Logaritma Kuralları – Logaritma Ders Notları

Logaritmaya Giriş

Logaritma fonksiyonu nedir?

a sayısı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

f : R → R⁺, f(x) = a^x üstel fonksiyonunun tersi olan

f : R⁺ → R, f(x) = log_a x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

Örneğin, log₇x, log_1/5x ifadeleri logaritma fonksiyonuna örnek olarak verilebilir.

Not: Logaritma tabanında bir sayı yazmıyorsa bu ifadenin onluk tabanda yazıldığını gösterir. Yani log₁₀ yerine genellikle kısaca logx yazılır.

Logaritma Fonksiyonunun Tanımlı Olmasını Sağlayan Logaritma Kuralları

f(x) = log_ax fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için,

x > 0 a > 0 ve ≠ olmalıdır.

Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi Nasıl Bulunur?

Logaritma sorularında fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmanı isteyen örnekleri nasıl çözeceğini birlikte inceleyelim.

Örnek: log₄(x-7) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olma şartından,

x – 7’nin 0’dan büyük olması gerektiğini yazarız.

Tabandaki sayı 4 olarak verilmiş. 4 sayısı a > 0 ve a ≠ 1 şartını sağlamıştır.

x – 7 > 0

x > 7

(7, ∞) aralığı bu fonksiyonun en geniş tanım aralığıdır.

Doğal Logaritma

Doğal logaritma nedir?

e tabanındaki logaritmik fonksiyonlara doğal logaritma fonksiyonu denir.

Doğal logaritma nasıl gösterilir?

Doğal logaritma, lnx veya log_ex olarak gösterilir.

Örneğin, ln 13 = log_e13, ln(3x – 2) = log_e(3x – 2) olur.

Doğal logaritma ne demektir?

ln ifadesi, “logarithm natural” yani “doğal logaritma”nın kısaltılmış halidir.

e sayısı ne anlama gelir?

e sayısı, irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,71’dir. e sayısının ismi, ünlü matematikçi Euler’in isminin baş harfinden gelmektedir ve e sayısı Euler sabiti olarak da bilinir.

Logaritma Özellikleri

• log_a1 = 0
• log_aa = 1
• log_x(a * b) = log_xa + log_xb
• log_x(a / b)= log_xa – log_xb
• log_ab = log_cb / log_ca
• log_ab = logb / loga
• a^log_b^c = c^log_b^a
• log_ex = In x

Logaritma Kuralları

Logaritma çıkmış sorularında bu özelliklerle çözülecek çeşitli örnekleri görebilirsin, bu soruları çözebilmeni sağlayacak önemli logaritma formüllerini senin için sıraladık:

• log_aa = 1

• log_a1 = 0

• log_ab^x = x.log_ab

• log_a^xb = 1/x.log_ab

• log_a^xb^y = y/x.log_ab

log_aa = 1

1’den farklı pozitif bir gerçel sayının kendi tabanındaki logaritması 1’dir.

NOT: Bu özelliği kanıtlamak istersen logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde a^x = a eşitliğinden x’in 1 olduğunu bulabilirsin.

log_a1 = 0

1 sayısının logaritma tanımına uygun her tabandaki logaritması sıfırdır.

NOT: Bu özelliği kanıtlamak istersen logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde a^x = 1 eşitliğinden x’in 0 olduğunu bulabilirsin.

log_ab^x = x.log_ab

b^x sayısının a tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının x katıdır.

log_a^xb = 1/x.log_ab

b sayısının a^x tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının x’e bölünmüş halidir.

log_a^xb^y = y/x.log_ab

b^y sayısının a^x tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının y/x katıdır.

Logaritma Çarpma Kuralı

log_a(x.y) = log_ax + log_ay

Pozitif gerçel sayıların çarpımının bir tabandaki logaritması bu sayıların o tabandaki logaritmaları toplamına eşittir.

