Merhabalar arkadaşlar, şimdi köklü seylere devam ediyoruz.
Burada kök dışına çıkarma ile alakalı örneklere bakacağız ve kurallarına bakacağız.
Şimdi ilk sinemanın reel sayılar ne pozitif tam sayısı ve ne de 2'den büyük işte olsun.
Bu ne dediğimiz Latin kökün derecesi ve ilk de içerideki sayılar.
Şimdi ne tek ise yani kökün derece si tek.
Ve bakınız içerdeki ilk sayısının da derecesi aynı.
Yani ne?
Ikisi de aynı olduğunu bu çök dışına çıkabilir ama tek olduğunda direk çıkacak tek olduğunu bir sorun yok içeride.
Ne görüyorsanız, köklerin dereceleri aynı olduğu anda kökün derecesiyle üssü sayının derecesi aynı olduğu anda direk olarak çıkacak.
Ama çift olursa çift olursa buna dikkat etmek lazım.
Kök'ün derecesi ile üssün derecesi aynı olduğunda ve içerideki çift ise bu sefer arkadaşlar mutlak ilk sonraya çıkar.
Neden?
Çünkü şunu söylememiz lazım eksi 2'nin karesi de 4'tür.
Burada 2'nin karesi 4'tür.
Yani hep bu örneğe veririm.
O yüzden bakınız 4.
Neyin kalesidir diye sorduğumda iki durum var.
Eksi 2.
Ve 2.
Burada da aynı mevzu olacak.
O yüzden burada eksi olma durumu da var, artı olma durumu da var.
O yüzden bunu mutlak IX olarak çıkartacağız.
Burada dikkat edeceğiz.
Tabi bu genelde değişkenli sorularda bizim kullanmamız bir mevzu.
Yani biz şunu gördüğümüzde onun mutlak değeriyle aslında ilgilenmez.
Yani şöyle.
Mesela 2 kök mesela burada 36.
Şimdi bunun zaten 6'nın karesi olduğunu biliyorsunuz.
İçerideki zaten pozitif pozitif olduğunda direk olarak çıkartırsanız ama negatif olmaları durumunda veya değişken olma durumunda bunu düşünürsünüz.
O yüzden burası önemli.
Peki direk olarak kök dişi ne çıkmayabilir?
Yani kök tamamen ortadan kalkmaya bilir.
O zaman ne olacak?
Bu sefer bakınız içeride bir sayı üssü ile dışarıdaki kökün derecesinin aynı olacak şekilde bir çarpan elde etmeliyiz.
Onu elde ettikten sonra o elde ettiğimiz çarpan dışarıya çıkar ve burada içerideki çıkamayan da kalır.
Yani onu da o şekilde bırakmış oluruz.
Orada bu şekilde kalacak.
Peki dışarıdaki bir sayıyı kökün içine sokacak isek nasıl yapacağız?
Bu sefer ne yapacağız?
Bu kökün derecesine alarak içeriye girecek.
Yani şöyle olmuş olacak.
Burada en inceleriz en kök var bu sefer IX En inci dereceden kuvvetini aldı ve içerdeki yere de zaten devam ediyor.
Aynı şekilde bu şekilde almış olacağız.
Şimdi bunların örneklerine bakalım.
Şimdi aşağıdaki çalışmaları yapınız.
Bakınız Kök 25.
Burada zaten kökün derecesi ÇİFT ama burada mutlak değeriyle ilgilenmemiz de gerek yok.
Biz direk olarak zaten bunu 5 olarak çıkartırız.
Şimdi küp kök eksi 8.
Bakınız eksi 8 neyin köprüdür?
Burada kökün derecesiyle aynı yapmaya çalışıyorum.
Eksi 2'nin burada köprüdür.
O zaman demek ki tek olduğunu aynen çıkıyor.
Yani eksi 2 olarak çıkar bu.
Peki bakınız dördüncü özden eksi 254.
İşte bu bu sefer mutlak değeri olarak çıkacak.
Yani bu şekilde çıkacak ve biz bunu mutlak değerin de dışına iki olarak çıkartacağız.
Negatif olma durumlarında ve değişken olma durumlarında çiftlik önemlidir.
Peki kök girmişim şimdi kök 20 direk olarak dışarı çıkma yani bir sayının karesi değil o zaman demek ki ben burada öyle bir çarpanlar AIMA yapmalıyım ki en sade haline getireyim ben bunu.
Bunu çok fazla kez kullanacağız.
Bakınız şimdi kök yirmiyi şöyle ayırabiliriz.
Ben dört çarpı beş olarak ayırım neden bu şekilde ayırdım?
