Merhaba arkadaşlar, maksimum minimum problemlerinin örnek çözümleriyle devam ediyorum.
ABC üçgeninde AH ile BC birbirine dik olduğu verilmiş.
BC uzunluğu 20 birim, AH uzunluğu on iki ise KLMN dikdörtgenin alanı en çok kaç santimetre karedir?
BC uzunluğunu yirmi santim olarak soru vermiş.
AH olan yüksekliğimizi de 12 santimetre vermiş.
KLMN dikdörtgeninin alanı soruluyorsa KL'ye ve ML'ye bilinmeyenler verelim.
x çarpı y alanımız x çarpı y'dir.
Birazdan ben bunu tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazıp maksimum değerini bulacağım.
Evet, şimdi AH uzunluğu BC'ye dik ise kalemini dikdörtgen olduğu için KL ile NM birbirine paraleldir.
O halde AH buraya da MN uzunluğuna da doğru parçasına da dik olmalıdır.
Evet, burası y birim ise şu da y birimdir ve AH on iki olduğunda şuraya da teğet dersem burası da 12 eksi y birim olur arkadaşlar.
Şimdi ANM üçgeni ile ABC üçgenin benzerliğini görelim.
Bakın burası yöndeş açı şu ikisi N açısıyla M açısı birbirine eşit.
M ile de C açısı birbirine eşit.
A da zaten ortak açı benzer iki üçgende arkadaşlar şöyle o benzerliği yazayım.
ANM üçgeni ile ABC üçgeni birbirine benzerdir ve benzer iki üçgen de yükseklikleri oranı, aynı köşelerden inilen yüksekliklerin oranı, çevreleri oranı, ortak açıların karşılara oranı.
Bunların hepsi benzerlik oranına eşittir.
O halde ANM üçgeninin yüksekliği nedir?
A'dan inilen yüksekliği 12 eksi y, ABC üçgeninin a'dan inilen yüksekliği on iki birim ANM üçgeninde A açısının karşısı şurası arkadaşlar x birim.
Dikdörtgen olduğu için burası X birim.
ABC üçgeninde A açısının karşısı da yirmi birim.
Bunları 4'le sadeleştirirsek 3 ve 5.
Şimdi içler dışlar çarpımı yapıyorum.
60 eksi 5y eşittir 3 x buradan birini yalnız bırakalım, tek değişkene çevirelim veya x'i y cinsinden veya y'yi x cinsinden yazalım.
60 eksi 3x eşittir 5y derseniz her iki tarafı beşe böldüğümde y eşittir 60'ı beşe böldüm 12, eksi 3x'i eksi 5'e böldüm.
Eksi 3x bölü 5 olarak yazdım.
Evet, y'yi x cinsinden yazın bakın şimdi alan buydu.
y yerine 12 eksi 3x bölü 5 yazarsanız arkadaşlar alan ne olur?
x çarpı 12 eksi üç x bölü 5 olur alanımız.
O halde bir alan fonksiyonu yazıyorum.
A x eşittir bu x'i de dağıtmış olalım.
12 x eksi 3x kare bölü 5 bizim alan fonksiyonumuzdur ve biz bu fonksiyonun maksimum değerini arıyoruz o yüzden türevini almalıyız.
A x fonksiyonunun türevini alırsanız 12x'in türevi 12 eksi 3x kare artı ve bölü 5'in türevi de ikiyi başa indirdiğinizde 3 ile çarptım, 6x bölü 5 türevini aldım, türevi sıfıra eşit demem gerekiyor.
Buradan da 12 eşittir 6x bölü 5 elde ettim.
İçler dışlar çarpımı yaparsanız 6 x eşittir 60'tan x'in 10 olduğunu bulduk.
Evet x eşittir onda bu fonksiyonun maksimum veya minimum değerini alıyor.
Bakalım hangisini alacak?
10 burada türevimizin kökü ise tek katlı kökü bakın en büyük dereceli terimimiz x.
x'in katsayısının işareti eksi.
O yüzden en sağa eksi koydum, kökte işaret değiştirdim fonksiyon artandan azalana geçmiş bakın.
Yani x eşittir onda a x fonksiyonun maksimum değerini alır.
O yüzden A x fonksiyonunda x yerine on yazarak soruyu bitiriyoruz arkadaşlar onu yazıyorum.
Fonksiyonumuz burada x yerine on yazarsam on iki çarpı on 120 yaptı.
Eksi üç x kare x kare ne yaptı?
