Köklü Sayılarda Paydayı Rasyonel Yapma

Merhabalar arkadaşlar, köklü sayılarla alakalı  son durumları inceleyeceğiz.
Bakalım X elemanıdır   pozitif reel sayıların m ve n de tam sayı olsun.  Neydi burada, 2'den büyük işte olsun yani kökün   derecesi şimdi bir bölü kökün içinde X üzeri m  ve kökün derecesi de n burada.
Şimdi biz buradaki   paydanın köklü olmasını istemeyiz buradaki  paydanın yani rasyonel olmasını istemiyoruz   aslında.
Rasyonel yapmak için buradaki paydayı  genişletmemiz lazım bizim.
Nasıl genişleteceğiz,   buradaki kökün derecesi ile içerideki üssün  derecesi aynı hale gelsin ki bunlar götürsünler   birbirlerini ve burada içerdeki ifade kalsın.  Onun olması içinde ne olacak biz bu paydayı X   üzeri bu sefer N eksi M ile genişletmeliyiz  yani aradaki fark kadar bizim buradaki üssü   yazmamız lazım.
Şimdi burada birazcık zor  gözüküyor olabilir ama örneklerinde kolay   olduğunu göreceğiz.
Şimdi 1 bölü kök 3 var,  şimdi bunun derecesi 2 buradaki derece de 1   yani üs de burada 1.
E ne yapacağız o zaman  biz bunu?
Direkt olarak kök 3 ile çarparsak   istediğimize ulaşıyoruz.
Çünkü bakınız burada biz  kök 3 ile biz burayı genişlettiğimizde otomatikman   tabi payı da genişletmiş oluyoruz kök 3 ile.  E burada da çarptığımızda kök 9'u elde etmiş   oluyoruz.
E kök 9'da dışarıya bakınız artık aynı  oldu burası 3'ün karesidir sonuçta.
O zaman demek   ki bu nasıl olacak üst tarafta kök 3 devam ediyor,  alt tarafta 3olarak çıkmış olacak.
İstediğimiz bu   aslında.
Peki 1 bölü küp kök 2, o zaman demek ki  bunu da şöyle yapmalıyız: Küp kök 2 üzeri 2 ile   genişletmeliyiz.
E o zaman şöyle bir şey olur,  payda küp kök 2 üzeri 2 olarak devam ediyor.   Yani 4 de yazılabilir oraya.
Alt tarafları bu  sefer ne olacak bakınız küp kök 2 üzeri 3 elde   etmiş oluyoruz iki üzeri iki ile iki üzeri biri  çarptığımızda.
E o zaman demek ki pay kısmı artık   olduğu için bunlar giderler.
Yani iki olarak   çıkacaktır, istediğimiz işte budur.
Peki farklı  bir durum olarak x ile y burada pozitif reel   sayılar olmak üzere kök x artı kök y çarpı kök  x eksi kök y.
Şimdi bunun sonucu ne gelecektir?
   Arkadaşlar, bu iki kare farkının açılımıdır.  E iki kare farkının açılımı olduğu için biz   bunu şöyle yazabiliriz: Kök x'in karesi eksi  kök y' nin karesi olarak toparlayabiliriz biz   bunu.
E bunlar da dışarı nasıl çıkacak?
Kök  x'in karesi x olarak, kök y'nin karesi de y   olarak çıkacak.
Yani aslında x artı y olarak  elde etmiş oluyoruz.
Yani ne yapmış olduk?
   Eğer kök x artı kök y varsa biz bunu kök x eksi  kök y ile genişletirsek tabii bu genelde payda   durumunda gelecek karşımıza.
Genişletirsek yine  rasyonel sayı yapmış oluruz.
Çünkü x eksi y, bir   rasyonel sayı elde edilir burada.
İşte derdimiz  budur bizim.
Şimdi örneklerine bakalım.
Kök   ne yapacağız?
İki kare farkı var.
O zaman demek ki   biz bunu kök 7'nin karesi eksi kök 2'nin karesi  olarak yazabiliyoruz.
O zaman demek ki kök 7,   artı kök 3, 2 kök 5 eksi kök 3.
O zaman demek ki  yine aynı şekilde, bu sefer iki kök beşin burada   karesi gelecek eksi kök 3'ün karesi gelecek  buradan.
O zaman demek ki çıkarttığımızda 2   kök 5'in karesi nasıl alınır?
2'nin karesinden  kök 3'ün karesinden de 3 gelecek ve 4 kere 5  inceleyelim.
4 bölü kök 5 eksi kök 3 artı 2 bölü   kök 5 artı kök 3.
Bu işlemin sonucu soruluyor.  Şimdi bu haliyle işlem yapamayız değil mi?
O   zaman demek ki bizim bunu yapmamız lazım, kök 5  eksi kök 3 varsa biz bunu kök 5 artı kök 3 ile   genişletmemiz lazım.
Kök 5 artı kök 3 ile.
Burayı  da bu sefer kök 5 eksi kök 3 ile genişletmemiz   lazım bizim.
Şimdi o zaman buraya genişlettim.  Üst taraf 4 çarpı kök 5 artı kök üç 3 olmuş oldu.   Alt taraf da bakınız iki kare farkı.
Yani kök  tarafta da aynı.
2 çarpı bu sefer kök 5 eksi   kök 3.
Daha sonra burası da yine kök 5'in karesi  eksi kök 3' ün karesinden yine 2 gelecektir.
Şimdi   sadeleşmeler var 4 ile 2'yi sadeleştirdim.
Burada  elde ediyoruz.
2 kök 5 artı 2 kök 3.
Daha sonra   artı kök 5 eksi kök 3'ü elde etmiş oluyoruz  o zaman buradaki işlemin sonucundan da üç   tane kök 5 gelir ve en son iki kök 3'ten de kök 3 çıkarttığımızda bir tane kök 3 kalır.
Bu,   bu haliyle kalır, buradan sonra devam  etmez.
Peki, son örneğimiz.
Şimdi kökün   içinde 5 kök 3 çarpı kökün içinde 5 eksi  kök 3 işleminin sonucu kaçtır?
Bakınız,   en dışarıdaki köklerin dereceleri iki yani aynı.  O zaman demek ki ben bunları tek bir kök içinde   çarpabilirim.
Yani şöyle 5 artı kök 3 daha sonra  çarpı 5 eksi kök 3 olarak yazacağım ki ben orayı   daha devam edebilsin orası.
O zaman geldi şimdi 5  eksi kök 3 yazdım.
Şimdi bakınız burası ne olmuş   oluyor?
5 artı kök 3 çarpı 5 eksi kök 3.
O zaman  demek ki bu iki kare farkı.
5'in karesinden 25   kök 3'ün karesinden 3.
E o zaman burada 25 eksi