Çünkü dört dediğimiz sayı 2'nin kalesidir ve kökün derecesi ile aynı olmuş oldu.
5 Burada o zaman demek ki bakınız iki çıktı dışarıya.
Burada derecesi sonuçta gitti ve kök 5'te burada kaldı, o çıkamadı.
Yani biz kök yirmiyi 2 kök 5 olarak yazabiliriz.
Peki kök elle bunu da aynı şeyi yapmaya çalışacağım.
Burada birazcık da sayılarla aranızı iyi olması lazım.
Hızlı yapabilmek için 25 çarpı 2 olduğunu biliyoruz.
25'in dışarıya 5 olarak çıkacağını ama 2'nin de çıkmayacağını biliyoruz.
Bakınız burada 5 kök 2 olarak kalır.
Peki kök ün derecesi 3 oldu şimdi o zaman demek ki içeride de bizim üslü sayı olarak üzerinde yani kuvvetini 3 olan bir şey elde etmemiz lazım.
O da nedir?
Bakınız 32.
Ben şu şekilde verebilirim.
8 çarpı 4 8 2'nin küpü dür.
O yüzden yaptım onu.
Küp kök burada 2'nin küpü çarpı 4 olmuş oldu.
4 çıkamayacak ama 2 çıkacak 2'yi.
Daha sonra burada küp kök olacak ve burada 4'te kalmış olacak.
Yani bu şekilde biz bunu en sade haline getirmiş oluruz.
Peki burada da dışarı çıkmış halleri var, içeriye sokalım biz bunları.
5 Nasıl gelecek?
Kök'ün derecesinde iki olduğu için 5'in üssünü içine alarak girecek.
Yani şu şekilde girecek beşin karesi çarpı 3.
O zaman demek ki biraz daha devam ettirir.
Sen ben bunu bu bu sefer 25 çarpı 3 demek ve sonuç olarak da bu kök 75'e eşit olmuş oldu.
Peki bu 2 kök kedi içeri 4 diye gelecek.
Çünkü 2'nin karesini alır.
O zaman 4 çarpı 7den burası da ne olmuş olacak.
Burada 28'i biz elde etmiş olacağız.
Bazen kökünün içine almamız gerekiyor, bazen de kökünün dışına çıkartmamız gerekiyor.
O yüzden bu soru da bize nasıl sorulduğunu bağlı olarak değişecek.
Peki bakınız şimdi değişkenli var İKSV'ye gerçel sayı ilk sıfırdan küçük 7 sıfırdan büyükmüş ve burada belli başlı kökler var bu ifadelerin eşlerini bulur.
Şimdi bakınız beşinci özden kök var ve Y üzeri 5 var y pozitif ve zaten köklerinin dereceleri de tek olduğu için 7 herhangi bir şart yok.
Direk olarak çıkar artık.
Bakınız XX değerinin karesi, kökün derecesinde de kara var.
E o zaman demek ki bunlar çift olduğu için bu sefer içerdeki ifade işte mutlak değer olarak çıkacak ve bu mutlak değerin de biz dışına buradaki küçüktür ve büyüktür durumlarına göre yapacağız.
Ekip kök var ve burada tek olduğu için burada herhangi bir şartımız yok.
Bu y eksiksiz olarak çıkacak zaten.
Peki eksi var daha sonra IX Kr.
Bakınız buna ne olacak?
Aslında X değil çıkması lazım ama köklerin dereceleri burada çift olduğu için mutlak eksi olarak çıkmış olacak.
Peki Y Artı şimdi IX eksiğe şimdi.
X Negatif bir sayı.
Y Pozitif ise ama önünde bir daha eksi var.
Yani burasının içi komple negatif oldu.
İçi kombine negatif olduğu için biz bunu eksi ile çarpıp çıkartırız.
Yani ben yerlerini değiştiriyorum.
Y Eksi ilk olarak gezerim.
X ile de çarpıp yazdığımda aynı şey olacak.
Daha sonra artı eksi IX var.
Daha sonra eksi bakınız IX negatif bir sayı.
Yani mutlak dereiçi negatif oldu.
Dışarıya da bir daha eksi ile çarpı çıkartacağız.
Eksi burada vardı zaten.
Bir daha eksi ile çarparsa artı eksi olur.
O zaman en son ne elde etmiş oluruz?
Şunlar gidiyor ve en son burada 3 taneye ve üç taneyi ve bir tane de XX kalıyor.
Yani bu ne elde etmiş oluyoruz?
Peki burada belli başlı kökler var ve bu işlemin sonucu soruluyor bizim.