Yüz.
3'le çarptım üç yüz.
Beşe böldüm 60.
120 eksi 60'tan alanımız maksimum 60 olur arkadaşlar.
Bakalım diğer sorumuza.
F(x) eşittir 3 bölü 2 eğrisinin Y ekseninin sağında kalan kısmının orijine en yakın noktasının koordinatlarını bulunuz.
Önce koordinat düzenimizi çizelim.
3 bölü x eğrimiz nasıl çizilir imiş bakalım.
3 bölü x eğrisi x arttıkça bakın y'ler azalır arkadaşlar.
Bu bir azalan fonksiyondur.
x'e Sıfır veremem, y'ye sıfır veremem.
Yani eksenleri kesemem.
Bu fonksiyonun bu tarafta da parçası vardır, x'ler negatif olduğunda da böyle olur.
Ama bizden y ekseninin sağında kalan kısmı dediği için biz şurası için şu sorunun çözümünü yapacağım.
Bu eğrinin üzerinde ve orijine en yakın olan nokta belirleyelim.
Bu nokta en yakın nokta olsun.
Koordinatları nedir bilmiyoruz.
O yüzden a ve üç bölü a üzerinde olduğu için fonksiyonu sağlaması gerekiyor.
a'ya üç bölü a noktamızdır.
Şimdi bunun orijine olan uzaklığı.
Bunun için neyi bilmemiz gerekiyor?
İki nokta arasındaki uzaklık.
A x1 y1, b x2 y2 noktaları arasındaki uzaklığı biz nasıl buluyorduk?
Apsisler farkı x1 eksi x2'nin karesi artı ordinatlar farkı y1 eksi y2'nin karesi dediğimizde A B arasındaki uzaklığı buluyorduk.
O yüzden orijin ile şuradaki a noktamızın uzaklığı nasıl bulunur?
Orijinin koordinatları sıfıra sıfırdı.
Yazıyorum şimdi uzaklığı veren fonksiyonu.
A eksi sıfırın karesi yani a'nın karesi artı 3 bölü a eksi sıfırın karesi yani üç bölü a'nın karesi.
O da dokuz bölü a kare yapar.
Evet arkadaşlar uzaklığım budur.
Bunun en yakın dediği için ben bunun minimum değerini arıyorum.
Minimum değerini bulmak için şimdi bu fonksiyonun a değişkenli değişken a olan bir fonksiyon türevini alacağım.
Kareköklü fonksiyonun türevini nasıl alıyorduk arkadaşlar?
Kök f(x) dediğinde bunun türevini sorduğunda biz ne yapıyorduk?
İçin türevini aldınız.
Bölü iki kök içi aynen yazıyorduk.
O halde a kare artı 9 bölü a karenin türevini alıyor.
A karenin türevi 2a.
9 bölü a kareyi şöyle yazalım mı?
9 a üzeri eksi 2 demektir bu.
Bunun türevini aldığınızda eksi iki başa indirdim.
Eksi 18 ve üstü a'yı bir azalttım A üzeri eksi 3.
O zaman yerine yazıyorum.
Şimdi eksi 18 bölü a küp olarak yazıyorum A üzeri eksi 3'ü.
Evet içinin türevini aldım bölü 2 kök.
Kökün içine olan şeyin aynısını yazıyoruz.
Artı 9 bölü a kare eşittir türevi aldım sıfıra eşitliyorum bu sıfıra eşit olacaksa payda sıfır olamaz zaten ve sonuç sıfır ise kesinlikle payımız yani iki eksi 18 bölü a küp eşittir sıfır olmalıdır.
Buradan da iki.
Payda eşitleyelim, 2 A üzeri 4 eksi 18 bölü a küp eşittir 0 ise 2a üzeri 4 eksi 18 eşittir 0 olmalıdır.
Yani 2 A üzeri 4 eşittir 18 diyelim.
Çarpanlara ayırarak da çözebilirsiniz.
A üzeri dört eşittir 9 olur.
Ve buradan A eşittir kök üçtür ya da eksi kök üçtür.
Evet, şimdi a'yı bulduk.
Zaten biz onu aramıyor muyuz?
Noktasının koordinatları a'nın pozitif değerini almam lazım.
Sağ tarafı soruyordu noktamızın koordinatları.
O halde kök üçe üç bölü kök üçtür arkadaşlar.
Yani kök üç virgül üçü kök üçe böldüğümüzde de kök üç yapar.