NOT: Çarpımın logaritmasının ispatını incelemek isteyenlere,

m = log_ax → x = a^m

n = log_ay → y = aⁿ

x.y = a^m. aⁿ = a^m+n (Üslü sayılarda çarpma kuralından)

Denklemde her iki tarafın a tabanında logaritmasını alalım.

log_a(x.y) = log_aa^m+n

Bir önceki yazıda öğrendiğimiz logaritma özelliklerinden,

log_aa^m+n = (m+n). log_aa

log_aa = 1 olduğundan ifadeyi sadeleştirelim.

m+n işleminde ise m, n sayılarının yerine ilk iki satırda yazdığımız logaritma eşitlerini yazalım.

log_a(x.y) = log_ax + log_ay

Logaritma Bölme Kuralı

Pozitif gerçel sayıların bölümünün bir tabandaki logaritması bu sayıların o tabandaki logaritmaları farkına eşittir. (bölünen sayı çıkarma işleminde eksilen, bölen sayı çıkarma işleminde çıkan olmak üzere)

NOT: Bölümün logaritmasının ispatını incelemek isteyenlere,

m = log_ax → x = a^m

n = log_ay → y = aⁿ

 (Üslü sayılarda bölme kuralından)

Denklemde her iki tarafın a tabanında logaritmasını alalım.

Bir önceki yazıda öğrendiğimiz logaritma özelliklerinden,

log_aa = 1 olduğundan ifadeyi sadeleştirelim. m – n işleminde ise m, n sayılarının yerine ilk iki satırda yazdığımız logaritma eşitlerini yazalım.

Taban Değiştirme Kuralı

Logaritma konu anlatım yazılarımıza soru çözümü yaparken işini kolaylaştıracağını düşündüğümüz bir özellik ile devam ediyoruz. Logaritmik fonksiyonlarda toplama ve çıkarma yapabilmek için logaritmik fonksiyonların tabanlarının birbirine eş tabanlar olması gerekir. Bazı sorularda tabanlar farklı olduğu için işlem yapılamadığı durumlarda, taban değiştirme kuralıyla logaritmik fonksiyonu istediğimiz tabana dönüştürerek soruyu çözebiliriz.

a, c sayıları 1’den farklı olmak üzere pozitif gerçel sayılar ve b sayısı da pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

Taban Değiştirme Kuralı Özellikleri

Logaritmaların Çarpımı Kuralı

log_ab . log_bc . log_cd = log_ad

Sayı Üzeri Logaritma Kuralı

a ve b 1’den farklı pozitif gerçel sayılar ve b pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,

• a^log_ab = b
• a^log_bc = c^log_ba

Logaritma Sıralama Kuralı

Logaritmada sıralama yapabilmemiz için öncelikle soruda verilen logaritmik fonksiyonun hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmamız gerekir. Bir örnekle bunu inceleyelim.

Örnek: log₂43 değeri hangi iki tam sayı arasındadır?

Taban 2 olduğu için 2’nin kuvvetlerinden tam sayıları bulalım.

Logaritma 2 tabanında 43’ten daha büyük olan 2’nin kuvvetleri nedir? İlk olarak 64’ü buluruz.

Logaritma 2 tabanında 43’ten daha küçük olan 2’nin kuvvetleri nedir? İlk olarak 32’yi buluruz.

O halde, log₂43 sayısı log₂32 sayısından büyük ve log₂64 sayısından küçüktür.

32 sayısı 2’nin 5. kuvveti ve 64 sayısı da 2’nin 6. kuvveti olduğu için;

Logaritmik Denklemler

Logaritmik Denklemler Nasıl Çözülür?

log_af(x) = log_ag(x) ise f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi bulunarak logaritmik denklem çözülür. Burada bulunan x değeri, logaritmaların en geniş tanım kümelerinin dışında kalmamalıdır.

NOT: Logaritmik denklemlerin çözüm kümesini bulurken logaritma fonksiyonunun tersini alma kuralından faydalanabiliriz. log_af(x) = b ise ab = f(x) olur.

Logaritmik Eşitsizlikler

Logaritmik Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?

Logaritmik eşitsizlikler, log_af(x) < log_ag(x) eşitsizliğinde tabanlar aynı olduğu için f(x) ve g(x) fonksiyonlarını eşitleyerek çözülür. Çözüm kümesini bulurken tabandaki sayının hangi aralıkta olduğunu inceleyerek eşitsizliğin işaretinin değişip değişmediğine karar verilir.

Logaritmik Eşitsizlik Kuralları

log_af(x) < log_ag(x) eşitsizliğinde,

a > 1 ise f(x) < g(x) olmalıdır ve

f(x) > 0, g(x) > 0’dır.

0 < a < 1 ise f(x) > g(x) olmalıdır ve

f(x) > 0, g(x) > 0’dır.