Üçgende Kenarortay ve Orta Taban

Merhabalar, kenarortay konusunda son olarak orta  tabanı açıklamak istiyorum.
Siz bir üçgende iki   kenarın orta noktasını birleştirirseniz orta  taban elde edersiniz.
Gördünüz gibi AB'nin   orta noktası D AC'nin orta noktası E, bunların  birleşimi orta tabandır.
Bu orta tabanın belirli   özellikleri vardır.
Bir, orta taban kesişmediği  bu diğer kenara paraleldir.
Yani DE paraleldir   BC yazarız.
İki, orta taban yine kesişmediği  diğer kenarının uzunluğunun yarısı kadardır.
Yani   siz BC'ye 2k derseniz orta taban uzunluğu onun  yarısı olur.
Yine anlattık anlattık da bunların   hepsi benzerliğe dayanıyor.
Neden benzerliğe  dayanıyor açıklayalım.
Üçgenimi çizdim büyük   üçgenim ABC'yi çizdim, içinde bir yer aldım, dedim  ki bunun orta noktası, bunun orta noktası bu;   birleştirdim.
Niye orta taban niye bunlar  paralel niye bunların arasında bir iki oran var,   diyor.
Şimdi burada A açım alfa olsun, bunları  yazdım.
a'yı a bölsün, b'yi b bölsün; bunları   da yazdık.
ADE üçgeni ve ABC üçgenine ayrı ayrı  bakıyorum a kenarı b kenarı alfa.
2a kenarı iki 2b   kenarı alfa, yazdım.
İki üç kere bakıyorum şimdi  benzerlik var mı?
A köşesinin açıları aynı mı;   alfa alfa, aynı.
Peki iki üçgende karşılıklı  kenarlar oranı birbirine eşit mi?
Bakıyorum a   bölü b bakıyorum 2a bölü 2b, burada da a bölü b.  Demek ki bu oran aynı ve aralarındaki açı eşitse   kesinlikle bunlar benzerdir diyoruz.
İşte bu  benzerlikten dolayı gelişen kuralları anlatıyoruz   size arkadaşlar.
Şimdi paralelliği halen  göstermedik.
Madem oran var aralarında nasıl bir   oran var; karşılıklı kenarların uzunlukları oranı  a bölü 2a, b bölü 2b.
Gördüğünüz gibi a bölü 2a   sadeleşir b bölü 2b sadeleşir, 1/2 oran var.  Yani diyorum ki bu bunun iki katıdır resmen.
Onu   demeye çalışıyorum resmen bu oran bana.
Yani ben  buraya C dersem burası bana 2c olmalı 1'e 2 oranı   sağlamalıyım çünkü diğerlerinde de o oran var.  c'ye 2c olmalı yani siz buraya c dersiniz buraya   zaten.
Orta taban kesişmediği diğer kenarın yarısı   kadardır, dedim bitti.
Şimdi paralellik neden  geldi?
Açılardan gelecek o da.
Bir, burada a'yı   gören açma beta desem burada da karşılıklı olarak  kenarı gören açıya geçmem lazım.
a'nın karşılıklı   olarak buradaki eşiti nedir 2a, demek ki buraya  gelip beta yazacağım.
Aynı şekilde B'yi gören teta   olsun gel buraya teta'yı yaz.
Hangi açı karşılıklı  olarak 2b olmalı o zaman onun karşısında b   köşesi var oraya yazdım.
Açıları şimdi büyük  üçgene bir döşeyelim b burası beta burası teta   ve beta.
Şimdi bu durumun gerçekleşebilmesi için  bana ne gerekli arkadaşlar, paralellik gerekli.   Paralellikte gördüğünüz gibi yöndeş açılar  paralel doğrularda yöndeş açılardan dolayı   bu paralelliği de böyle.
Benzerlikten dolayı yine  gelişmiş bir kural, tamamı ile bunun üzerinde   gerçekleştirilmiş bir kural anlattık arkadaşlar.  Şimdi özel olarak yine bir kuraldan bahsedelim.
DE   orta taban ise yine ABC'yi çizdim, D noktası orta  nokta, E noktası orta nokta bunları birleştirdim   DE orta tabandır, tamam.
Tavanın karşısındaki  köşeden yani A'dan buradan çıkan doğru parçaları   eşit bölünür.
Orta taban tarafından öyle dersen  daha iyi olur.
Burada gördüğünüz AN'yi çizdiğiniz   anda DE bunu ortadan keser.
Neden?
Çünkü bu oran  şu orana eşit olmalı.
Neden?
Çünkü benzerlik var,   çünkü paralellik var.
Burada paralellik anlattık  demek ki bundan dolayı buradaki oran şuradaki   orana eşit olmalı.
Bundan dolayı aynı şekilde yani  yerinizi değiştirebilirsiniz.
İsterseniz AP yapın   AL eşittir PL olmalı çünkü DE orta taban.
Buradaki  oran içeride de sağlanmalı.