Noktamızın koordinatları bunlardır arkadaşlar.
ABC üçgeninde AH ile BC birbirine dik olduğu verilmiş.
BC uzunluğu 20 birim, AH uzunluğu on iki ise KLMN dikdörtgenin alanı en çok kaç santimetre karedir?
BC uzunluğunu yirmi santim olarak soru vermiş.
AH olan yüksekliğimizi de 12 santimetre vermiş.
KLMN dikdörtgeninin alanı soruluyorsa KL'ye ve ML'ye bilinmeyenler verelim.
x çarpı y alanımız x çarpı y'dir.
Birazdan ben bunu tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazıp maksimum değerini bulacağım.
Evet, şimdi AH uzunluğu BC'ye dik ise kalemini dikdörtgen olduğu için KL ile NM birbirine paraleldir.
O halde AH buraya da MN uzunluğuna da doğru parçasına da dik olmalıdır.
Evet, burası y birim ise şu da y birimdir ve AH on iki olduğunda şuraya da teğet dersem burası da 12 eksi y birim olur arkadaşlar.
Şimdi ANM üçgeni ile ABC üçgenin benzerliğini görelim.
Bakın burası yöndeş açı şu ikisi N açısıyla M açısı birbirine eşit.
M ile de C açısı birbirine eşit.
A da zaten ortak açı benzer iki üçgende arkadaşlar şöyle o benzerliği yazayım.
ANM üçgeni ile ABC üçgeni birbirine benzerdir ve benzer iki üçgen de yükseklikleri oranı, aynı köşelerden inilen yüksekliklerin oranı, çevreleri oranı, ortak açıların karşılara oranı.
Bunların hepsi benzerlik oranına eşittir.
O halde ANM üçgeninin yüksekliği nedir?
A'dan inilen yüksekliği 12 eksi y, ABC üçgeninin a'dan inilen yüksekliği on iki birim ANM üçgeninde A açısının karşısı şurası arkadaşlar x birim.
Dikdörtgen olduğu için burası X birim.
ABC üçgeninde A açısının karşısı da yirmi birim.
Bunları 4'le sadeleştirirsek 3 ve 5.
Şimdi içler dışlar çarpımı yapıyorum.
60 eksi 5y eşittir 3 x buradan birini yalnız bırakalım, tek değişkene çevirelim veya x'i y cinsinden veya y'yi x cinsinden yazalım.
60 eksi 3x eşittir 5y derseniz her iki tarafı beşe böldüğümde y eşittir 60'ı beşe böldüm 12, eksi 3x'i eksi 5'e böldüm.
Eksi 3x bölü 5 olarak yazdım.
Evet, y'yi x cinsinden yazın bakın şimdi alan buydu.
y yerine 12 eksi 3x bölü 5 yazarsanız arkadaşlar alan ne olur?
x çarpı 12 eksi üç x bölü 5 olur alanımız.
O halde bir alan fonksiyonu yazıyorum.
A x eşittir bu x'i de dağıtmış olalım.
12 x eksi 3x kare bölü 5 bizim alan fonksiyonumuzdur ve biz bu fonksiyonun maksimum değerini arıyoruz o yüzden türevini almalıyız.
A x fonksiyonunun türevini alırsanız 12x'in türevi 12 eksi 3x kare artı ve bölü 5'in türevi de ikiyi başa indirdiğinizde 3 ile çarptım, 6x bölü 5 türevini aldım, türevi sıfıra eşit demem gerekiyor.
Buradan da 12 eşittir 6x bölü 5 elde ettim.
İçler dışlar çarpımı yaparsanız 6 x eşittir 60'tan x'in 10 olduğunu bulduk.
Evet x eşittir onda bu fonksiyonun maksimum veya minimum değerini alıyor.
Bakalım hangisini alacak?
10 burada türevimizin kökü ise tek katlı kökü bakın en büyük dereceli terimimiz x.
x'in katsayısının işareti eksi.
O yüzden en sağa eksi koydum, kökte işaret değiştirdim fonksiyon artandan azalana geçmiş bakın.
Yani x eşittir onda a x fonksiyonun maksimum değerini alır.
O yüzden A x fonksiyonunda x yerine on yazarak soruyu bitiriyoruz arkadaşlar onu yazıyorum.
Fonksiyonumuz burada x yerine on yazarsam on iki çarpı on 120 yaptı.
Eksi üç x kare x kare ne yaptı?
Yüz.
3'le çarptım üç yüz.
