Üslü Sayılarda Bölme İşlemi

Evet arkadaşlar, şimdi üslü sayılarda bölme işlemi göreceğiz bunun da iki farklı durumu olacak.
Bundan sonra bir tane daha özellik vereceğiz üslü sayılarla alakalı.
Şimdi üslü sayılarda bölme işlemi tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken paydaki sayının üstünden paydadaki sayının üssü çıkarılır.
Bakınız bu tabanlarının aynı olma durumu.
Çarpma da böyleydi tabanlarının aynı olduğu durum vardı.
Bir de üslerinin aynı olma durumu vardı.
Bölmede de yine bu durumları ayrı ayrı inceleyeceğiz.
Şimdi ilk olarak tabanları aynı ise buradaki kısmı okumadım.
x üzeri bölü x üzeri b ise o zaman demek ki bakınız pay burada payda burada o zaman demek ki ne yapacakmışım?
a'dan b'yi çıkartacakmışım.
Yani x üzeri a eksi b şeklinde ben buradaki bölme işlemini bu hale getirmiş olacak diyorum.
Peki şimdi burada bunun da gösterimini yapalım.
Şimdi normalde biz bunu üç farklı şekilde göstermeliyiz yani a üzeri a'nın b'den küçük olması, a'nın b'ye eşit olması, bir de b'nin a'dan küçük olması durumu.
Biz bir tanesini gösterelim.
Diğerlerinin de aynı şekilde gösterileceğini söyleyebiliriz.
Şimdi bakalım x üzeri a bölü x üzeri b şimdi üslü sayı gereği bu üst tarafta a tane x'nin çarpımı demektir.
Alt tarafta da b tane x'nin çarpımı demektir.
Şimdi ben o zaman diyorum ki bu b'nin içinden a tanesini kenara ayırıyorum.
Şimdi a az olduğu için b'nin içinden a tanesini kenara ayırabilirim.
Ve ayırdığım da şöyle yapıyorum bunları x bölü x, x bölü x haline getiriyorum a tanesini ve otomatikman ben bu b'den a tanesini aldığım için aşağıda bu sefer b eksi a tane x'in çarpımı kalmış olur.
Bunları da tek tek kesirli biçimde yazmış oluyorum ve bakınız buradaki x bölü x'ler zaten birbirini sadeleştireceklerdir ve bu a tanesinin hepsinden bir gelecektir.
Yani burası aslında bir.
Burada ne yapmış olduk biz 1/x'ten b eksi a tane elde etmiş olduk.
O zaman demek ki bunu üslü sayının kuralı gereği 1/x üzeri b eksi a olarak gösteririz.
Ama şimdi biz hala daha kuralımıza erişemedik.
Şimdi 1/x üzeri b eksi a ise ben bunu bir gerçek sayının negatif kuvvetini kuralını kullanarak yukarı aldığımda üstünü eksi ile çarparım.
Yani x üzeri a eksi b yaparım ben bunu.
Yani ne yapmış oldum?
x'i yukarı aldım ve üstünü eksi ile çarptım ve en sonunda istediğimiz şeye ulaştık.
Yani x üzeri a bölü x üzeri b'yi x üzeri a eksi b olarak oluşturmuş olduk.
Peki bununla alakalı örneklere baktığımızda bakınız Yani 7 üzeri 4 eksi 2'den buradaki cevabımız 2 gelecektir.
Negatif olursa da aynı şey, değişmez.
10 üzeri -9, 10 üzeri -5 üstekinden alttakini çıkart.
Yani 10 üzeri -9, burası eksi eksiden artı olacaktır, yani aslında -9 artı 5'ten burası -4 olacaktır.
Peki -5 üzeri 9 ve -5 üzeri 4, burada da aynı şey değişmez.
Yani burada farklı farklı örnekler vermeye çalışıyoruz.
-5 üzeri 9 eksi 4'ten de burası 5 gelecektir.
Bunun cevabını ile de şu anda ilgilenmiyoruz.
Yani -5 üzeri 5'i veya 10 üzeri -4'ü 7'nin karesini daha sonra soru isterse bizden alabiliriz.
Peki bunun ikinci hali yani üstleri aynı olup bu sefer tabanları farklı olursa, bu sefer ne yapacağız?
Üstleri aynı olduğunda bu sefer biz bölme işlemi yapacaksak tabanlarını böleceğiz demektir.
x ve y reel sayılar y sıfırdan farklı a pozitif tam sayı.
O zaman bakınız x üzeri a bölü y üzeri a.
O zaman demek ki üsler aynı tabanlar demek ki ne olacak?
Şu şekilde tek bir bölüm halinde yazılabilecek.
Bakınız x bölü y üzeri a yazabildiğimiz gibi bunu verirse de şu şekilde yazabiliyoruz.
Bazen bunları sorularda kullanabilmeliyiz.
Yani bunlar aslında hem ileriye doğru hem de geriye doğru sağlanmak durumundadır.
Ki zaten kullanacağız bunları çok fazla kez.
E bunu da göstermeye çalışalım.
x üzeri a bölü y üzeri a.
Yukarıda a tane x alt tarafta da a tane y var.
O zaman demek ki bunları ayrı ayrı x bölü y, x bölü y, x bölü y diye eşleyebiliriz.
