Negatif Kuvvet, Üslü Sayılarda Toplama, Çıkarma ve Çarpma İşlemi

Merhabalar arkadaşlar, üslü sayılarla alakalı işlemlere devam ediyoruz.
Şimdi bir gerçek sayının negatif kuvveti şimdi negatif kuvvetli özel bir durum var.
Pozitif kuvvetlerdeki durumlarda herhangi bir özel durum olmazken negatif kuvvet olduğunda burada özel bir durum gerçekleşiyor.
Şöyle x elemanıdır reel sayılar ve bu seçtiğimiz x de sıfırdan farklı olsun ve n de pozitif tam sayı olsun.
x üzeri eksi 1 nedir?
x'in çarpmaya göre tersini al demektir bu.
2 üzeri eksi 1.
O zaman demek ki çarpmaya göre tersini aldım ve kuvvetleri bir olduğu için bunun üstüne biri yazdım.
Yani aslında şu şekilde yazılır ama 1 olduğu için hiç yazmasak da olur.
Yani x üzeri eksi 1, 1 bölü x demektir.
x üzeri eksi n olursa ne olacak?
Yani bu bu sefer birden farklı bakınız yine aynı şekilde bir bölü x yapacaktır.
Buradaki ifade neyse ve bu sefer bunun kuvveti haline gelmiş olacaktır.
Yani bakınız kuvvet artık pozitife dönüyor.
Yani biz ne yapıyoruz?
Çarpmaya göre tersini aldıktan sonra kuvvetin artık pozitif şeklini yazıyoruz.
Peki bununla alakalı birkaç tane örnek var, onları inceleyelim.
Mesela bakınız 6 üzeri eksi bir o zaman ne yapacağız?
Direkt olarak biz bunun sonucunun bir bölü altı olduğunu söyleyebiliriz.
Üzeri bir yazmanıza gerek yok zaten bir sayının birinci kuvveti kendisidir.
Mesela eksi 3 üzeri eksi bir bakınız.
Bu eksi 1 le bu eksi verir farklı şeyler.
Bu eksi normal sayıda olan eksi, o duracak zaten.
3 üzeri eksi bir o da ne yapacak?
3'ü tersini alacak.
Yani çarpmaya göre tersini alacak.
Bu sefer 1 bölü 3 haline getirmiş olacak.
Yani eksi 3 üzeri eksi birin sonucu eksi bir bölü 3 olarak bulunmuş olacak.
Peki üç bölü 4 üzeri eksi bir?
Şimdi bakınız bu gösterdiklerimizden farklı ama aslında bir şey değişmiyor, çarpmaya göre tersini al demek.
3 bölü 4'ün çarpmaya göre tersi 4 bölü 3 demektir.
Yani aslında ne yapıyorsunuz?
Paydayı paya, payı da paydaya yazmış oluyorsunuz ve üzeri eksi bir olduğu için onu da aslında kuvvete 1 olarak yazmanız lazım.
Ama gerek yok.
Bu zaten birinci kuvveti kendisidir.
Yani aslında yerlerini değiştirmiş olduk.
Peki eksi 2 bölü beş üzeri eksi 2.
Bakınız ne olacak?
Şimdi kuvvette eksi olduğu için biz bunların yerlerini değiştireceğiz.
Yani eksi 5 bölü 2, üzeri 2 olmuş olacak.
Bakınız bu daha sonra artık kare olduğu için buradaki eksiyi de biz düzenleyebiliriz.
Yani aslında eksi 5 bölü 2'nin karesini aldığımızda üst tarafın ve alt tarafın komple karesini alarak 25 bölü 4 sonucuna ulaşmış oluruz.
Eksi 2 bölü 5 üzeri eksi 3.
Bakınız bu seferd e negatif bir kuvvet var.
Yine aynı şekilde ve tek bir kuvvet bu.
Yine ne yapacak?
Değiştirecek yerlerini.
Yani çarpmaya göre tersi yerini alacak ve kendisi artık pozitife dönmüş olacak.
