Logaritmik Denklemler

Merhaba Sevgili Gençler, bu videoda üstel ifadeyi içeren bir örnek daha çözdükten sonra logaritma içeren denklemlere başlayacağım.
3 üzeri 2x artı üç eşittir beş üzeri x eksi 1 sayısı eşitliğinde x değerini bulunuz demişiz.
Şimdi iki tarafta da üslü bir ifade var.
Üstel bir ifade var.
Birinde x, birinde 2x var.
Önce bunları şu arada artı var.
Ne demek arkadaşlar?
Demek ki burada bir çarpma yapılmış ve üslü sayılarda çarpma yaptığımızda üsleri topluyorduk.
O yüzden ben bunun yerine üç üzeri 2x çarpı, üç üzeri üç yani 27 yazıyorum.
Diğerinde eksi var.
Ne zaman eksi koyuyoruz?
Üslü sayılarda bölme yaparken üsler çıkartılıyordu.
Yani burada da beş üzeri x sayısı beş üzeri bire bölünmüş arkadaşlar.
O zaman içler dışlar yapalım.
Rasyonel bir ifade gördük hemen bir içler dışlar yapalım.
Paydası birdir bunun.
Üç üzeri 2x çarpı yirmi yedi ile 5'i çarpacağım, o da üç üzeri 2x çarpı yirmi yedi ile beşi çarpınca yüz otuz beş yapar.
Eşittir bir ile 5 üzeri x'i çarptım, o da 5 üzeri x.
Şimdi birinde x, birinde 2x var.
Bu yüzden bunları birleştiremiyorum.
O yüzden bu üç üzeri iki x yerine nedir bu?
Üç üzeri ikinin ikinci kuvvetidir, yani 9'un ikinci kuvvetidir.
O zaman bunun yerine 9 üzeri x yazıyorum.
3 üzeri 2x yerine 9 üzeri x yazdım.
Çarpı 135 eşittir 5 üzeri x.
Şimdi x aynı tarafta oluyor dedim.
Bizim normal denklemlerimizde bile x'i bir tarafa topluyorduk.
O yüzden 135 burada kalsın.
Hatta şöyle yapayım her iki tarafı 9 üzeri x'e böleyim.
9 üzeri x, 9 üzeri x'e böldüm.
Bunlar gitti.
Şimdi son haliyle şuradan devam ediyorum.
135 eşittir 5 üzeri x bölü 9 üzeri x.
Şöyle yazın 5 üzeri x bölü 9 üzeri x.
Bu nedir arkadaşlar?
Bu 5 bölü 9'un x'inci kuvvetidir.
Böyle olduğunda bu x hem 5'e ait hem 9!
a 5 bölü 9'un 2'nci kuvvetidir.
Evet, yani 5 bölü 9'un x'inci kuvveti yüz otuz beş imiş.
Evet, istediğim hale getirdim.
Bakın buradan sonra neye başlayacağız?
Tabanda bir sayı var, üstte bilinmeyen var.
Logaritma ile x'e çevirelim.
Evet, logaritma tabanı logaritmada da tabanı olacaktı.
5 bölü 9 tabanında eşittir koyduğum x burada bakın eşittir 135.
Bak 5 bölü 9 üzeri x eşittir 135.
O zaman x'imiz logaritma 5 bölü 9 tabanında yüz otuz beş miş arkadaşlar.
Şimdi logaritma içeren denklemlere başlayalım.
Burada da aynı üsteldeki gibi.
Üstel de neydi, tabanlar aynı ise üstler aynı olacak demiştik.
Burada da logaritma, a tabanında f x, a tabanında g x'ler.
Bakın tabanları aynı.
O halde bunlar eşit olması için logaritmaların içleri de aynı olmalıdır.
f x eşittir g x'in çözüm kümesini bulacağım.
Bunun kökünü bulacağım ama üsteldeki gibi değil.
Burada bir ayrıntıya dikkat edelim.
Bulduğumuz x.
Sen x'i buldun.
Neyi buldun sen aslında şu denklemin kökünü buldun değil mi?
Bulduğun x logaritma a'nın en geniş tanım kümesi şartını sağlaması gerekiyor.
Bu kümenin dışında kalmamalıdır.