Bu şekilde bakınız a tane var zaten.
a tane x bölü y varsa biz bunu nasıl yazıyoruz üslü sayılarda?
x bölü y üzeri a şekilde yazmış oluyoruz.
Yani bu kuralımızı x üzeri a bölü y üzeri a' yı x bölü y üzeri a'ya getirmiş oluyoruz.
Bir de bunun sayısal örneklerine bakalım.
Bakınız 7 üzeri 5, 3 üzeri 5 tabanlar farklı üsler aynı.
O zaman demek ki 7/3 üzeri 5 şeklinde biz bunu yazabiliriz.
Peki -10 üzeri 7, 2 üzeri 7.
O zaman demek ki ne yapacağız?
-10/2 üzeri 7 olarak yazacağız.
Hatta bunu birazcık daha devam ettirdiğimiz de -10'u ikiye bölünüz.
-5 gelir.
O zaman bakınız -5 üzeri 7 haline gelmiş olur.
Peki 6 üzeri 4, 3 üzeri 4.
O zaman demek ki ne olacak?
Biz burada üstler aynıysa tabanları böleceğiz.
Yani 6/3 üzeri 4 haline gelmiş olacak.
E 6'yı da 3'e bölüdünüz.
O zaman demek ki burası 2 üzeri 4 haline gelmiş olacaktır.
Peki bu da üssün üssü diye geçen bir kuralımız.
Bu da çok kullanışlıdır ve çok fazla kez karşımıza gelir.
x elemandır reel sayılar sıfırdan farklı olsun ve a ile b'de tam sayı olsun.
x üzeri a üzeri b veya x üzeri b üzeri a.
Bakınız bunların yerleri değişebilir bu kuralda.
Bu şekilde olursa biz üstleri çarparız.
Yani x üzeri a çarpı b deriz biz burada.
Peki neden böyle gösterelim.
Bakınız x üzeri a üzeri b.
Yani bu üslü sayılarda ki kural gereği ne demektir?
Parantezin içini b tane çarp demektir.
Bakınız parantezin içinde x üzeri a'lardan b tane var ve çarptık.
E bu şu demek değil midir?
Tabanlar aynı ve çarpma durumunda ise üstleri topla demek değil midir?
Evet, o zaman demek ki biz bunu x üzeri a artı a artı a artı a artı diye yazarız.
Kaç tane yazacağız?
Tabii ki de b tane yazacağız.
Yazdık.
a artı a artı a artı diye devam eden b tane ifade aslında a çarpı b demektir.
O zaman demek ki bakınız bu x üzeri a çarpı b'ye dönmüş oluyor.
Yani bunun da gösterimini bu şekilde yapmış oluyoruz.
Tabi x üzeri b üzeri a'yı, yani bunların yerlerinin değiştirilmesi yine aynı şekilde gösterilir.
O da karşımıza gelecektir.
Peki 3 üzeri 7 üzeri 2.
O zaman üstler çarpılacaktır.
Yani aslında bu 3 üzeri 14 demektir.
Bakınız 3 üzeri -4 üzeri 2.
O zaman demek ki bu 3 üzeri -8 demektir.
Bakınız 4 üzeri a artı 2 üstünde bir de 3 var.
O zaman demek ki a artı 2 ile 3'ü çarparsanız artı 6'yı elde etmiş olursunuz.
Peki bir tane örnek çözelim x,a,b,c elemandır reel sayılar olmak üzere Buna göre 360 üzeri x ifadesini a, b ve c cinsinden ifade ediniz.
Bunu a, b ve c cinsinden ifade edebilmemiz için buradaki 360'ı çarpanlarına ayırmamız lazım.
Şimdi 360'ı ben o zaman demek ki şu şekilde çarpanlarına ayırıyorum.
İlk önce 2'ye böldüm.
180 veya bunu sayılarını ise direk yazabilirsiniz zaten.
Daha sonra 2'ye böldüm, 90.
2'ye böldüm, 45.
Daha sonra Tekrardan 3'e böldüm.
Burada ve 5'e böldüm, 1.
O zaman demek ki ben 360 nasıl yazabiliyormuşum?
Bakınız Burada 3'ün karesi ve daha sonra Ama üstünde bir de bunların komple ne var?
x var.
Şimdi bakınız burada biz çarpım halinde vermiş ve üstünde bir tane x var.
Ama biz bunları ayrı ayrı yazabiliyorum değil mi?
Bu aslında şurada şurada demektir.
daha sonra 3 üzeri 2 üzeri x ve daha sonra 5 üzeri 1 üzeri x bu şekilde de yazabiliriz biz bunu.
Ve en sonda bakınız bu 3 ile x'in yerleri 2 ile x'in yerleri ve 1 ile x'in yerleri değiştirilebiliyordu.
Bir önceki kuralımız gereği.
Yani biz bunu 2 üzeri x'in küpü daha sonra O zaman demek ki artık ben 2 üzeri x in yerine a yazmak istiyorum ve a yazdığım anda bakınız burası anin küpüne dönmüş oldu.
Çarpı 3 üzeri x'in yerine b yazmak istiyorum.
Karesi olduğu için b'nin karesi olmuş oldu.
Ve 5 üzeri x'nin yerine de c yazmak istiyorum.
Bakınız a'nın küpü, b'nin karesi ve c olmuş oldu.
Yani 360 üzeri x'nin a,b ve c türünden eşiti budur.