Kuvvet ve daha sonra eksi 5 bölü 2'nin biz üçüncü kuvvetini alabiliriz.
Onu da eksi 125 bölü 8 olarak yazarız.
Buradaki eksi yine tek bir kuvvet olduğundan dolayı korunuyor.
Peki üslü sayılarda toplama ve çıkarma.
Bunu sözel olarak zihnimizde tutabiliriz.
İşlemleri yaptığımızda zaten kolay bir işlem olduğu için çok kolayca yapacağımızı düşünüyorum.
Hem tabanı hem de üssü aynı olan üssü sayılar ortak paranteze alınarak toplanabilir veya çıkarılabilir.
a, b, c elemandır reel sayılar ve m burada reel sayı olsun.
Bakınız burada a çarpı x üzeri.
M eksi b çarpı x üzeri m artı c çarpı x üzeri m var yani bizim üsleri aynı olan sayılarımız.
Buradakiler x üzeri m'ler o zaman demek ki ben diyorum ki hepsinde varsa bu x üzeri m parantezine alırım ben bunu.
Ve ne kaldıysa onu alırım.
Bakınız buradaki x üzeri m'i aldığımızda a kalıyor.
Daha sonra burada eksi olduğu için eksi koydum.
Buradaki x üzeri m'i aldığımızda b ve daha sonra arada artı var artı koydum.
Buradan da c gelmiş olacak ve parantezi kapattım.
Bakınız bu şekilde bunu ayarlamış olduk.
Şimdi örneklerini inceleyelim bunların.
8 çarpı 10 üzeri 7 eksi 2 çarpı 10 üzeri 7 artı 5 çarpı 10 üzeri 7.
O zaman demek ki ne yapıyorum?
10 üzeri yediler aynı olduğu için dışarı alıyorum onu.
Yani parantezi alıyorum.
Burada 8 daha sonra eksi.
Burada iki var daha sonra artı.
Burada da 5 var.
O zaman demek ki en son ne haline getirmiş olduk?
8'den 2 çıktı, 6.
5'e topladık.
11.
O zaman on bir çarpı 10 üzeri yedi şeklinde bunu yazabilir.
Çarpma işleminin değişme özelliği olduğu için 10 üzeri 7'nin solda ya da sağda olmasının bir farkı yoktur.
Peki şimdi?
3 üzeri 8, 3 üzeri 8, 3 üzeri 8 ve artı 2 çarpı 3 üzeri 8.
Şimdi bakınız burada aslında şöyle de yapabilirsiniz.
Yani illa parantez almaktansa bir tane 3 üzeri 8, bir tane 3 üzeri 8, bir tane 3 üzeri 8 ve iki tane 3 üzeri 8.
O zaman kaç tane 3 üzeri 8 var diye düşünürseniz 2 buradan 3, 4, 5.
O zaman demek ki 5 tane 3 üzeri 8 olduğunu söyleyebilirsiniz.
Yani aslında bunu söylemle de yapabiliyoruz bu şekilde.
Ya da paranteze alarak da yine aynı işlemi getirebiliriz.
Peki buralara baktığımızda 7 üzeri 3lerin burada ortak olduğunu görüyoruz.
O zaman a eksi x eksi y gelmiş olacak.
Burada direkt olarak parantezin içi.
Peki üslü sayılarda çarpma işlemi.
Tabanları aynı olan üste ifadeler çarpışırken üsler toplanır, bir de bunun üstlerinin aynı olma durum var, onu da inceleyeceğiz.
Şimdi tabanları aynı ise ve çarpım durumunda ise biz o zaman üslü ifadelerdeki üsleri toplayacağız.
Mesela x elemanıdır reel sayılar ve a virgül b elemanıdır pozitif tam sayılar olsun.
Bakınız x üzeri a çarpı x üzeri b var.
Taban dediklerimiz buradaki x'ler aynı.
O zaman çarpım durumunda üsler toplanacak demektir.
Yani x üzeri A artı B olacak demektir.
Bu çok fazla kullandığımız bir özelliktir.
Peki bunu nasıl gösteririz?
