Karmaşık Sayılar

Merhaba arkadaşlar, konumuz karmaşık sayılar.
Sanal sayı birimi, i kare eşittir eksi bir olmak üzere x kare artı 1 eşittir 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Peki burada x kare artı 1 eşittir 0 ifadesinin normal şartlarda reel sayılar kümesinde çözüm kümesi boş küme idi.
Fakat karmaşık sayılar kümesinde ise biz çözüm kümesine ulaşacağız.
Karşıya attık artı biri, x kare artı eksi bir eksi 1'i ne kabul ettik biz?
i kare kabul ettik.
O halde eksi bir gördüğüm yere i kare yazıyorum.
Burada x'im ya i olabilir ya da eksi i olabilir.
İşte biz bu verilen ifadenin çözüm kümesine i ve eksi i diyoruz.
x kare artı 1 eşittir 0 denklemini sağlayan yani x kare eşittir eksi bir ifadesindeki i sayısına sanal imajıner sayı birimi denir.
a ile b birer gerçek sayı i kare eşittir eksi 1 olmak üzere z eşittir a artı ib biçimindeki sayılara karmaşık kompleks sayı denir.
Z eşittir a artı ib karmaşık sayısında a'ya reel kısım denir ve re z ile gösterilir.
b'ye de sanal imajiner kısım denir.
Burada da im z şeklinde gösterilir.
Yani burada reel kısım A imajına kısım ise B olmuş oluyor.
Hemen aşağıdaki örneğe bakacak olursak z eşittir iki artı 3i ifadesi karmaşık sayıdır.
Reel kısım nedir burada?
2.
İmajiner kısım i'li olan ifadenin kat sayısı.
Yani 3 b şıkkına bakalım.
Z eşittir kök 2i eksi kök 3 i'li ifadenin katsayısı bana neyi veriyordu?
İmajiner yani kök 2.
Reel olan ifade nedir?
Eksi kök üç.
Aynı şekilde z eşittir eksi 6.
Burada i'li bir ifade var mı?
Yok.
O halde reel kısım nedir?
Eksi 6.
İmajiner nedir?
Yok.
Olmadığı için 0 yazıyoruz.
Z eşittir 5i.
Burada ise reel kısım yok.
İmajiner kısım 5 olmuş oluyor.
Karmaşık sayının eşleniği.
A ve B birer gerçek sayı olmak üzere Z eşittir a artı bi karmaşık sayının eşleniği Z'nin üstünde çizgi olacak.
Eşittir a eksi bi şeklinde gösterilir.
Yani eşleniği derken karmaşık sayıda i'li ifadenin katsayısının ters işaretlisidir.
Bir tane örnek verelim.
Z eşittir 3 artı 2i.
Mesela bu karmaşık sayının eşleniği nedir?
3 eksi 2i.
İmajiner kısmının ters işaretlisi Bir tane daha örnek verelim.
Z eşittir 2i.
Buradan ne gelir eşleniği?
i'li ifadenin katsayısının ters işaretlisi.
Yani eksi 2i.
Bir tane daha örnek verelim.
Z eşittir mesela 5 diyelim.
Z buradan eşleniği ne gelmiş oluyor?
İmajinerli bir ifade olmadığı için yine 5 gelmiş oluyor.
Karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir.
Evet, burada zaten görebiliriz.
Karmaşık sayının eşleniği burada nedir?
3 eksi 2i.
Tekrar kendisinin eşleniği ne olmuş oluyor?
3 artı 2i yani Z'ye eşit olmuş oluyor.
Şimdi ise örneklere geçelim.
Örnek.
X kare eksi 4 artı 6 eşittir 0 denkleminin köklerini bulunuz, köklerini bulabilmek için önce deltaya bakmamız gerekiyor.
Ben tabii bakalım b kare eksi 4 ac.
Buradan a'sı nedir?
x karenin katsayısı gizli 1, b'si nedir?
Eksi 4.
c'si nedir?