Beşe böldüm 60.
120 eksi 60'tan alanımız maksimum 60 olur arkadaşlar.
Bakalım diğer sorumuza.
F(x) eşittir 3 bölü 2 eğrisinin Y ekseninin sağında kalan kısmının orijine en yakın noktasının koordinatlarını bulunuz.
Önce koordinat düzenimizi çizelim.
3 bölü x eğrimiz nasıl çizilir imiş bakalım.
3 bölü x eğrisi x arttıkça bakın y'ler azalır arkadaşlar.
Bu bir azalan fonksiyondur.
x'e Sıfır veremem, y'ye sıfır veremem.
Yani eksenleri kesemem.
Bu fonksiyonun bu tarafta da parçası vardır, x'ler negatif olduğunda da böyle olur.
Ama bizden y ekseninin sağında kalan kısmı dediği için biz şurası için şu sorunun çözümünü yapacağım.
Bu eğrinin üzerinde ve orijine en yakın olan nokta belirleyelim.
Bu nokta en yakın nokta olsun.
Koordinatları nedir bilmiyoruz.
O yüzden a ve üç bölü a üzerinde olduğu için fonksiyonu sağlaması gerekiyor.
a'ya üç bölü a noktamızdır.
Şimdi bunun orijine olan uzaklığı.
Bunun için neyi bilmemiz gerekiyor?
İki nokta arasındaki uzaklık.
A x1 y1, b x2 y2 noktaları arasındaki uzaklığı biz nasıl buluyorduk?
Apsisler farkı x1 eksi x2'nin karesi artı ordinatlar farkı y1 eksi y2'nin karesi dediğimizde A B arasındaki uzaklığı buluyorduk.
O yüzden orijin ile şuradaki a noktamızın uzaklığı nasıl bulunur?
Orijinin koordinatları sıfıra sıfırdı.
Yazıyorum şimdi uzaklığı veren fonksiyonu.
A eksi sıfırın karesi yani a'nın karesi artı 3 bölü a eksi sıfırın karesi yani üç bölü a'nın karesi.
O da dokuz bölü a kare yapar.
Evet arkadaşlar uzaklığım budur.
Bunun en yakın dediği için ben bunun minimum değerini arıyorum.
Minimum değerini bulmak için şimdi bu fonksiyonun a değişkenli değişken a olan bir fonksiyon türevini alacağım.
Kareköklü fonksiyonun türevini nasıl alıyorduk arkadaşlar?
Kök f(x) dediğinde bunun türevini sorduğunda biz ne yapıyorduk?
İçin türevini aldınız.
Bölü iki kök içi aynen yazıyorduk.
O halde a kare artı 9 bölü a karenin türevini alıyor.
A karenin türevi 2a.
9 bölü a kareyi şöyle yazalım mı?
9 a üzeri eksi 2 demektir bu.
Bunun türevini aldığınızda eksi iki başa indirdim.
Eksi 18 ve üstü a'yı bir azalttım A üzeri eksi 3.
O zaman yerine yazıyorum.
Şimdi eksi 18 bölü a küp olarak yazıyorum A üzeri eksi 3'ü.
Evet içinin türevini aldım bölü 2 kök.
Kökün içine olan şeyin aynısını yazıyoruz.
Artı 9 bölü a kare eşittir türevi aldım sıfıra eşitliyorum bu sıfıra eşit olacaksa payda sıfır olamaz zaten ve sonuç sıfır ise kesinlikle payımız yani iki eksi 18 bölü a küp eşittir sıfır olmalıdır.
Buradan da iki.
Payda eşitleyelim, 2 A üzeri 4 eksi 18 bölü a küp eşittir 0 ise 2a üzeri 4 eksi 18 eşittir 0 olmalıdır.
Yani 2 A üzeri 4 eşittir 18 diyelim.
Çarpanlara ayırarak da çözebilirsiniz.
A üzeri dört eşittir 9 olur.
Ve buradan A eşittir kök üçtür ya da eksi kök üçtür.
Evet, şimdi a'yı bulduk.
Zaten biz onu aramıyor muyuz?
Noktasının koordinatları a'nın pozitif değerini almam lazım.
Sağ tarafı soruyordu noktamızın koordinatları.
O halde kök üçe üç bölü kök üçtür arkadaşlar.
Yani kök üç virgül üçü kök üçe böldüğümüzde de kök üç yapar.
Noktamızın koordinatları bunlardır arkadaşlar.