Yani şöyle burada kısaca anlatabiliriz bunu.
Bakınız x üzeri a ile x üzeri b'yi çarpıyoruz.
x üzeri a, a tane x'in çarpımı mı demektir?
x üzeri b'ye de b tane bu sefer x'in çarpımı demektir.
Bakınız hepsi x.
Burada o zaman demek ki toplamda a artı b tane x'in çarpımı gelmez mi?
Evet.
Biz bunu da tekrardan üsse döndürecek olursak x üzeri a artı b ile getirmiş oluruz.
Bakınız bu şekilde de bunun kolayca aslında ispatını yapabiliyoruz.
Peki örneklerde gösterelim.
Bakınız birincisi üç üzeri altı çarpı, üç üzeri eksi beş.
O zaman demek ki üç var.
Üstündeki altı ile de eksi beşi topladığımızda biri elde ediyoruz.
Peki ikincisi bir bölü 2'nin küpü 1 bölü 2 üzeri 7.
1 bölü 2lerin aynı olduğunu gördük.
O zaman demek ki üsler toplanacak demektir.
3 ile de 7'yi toplarsanız 10 geldiğini görebilirsiniz.
Peki eksi 7'nin küpü eksi 7 üzeri 5.
O zaman burada eksi 7 tabanı ortak.
3 ile de 5 toplandığında sekizi elde ediyoruz.
Peki a o zaman demek ki a var üzerinde x 7 ve 9 var.
O zaman demek ki topladığımızda x artı 16 gelecek deriz biz burada.
Peki bunun diğer durumu, yani üslerinin aynı olma durumu.
Bu sefer üsleri aynı olduğunda tabanlarda eğer çarpma durumu varsa biz çarpacağız demektir.
Yani x ile y elemanıdır reel sayılar.
A da pozitif tam sayı olsun.
Bakınız x üzeri A çarpı Y üzeri A var.
Üsler aynı ama tabanlar farklı.
O zaman demek ki biz ne yapıyoruz?
Buradaki tabanları direkt çarpıp üssü yazmış oluyoruz.
Peki bunu da birazcık göstermeye çalışalım.
x üzeri A çarpı Y üzeri A bu demektir ki A tane x'in çarpımı.
Bu da demektir ki A tane y'nin çarpımı.
O zaman demek ki biz bunları teker teker yani şu şekilde yan yana getirirsek bakınız bu şekilde bunların hepsinin yan yana getirdiğimizi düşünüyoruz.
Yani x çarpı y, x çarpı y, x çarpı y bunların sayıları eşit olduğu için a tane olacaktır.
Ve o zaman demek ki x çarpı y'lerden A tane varsa o zaman demek ki biz bunu üslü sayılarda x çarpı y üzeri a olarak gösteririz demektir.
Bakınız buradaki özelliği bu şekilde göstermiş oluyoruz.
Peki bunun da örneklerini yapalım ve bitirelim.
2 üzeri 4 çarpı 5 üzeri 4.
Üsler aynı tabanlar çarpma durumunda tabanı direkt çarp ve üssünü aynen yaz.
Yani 10 üzeri 4.
Şimdi bakınız ikincisi.
7'ler üsler ortak tabanlar farklı, tabanları çarp.
3 kere 5, 15, 15 ile 7'yi çarptım.
105 oldu ve üssündeki 7'yi yazmış oldum.
Yani 105 üzeri 7 demektir.
Tabii buradan geri de dönebilirsiniz.
Bazen sonralarda geri de dönmek gerekecek.
Burada eksi 3 üzeri dört çarpı eksi 2 üzeri 4.
O zaman demek ki eksi üç de eksi iki çıkarttınız altı yaptı.
4 zaten burada aynı şekilde gelecektir.
5 üzeri çarpı 4 üzeri a.
a'ları ortak.
Yani aynı o zaman tabanları çarpacağız demektir.
5 kere 4 20 yapıp burada 20 üzeri olduğunu söyleriz.
Dediğim gibi buradan geri döndüğümüzde de aynı şey sağlayacaktır.