6.
Bakacak olursak b kare eksi 4 ac.
B kare nedir?
Yani eksi dördün karesi on altı eksi dört çarpı a'sı ne buradan?
Bir.
c'si altı, on altı eksi 24'ten buradan cevabımız eksi sekiz gelmiş oluyor.
Yani buradan bizim deltamız ne gelmiş oldu?
Delta sıfırdan küçük gelmiş oldu.
Burada reel sayılar kümesi içerisinde demiş mi?
Hayır.
Reel sayılar kümesi demediği için biz burada karmaşık sayılarda kök bulabiliriz.
O halde başlayalım.
Nasıl buluyorduk kökleri?
x1 eşittir eksi b artı kök delta bölü 2a.
Diğeri nedir?
x2 eşittir eksi b eksi kök delta bölüğü 2a Hemen yazalım.
Eksi b'si ne burada?
Eksi 4'ten artı 4 yapmış oldu.
Artı kök delta dediğim nedir?
Burada eksi 8 bölü 2a.
A'sı nedir burada?
Bir yani iki gelmiş oldu.
Peki burada 4 artı şimdi kök içerisinde eksi biri şöyle ayrı yazalım bir de kök sekizi yazalım bölü 2.
4 artı kök içerisinde eksi bir ifadesi bana neyi verir?
Karmaşık sayılarda o ifade bana i'yi verir.
Şimdi biz neyi biliyoruz?
i karenin eksi 1'e eşit olduğunu biliyoruz.
Her tarafın şöyle kökünü alacak olursak i yalnız kalmış olur.
i kök eksi bire eşit olmuş olur.
O halde kök sekizi de artık dışarı çıkabilirim iki kök iki diye.
Peki iki kök iki i gelmiş oldu yanında bölü iki.
Her tarafı burada ikiye bölecek olursak, dördü ikiye böldüm iki, iki kök iki ikiye böldüm Kök iki yani iki artı kök iki i gelmiş oluyor benim cevabım.
Şimdi ise aynı şekilde diğer köke bakacak olursak onu da yazalım.
x2 eşittir eksi B dediğim 4.
4 eksi kök eksi 8 bölü 2.
Buradan da 4 eksi iki kök iki i bölü ikiden ve buradan her taraf ikiye böldüğümüzü düşünelim.
İki eksi kök iki i gelmiş oldu.
Fark ettiyseniz burada iki kök birbirinin nesidir, birbirinin eşleniğidir.
Yani bir tanesini bulmanız yeterli.
Diğeri de bunun direkt eksilisidir.
Demek ki karmaşık sayılar kümesinde biz iki tane kök bulabiliyoruz.
Örnek.
İkinci dereceden gerçek katsayılı bir denklemin iki karmaşık kökü z1 eşittir a artı 3ai ve z2 eşittir 4 eksi b eksi 3i şeklindedir.
Buna göre a çarpı b değeri kaçtır?
Şimdi öncelikle biz biliyoruz ki karmaşık sayılarda verilen iki kök birbirlerinin eşleniği.
O halde burada reel sayılar birbirine eşittir.
a nedir burada?
a 4'tür.
O halde artık z1 yazabilirim.
Z1 neye eşit olmuş oldu?
4 artı 4 kere üç 12i olmuş oldu.
Bu benim bir köküm ise diğer köküm ne olmuş olacak?
4 eksi 12i olmuş olacak.
Yani birbirinin eşleniği olmuş olacak ve o halde bu z2 ifadesi neye eşit?
4 eksi b eksi üç i'ye.
Buradan zaten dörtler birbirine eşit.
O halde eksi eksi şöyle artı yaptı.
Yani bunlar da birbirinin aynısı olmuş oldu.
O halde b eksi 3 neye eşit?
On ikiye, b buradan 15 gelmiş oldu.
Bana a çarpı b'yi sormuş.
a çarpı b yani 4 çarpı 15'ten cevabımız 60 gelmiş oluyor.