Fül 2 Örnek 134 x² = y² +22² denklemini sağlayan kaç (x, y, z) asal sayı üçlüsü vardır? Çözüm: Denklemi x² - y² = 22² biçiminde

Fül 2 Örnek 134 x² = y² +22² denklemini sağlayan kaç (x, y, z) asal sayı üçlüsü vardır? Çözüm: Denklemi x² - y² = 22² biçiminde yazalım. Buradan, (x−y) (x + y) = 2²² olacaktır. (x - y) ve (x + y) sayılarının biri tek ise diğeri de tek, biri çift ise diğeri de çifttir. Sağ taraf 2'nin bir kuvveti olduğundan her ikisi de 2'nin bir kuvvetine eşit olması gerekir. O halde, x − y = 2ª ve x+y= 2²²-a diyelim. Bu denklemleri taraf tarafa toplarsak, 2x = 2ª + 2²²-a taraf tarafa çıkarırsak da x²y² = 2² (x=y) (x+y) = 2²² 29 (22²-9) t x-p=20 *5 = 22²-9 2x =29+2² gy -29 Z 19 +y = 2 2y = 222-9. 2y = 2²²-a - 2a elde edilir. a ≥ 2 olması durumunda, x ve y sayıları çift sayı olacaklardır. x > y olduğundan x ve y'den biri kesinlikle asal olmayacaktır. O halde, a < 2 olmalıdır. a = 1 ise 2x = 2¹ +22²-1 ve 2y = 22²-1-2¹ eşitliklerinden, x = 1+ 2²²-2 ve y = 22²-2-1 bulunur. z bir tek asal ise, x sayısı 3'e bölünür. Bu durumda, x'in asal olması sadece x = 3 iken mümkündür ki, x - y = 2¹ eşitliğinden, y = 1 olur. Yani y asal olmaz. O halde, z bir çift asal, yani z = 2 olmalıdır. Böylece, a = 5 ve y = 3 elde edilir. Sonuç olarak verilen denklem sisteminin tek (x, y, z) asal sayı çözümü (5, 3, 2) olarak bulunur. B