Şimdi bakınız bir böyle dört nedir, bir ilkinin karesi değil midir?
O zaman demek ki bu bir birliği 2'nin komple karesi olduğu için dışarıya bir birlik olarak çıkacaktır.
E peki sıfır virgül 25.
O da 25 ölü yüz değil midir?
25 ölü yüzün aslında kökünden bahsediyoruz.
O da beş bölü onun kalesidir.
5000'e onun karesi olduğu için.
Hatta bir kere daha yazalım beş ölü onun kalesidir.
Bunlar ve bunlar da dışarı nasıl çıkacak?
Mutlak değeri zaten pozitif olduğu için sıkıntı yok.
Beş böyle on olarak çıkacak.
Peki burada da bu sefer küp kök sıfır, virgül sıfır yirmi yedi var ve bu da 27 bölü bin demektir.
Zaten 27 bin yirmi yedi bin.
Ben bunun üstlerini 3 olacak şekilde yazdığımı da şu şekilde yazacağım.
Üç bölü onun küpü üç böyle onu küpü dur burası o zaman demek ki bakınız üstler sader eşliğinde burada üç bölü onu elde etmiş oluyoruz.
Peki bu işe sonucu?
Burada bir iki yazanın bu işlemi bir iki var eksi beş bölü on var, artı üç bile on var.
E bakınız beş böyle on zaten Sadie eşliğinde bir iki yapmayacak mıdır?
Burada da bir böyle iki var, bir iki eksi, bir iki artı.
Burada üç bölü onu elde ettik.
Bir böyle i̇kiler zaten gitti.
O zaman demek ki cevap olarak biz üç öğünü onu elde etmiş olduk.
Burada kök dışına çıkarma ile alakalı örneklere bakacağız ve kurallarına bakacağız.
Şimdi ilk sinemanın reel sayılar ne pozitif tam sayısı ve ne de 2'den büyük işte olsun.
Bu ne dediğimiz Latin kökün derecesi ve ilk de içerideki sayılar.
Şimdi ne tek ise yani kökün derece si tek.
Ve bakınız içerdeki ilk sayısının da derecesi aynı.
Yani ne?
Ikisi de aynı olduğunu bu çök dışına çıkabilir ama tek olduğunda direk çıkacak tek olduğunu bir sorun yok içeride.
Ne görüyorsanız, köklerin dereceleri aynı olduğu anda kökün derecesiyle üssü sayının derecesi aynı olduğu anda direk olarak çıkacak.
Ama çift olursa çift olursa buna dikkat etmek lazım.
Kök'ün derecesi ile üssün derecesi aynı olduğunda ve içerideki çift ise bu sefer arkadaşlar mutlak ilk sonraya çıkar.
Neden?
Çünkü şunu söylememiz lazım eksi 2'nin karesi de 4'tür.
Burada 2'nin karesi 4'tür.
Yani hep bu örneğe veririm.
O yüzden bakınız 4.
Neyin kalesidir diye sorduğumda iki durum var.
Eksi 2.
Ve 2.
Burada da aynı mevzu olacak.
O yüzden burada eksi olma durumu da var, artı olma durumu da var.
O yüzden bunu mutlak IX olarak çıkartacağız.
Burada dikkat edeceğiz.
Tabi bu genelde değişkenli sorularda bizim kullanmamız bir mevzu.
Yani biz şunu gördüğümüzde onun mutlak değeriyle aslında ilgilenmez.
Yani şöyle.
Mesela 2 kök mesela burada 36.
Şimdi bunun zaten 6'nın karesi olduğunu biliyorsunuz.
İçerideki zaten pozitif pozitif olduğunda direk olarak çıkartırsanız ama negatif olmaları durumunda veya değişken olma durumunda bunu düşünürsünüz.
O yüzden burası önemli.
Peki direk olarak kök dişi ne çıkmayabilir?
Yani kök tamamen ortadan kalkmaya bilir.
O zaman ne olacak?
Bu sefer bakınız içeride bir sayı üssü ile dışarıdaki kökün derecesinin aynı olacak şekilde bir çarpan elde etmeliyiz.
Onu elde ettikten sonra o elde ettiğimiz çarpan dışarıya çıkar ve burada içerideki çıkamayan da kalır.
Yani onu da o şekilde bırakmış oluruz.
Orada bu şekilde kalacak.
Peki dışarıdaki bir sayıyı kökün içine sokacak isek nasıl yapacağız?
Bu sefer ne yapacağız?
Bu kökün derecesine alarak içeriye girecek.
Yani şöyle olmuş olacak.
Burada en inceleriz en kök var bu sefer IX En inci dereceden kuvvetini aldı ve içerdeki yere de zaten devam ediyor.