Burada sadece bunları   göstermek açısından bunları da buraya eklemek  istedim.
Burada orta tabanı da dahil olduğu bir   kuralı daha aktaracağım sizlere arkadaşlar.
312  kural olarak da aktarılabiliyor bazen arkadaşlar.   Gördüğünüz gibi burada 312 kuralı dediğim şey  arkadaşlar şurada k'lerin başındaki kat sayılardan   geliyor.
Yani burada 312 dememin sebebi 3 burada,  bir k burada, 2k burada.
Yani burada, aslında   böyle bir durumda şurada gördüğünüz uzunlukların  alacakları kat sayı oranlarından bahsediyoruz.   Nedir bu?
Şunu açıklamak istiyorum: Burada  kuralın nasıl geldiğini açıklamak istiyorum.   Gelelim buraya; bir üçgen alıyorum, kenarortayları  çiziyorum, G noktası yani kesişim yeri ağırlık   merkezim oluyor.
Daha sonra ben GD'ye 2k desem,  biliyorum ki G ağırlık merkezi olduğu için köşeye   iki birim uzaklıkta olacak burası 4k olacak.
Yani  AG dediğim 4k, GD dediğim 2k.
2k dememin sebebi tamamen rakamsal   olarak rahat hareket edebilmek, yani bir sebebi  yok.
Daha sonra diyelim ki bu FB'yi birleştirmek   istiyorum.
Şimdi ben FB'yi birleştirirsem neyi  yapmış olurum, neyi çizmiş olurum?
Orta tabanı   çizmiş olurum.
Şimdi orta tabanı çizersem ne  olacak üstte anlattığım kural gibi.
Buradaki   oran 1/1 mi, o zaman buradaki oran da 1/1 olmalı  neyin eşitliğini yazdım?
Şurada göstereyim, şu   noktaya harf verelim H noktası olsun.
AH eşittir  DH olmalı.
Neden olmalı?
Çünkü FE orta tabandır.   Orta taban gördüğünüz gibi bu içeride çizdiğim  AD'yi ortadan kesmeli.
Yani AH eşittir HD olmalı.   Peki bunların ikisinin toplam uzunluğu neydi  arkadaşlar?
Şu 4k'yi şöyle göstereyim bari,   neyin eşitliği peki, AD'nin yarısı.
Ben   AD'yi biliyorum 2K 4K daha 6k idi, 6k bölü 2 .Yani  AH'ye de 3k yazacağım, DH'ye de 3k yazacağım, bu   kadar.
Şimdi bunları yazarsam peki neler kalıyor  elimde?
Geçiyorum DH'ye 3k yazıyorum, DH dedim şu   mesafe.
2k burası ise kaldı buraya k.
AH'ye 3k  yazıyorum.
Burası zaten onu gösteriyor 3k.
İşte   üçgende kenarortay ya da ağırlık merkezi ile bir   işlem yaptıysanız arkadaşlar bu şekli aklınızda  tutmanız da fayda var.
Bunun içerisinde orta   tabanın dahil olduğunu unutmayınız arkadaşlar.  Orta tabanın dahilliği çok önemli.
Orta tabanı   çizdikten sonra ağırlık merkezi, köşe ve kenar  ortay diğer kenara değildi noktalar arasındaki   orandan bahsediyoruz.
312 kuralı bunu anlatıyor  arkadaşlar.
Burada ufak bir ekleme daha yapalım;   bütün kenarların orta noktalarını birleştirirsem,  bakın F D E bunlar orta noktalardı birleştirdim   diyorum.
Sonra diyorum ki şu üçgene bakınız,  FDE'den kastım, diyorum ki bu işte bakınız.
Bu   üçgenin ağırlık merkezi büyük üçgenin ağırlık  merkezi ile de aynıdır.
Ama neden aynıdır?
   Burası buraya eşit değil midir, evet eşit.
Burası  buraya eşit değil midir, evet eşit.
Şu nokta şu   parça şu parçaya eşit değil midir, evet eşittir.  Şimdi bu eşitlikten dolayı çünkü aslında burada   çizdiğim FDE de orta tabandır.
O yüzden buradaki  oran şuraya da yansır.
Aynı şekilde isterseniz   burayı zaten yaptık, isterseniz böyle bakınız  buradaki eşitlikler oradan gelmektedir yine.   Şimdi FDE üçgenine baktığım anda diyeceğim  ki: Ya bu da kenarortay, şu da kenarortay,   Bu DH de kenarortay.
Üç tane kenarortaysa  demek ki bunların kesişim yeri kesinlikle   küçük üçgende de yine G, büyükte zaten G idi  küçükte de G olduğunu göstermek istiyorum.   Yani bunu göstermek istememin tek sebebi  orta noktaları birleştirdiğim anda bu orta   noktalarını birleştirdim üçgenin ağırlık merkezi  büyük üçgenin de ağırlık merkezi ile aynıdır.