Yani logaritma içine yazılabilen bir sayı olmalıdır.
Siz yazdığınız o x sayısının logaritma içi negatif çıktı olmaz.
Logaritmanın içi negatif sayı olmazdı.
Sıfır olmazdı değil mi?
Yani bulduğumuz x'i kontrol etmemiz gerekiyor arkadaşlar.
Soruda daha net anlayacağız burayı ve başka ne var?
Logaritma tabanında f x verdi bunlar zaten daha önce de yaptığımız şeyler aslında.
Ekstra bir şey öğrenmedik.
Bakın A üzeri B eşittir f x deyip normal bir denkleme çeviriyoruz.
Buradan x'i yalnız bırakınca x'i bulmuş oluyoruz.
Evet, altındaki sorumuza bakın.
Tabanları aynı verdim.
5 tabanında o zaman diyeceğim ki içleri de aynıdır.
Sadece bunu yapacağız.
2x eksi 7 eşittir x artı bir.
Ne yapıyorduk?
x'leri bir tarafa topluyorduk.
At bu x'i bu tarafa Eksi x olarak.
Burada x kaldı.
7'de buraya artı 7 olarak attığımda da 8 oldu ve çıktı.
Şimdi hemen bir sekizi yerine bir yazın sekizi.
Buraya yazdığında bir sakıncası var mıdır?
Yani sıfır yapar mı negatif yapar mı?
Hayır, sekizi buraya yazdığınızda sıfır ve negatif yapmaz.
O zaman x eşittir sekiz denkleminin kökünü, çözüm kümesini bulunuz demiş.
Çözüm kümesi de budur arkadaşlar.
Evet denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Tamam tabanlar yine aynı ama burada tek logaritma yapmam lazım.
Arada artıyı görünce hemen alışkanlık olsun.
Birleştirin bunları.
Ne olarak?
Çarpım olarak değil mi?
Logaritma 5 tabanında x eksi bir çarpı x artı 3 eşittir birdir dedim.
Şimdi tek logaritma yaptın, çevirmeni yap şimdi bak hep yaptığımız iş.
Beş üzeri bir eşittir içerisi.
Yani x eksi bir çarpı x artı üç eşittir beş üzeri bir yani beş.
Burayı açalım şimdi.
x eksi bir çarpı x artı üçü nasıl yazarız?
Tek tek dağıt şimdi, x'i dağıtıyorum.
Önce x kare artı 3x şimdi eksi biri dağıtıyorum.
Eksi X eksi üç eşittir 5.
Buradan da ne geldi?
x kare artı iki x eksi üç eşittir beş.
Şunları birleştirdim 2x olarak.
Beşi de sola at ikinci dereceden bir denklem yapıyorsanız sağ tarafta sıfır kalsın.
Hepsini bir sola toplayın.
x kare artı 2x eksi sekiz eşittir sıfır.
Tamam, ikinci dereceden denklemi buldum.
Bu denklemin köklerini nasıl buluyorduk arkadaşlar?
Çarpanlara ayrılıyor ise bir ayırın.
Bu x, x bu da çarpımları eksi sekizi toplamları 2'yi veren iki tane sayı bulmanız lazım.
Onlar da dört ve eksi 2'dir.
Çarpın bakın eksi sekiz, toplayın iki.
O zaman bunun çarpanlara ayrılmış haliyle yazıyorum.
x artı dört çarpı x eksi iki eşittir sıfır.
Bu durumda ne yapıyorduk?
Bir x artı 4'ü sıfıra eşitliyorduk.
x artı dört eşittir sıfır.
Sağa dördü sağa attınız.
x Eksi 4.
X eksi 2 eşittir 0 ise eksi iki sağa attınız.
x'imiz 2.
Hemen çözüm kümesi eksi dört ile ikidir demiyoruz değil mi?
Eksi dörde bak.
Buraya yazınca ne olur?
Logaritmanın içi eksi 5 olur.
Logaritma içine negatif sayı yazamam.
O yüzden eksi dördü eliyoruz.
Arkadaşlar 2'yi yazmamızda bir sakınca var mı?
İki yazdığımda olur, iki buraya yazdığımda olur.
O yüzden x değerimiz sadece 2'dir arkadaşlar.