Aynı şekilde bu şekilde almış olacağız.
Şimdi bunların örneklerine bakalım.
Şimdi aşağıdaki çalışmaları yapınız.
Bakınız Kök 25.
Burada zaten kökün derecesi ÇİFT ama burada mutlak değeriyle ilgilenmemiz de gerek yok.
Biz direk olarak zaten bunu 5 olarak çıkartırız.
Şimdi küp kök eksi 8.
Bakınız eksi 8 neyin köprüdür?
Burada kökün derecesiyle aynı yapmaya çalışıyorum.
Eksi 2'nin burada köprüdür.
O zaman demek ki tek olduğunu aynen çıkıyor.
Yani eksi 2 olarak çıkar bu.
Peki bakınız dördüncü özden eksi 254.
İşte bu bu sefer mutlak değeri olarak çıkacak.
Yani bu şekilde çıkacak ve biz bunu mutlak değerin de dışına iki olarak çıkartacağız.
Negatif olma durumlarında ve değişken olma durumlarında çiftlik önemlidir.
Peki kök girmişim şimdi kök 20 direk olarak dışarı çıkma yani bir sayının karesi değil o zaman demek ki ben burada öyle bir çarpanlar AIMA yapmalıyım ki en sade haline getireyim ben bunu.
Bunu çok fazla kez kullanacağız.
Bakınız şimdi kök yirmiyi şöyle ayırabiliriz.
Ben dört çarpı beş olarak ayırım neden bu şekilde ayırdım?
Çünkü dört dediğimiz sayı 2'nin kalesidir ve kökün derecesi ile aynı olmuş oldu.
5 Burada o zaman demek ki bakınız iki çıktı dışarıya.
Burada derecesi sonuçta gitti ve kök 5'te burada kaldı, o çıkamadı.
Yani biz kök yirmiyi 2 kök 5 olarak yazabiliriz.
Peki kök elle bunu da aynı şeyi yapmaya çalışacağım.
Burada birazcık da sayılarla aranızı iyi olması lazım.
Hızlı yapabilmek için 25 çarpı 2 olduğunu biliyoruz.
25'in dışarıya 5 olarak çıkacağını ama 2'nin de çıkmayacağını biliyoruz.
Bakınız burada 5 kök 2 olarak kalır.
Peki kök ün derecesi 3 oldu şimdi o zaman demek ki içeride de bizim üslü sayı olarak üzerinde yani kuvvetini 3 olan bir şey elde etmemiz lazım.
O da nedir?
Bakınız 32.
Ben şu şekilde verebilirim.
8 çarpı 4 8 2'nin küpü dür.
O yüzden yaptım onu.
Küp kök burada 2'nin küpü çarpı 4 olmuş oldu.
4 çıkamayacak ama 2 çıkacak 2'yi.
Daha sonra burada küp kök olacak ve burada 4'te kalmış olacak.
Yani bu şekilde biz bunu en sade haline getirmiş oluruz.
Peki burada da dışarı çıkmış halleri var, içeriye sokalım biz bunları.
5 Nasıl gelecek?
Kök'ün derecesinde iki olduğu için 5'in üssünü içine alarak girecek.
Yani şu şekilde girecek beşin karesi çarpı 3.
O zaman demek ki biraz daha devam ettirir.
Sen ben bunu bu bu sefer 25 çarpı 3 demek ve sonuç olarak da bu kök 75'e eşit olmuş oldu.
Peki bu 2 kök kedi içeri 4 diye gelecek.
Çünkü 2'nin karesini alır.
O zaman 4 çarpı 7den burası da ne olmuş olacak.
Burada 28'i biz elde etmiş olacağız.
Bazen kökünün içine almamız gerekiyor, bazen de kökünün dışına çıkartmamız gerekiyor.
O yüzden bu soru da bize nasıl sorulduğunu bağlı olarak değişecek.
Peki bakınız şimdi değişkenli var İKSV'ye gerçel sayı ilk sıfırdan küçük 7 sıfırdan büyükmüş ve burada belli başlı kökler var bu ifadelerin eşlerini bulur.
Şimdi bakınız beşinci özden kök var ve Y üzeri 5 var y pozitif ve zaten köklerinin dereceleri de tek olduğu için 7 herhangi bir şart yok.
Direk olarak çıkar artık.
Bakınız XX değerinin karesi, kökün derecesinde de kara var.
E o zaman demek ki bunlar çift olduğu için bu sefer içerdeki ifade işte mutlak değer olarak çıkacak ve bu mutlak değerin de biz dışına buradaki küçüktür ve büyüktür durumlarına göre yapacağız.
