bakın yine değişkenimizin en büyük dereceli değişkenin 2x bir bunun işareti pozitif olduğu için en sağa artıyı koydum soluna işaret değiştirerek x yazdım.
Bakın azalandan artana geçiyor yani x eşitti x1 eşittir 1'de fonksiyonumuz minimum değerini artı alıyor.
Azalıp artana geçmiş o noktada.
Zaten bize de x biri soruyor minimum değerin nedir demiyor.
Deseydi x biri birin yerine y yazacaktık.
En küçük olması için x bir kaç olmalıdır diyor.
X birimiz 1 olmalıdır.
Cevabımız 1 arkadaşlar.