Ekip kök var ve burada tek olduğu için burada herhangi bir şartımız yok.
Bu y eksiksiz olarak çıkacak zaten.
Peki eksi var daha sonra IX Kr.
Bakınız buna ne olacak?
Aslında X değil çıkması lazım ama köklerin dereceleri burada çift olduğu için mutlak eksi olarak çıkmış olacak.
Peki Y Artı şimdi IX eksiğe şimdi.
X Negatif bir sayı.
Y Pozitif ise ama önünde bir daha eksi var.
Yani burasının içi komple negatif oldu.
İçi kombine negatif olduğu için biz bunu eksi ile çarpıp çıkartırız.
Yani ben yerlerini değiştiriyorum.
Y Eksi ilk olarak gezerim.
X ile de çarpıp yazdığımda aynı şey olacak.
Daha sonra artı eksi IX var.
Daha sonra eksi bakınız IX negatif bir sayı.
Yani mutlak dereiçi negatif oldu.
Dışarıya da bir daha eksi ile çarpı çıkartacağız.
Eksi burada vardı zaten.
Bir daha eksi ile çarparsa artı eksi olur.
O zaman en son ne elde etmiş oluruz?
Şunlar gidiyor ve en son burada 3 taneye ve üç taneyi ve bir tane de XX kalıyor.
Yani bu ne elde etmiş oluyoruz?
Peki burada belli başlı kökler var ve bu işlemin sonucu soruluyor bizim.
Şimdi bakınız bir böyle dört nedir, bir ilkinin karesi değil midir?
O zaman demek ki bu bir birliği 2'nin komple karesi olduğu için dışarıya bir birlik olarak çıkacaktır.
E peki sıfır virgül 25.
O da 25 ölü yüz değil midir?
25 ölü yüzün aslında kökünden bahsediyoruz.
O da beş bölü onun kalesidir.
5000'e onun karesi olduğu için.
Hatta bir kere daha yazalım beş ölü onun kalesidir.
Bunlar ve bunlar da dışarı nasıl çıkacak?
Mutlak değeri zaten pozitif olduğu için sıkıntı yok.
Beş böyle on olarak çıkacak.
Peki burada da bu sefer küp kök sıfır, virgül sıfır yirmi yedi var ve bu da 27 bölü bin demektir.
Zaten 27 bin yirmi yedi bin.
Ben bunun üstlerini 3 olacak şekilde yazdığımı da şu şekilde yazacağım.
Üç bölü onun küpü üç böyle onu küpü dur burası o zaman demek ki bakınız üstler sader eşliğinde burada üç bölü onu elde etmiş oluyoruz.
Peki bu işe sonucu?
Burada bir iki yazanın bu işlemi bir iki var eksi beş bölü on var, artı üç bile on var.
E bakınız beş böyle on zaten Sadie eşliğinde bir iki yapmayacak mıdır?
Burada da bir böyle iki var, bir iki eksi, bir iki artı.
Burada üç bölü onu elde ettik.
Bir böyle i̇kiler zaten gitti.
O zaman demek ki cevap olarak biz üç öğünü onu elde etmiş olduk.
Sıkça Sorulan Sorular
Kök içindeki ifade nasıl kök dışına çıkarılabilir?
Kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırarak kök dışına çıkarabiliriz. Şimdi kareköklü olarak gösterilen bir örnek ile anlamaya çalışalım:
√48’i kök dışına çıkaralım. Öncelikle 48’i çarpanlarına ayırıyorum. 48 = 2.2.2.2.3
Şimdi aynı sayıdan 2 tane olanları (karekök olduğu için 2) kök dışına çıkaracağız. Bu ikili sayılar kök dışına çıkarken 1 tane olarak çıkar.
√48 = √2.2.2.2.3 = 2.2√3 = 4√3 Örneğimizi tüm köklü sayılar için genelleyebiliriz. Formüllerini bir sonraki soruda inceleyelim.
Köklü bir sayıyı kök dışına çıkarma ve kök içine alma formülleri nelerdir?
- b > 0 olmak üzere,
- n tek sayı ise
- n çift sayı ise
Köklü sayıları kök dışına çıkarma özellikleri nelerdir?
x bir reel sayı, n pozitif bir doğal sayı ve n ≥ 2 olmak üzere,
- n sayısı tek ise
- n sayısı çift ise
olur.
Kök 5 dışarı nasıl çıkar?
Kök 5 sayısı kök dışına tam olarak çıkamaz çünkü 5 sayısı asal bir sayı olduğu için 1 ve 5 dışında çarpanı yoktur.
