Merhaba Sevgili Gençler ve bu videomuzda limit kavramına başlıyoruz.
Limit nedir arkadaşlar?
Öncelikle klasik yapılan şu tanımı biz söyleyelim.
Alt küme Reeve ve Ev Ağa'dan reyi tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ICS değişkenin verilen değerleri A elemanıdır.
A sayısına yaklaştırdığını da fiks fonksiyonu.
Bir K eleman reel sayı sayısına yaklaşıyor.
İsa Kaya ilk sayıya yaklaşırken fiks fonksiyonunun limiti denir ve limit IX a'ya yaklaşırken ev fiks eşittir k şeklinde gösterilir.
Tamam bunu okuduk buradan ne anladık arkadaşlar?
Öncelikle şöyle söyleyeyim limiti yaklaşmak olarak düşünebilirsiniz.
Örneğin karşınızda size on metre uzunluğunda bir duvar var ve sizden her ham denizde kalan mesafenin duvara kalan mesafe denizin yarısı kadar adım atmanız isteniyor.
Böyle bir fonksiyon tanımlandığını düşünün.
O zaman ilk adımımız 10 metre vardı, ilk adımımız 5 metre olmalıdır.
Kaldı 5 metre, ikinci adımımız 2 buçuk metre olmalıdır.
Kaldı 2 buçuk metre.
Bu şekilde ilerlediğini de kaç adımda duvara, yaslı duvara değer iseniz arkadaşlar videoyu durdurup siz de bi bunu düşünün.
Evet duvara diyemezsiniz.
Sonsuz kez adım atsanız bile bu bölüm böyle bir şey mümkün değil ama artık ölçülemeyecek kadar küçük adımlar atarsınız.
Sonsuz tane aldım ama o duvara diyemezsiniz arkadaşlar.
Çünkü fonksiyonu mız neydi?
Her seferinde kalan mesafenin yarısı kadar adım atacaksınız.
Sonuçta siz yarısını attınız, diğer yarısı kalacak.
Onun yarısını attınız, onun yarısı kalacak.
Hiçbir zaman o mesafe kapanmayacak.
Arkadaşlar dediğim gibi bu mümkün değil ama ölçülemeyecek kadar artı.
Küçük ilerledi ama hiçbir zaman o duvarı ödeyemeyiz.
Ne oldu adımlarımız sonsuz tane.
Sonsuz adım attığınızda ne oldu sonucunuzu duvara yaklaştığınız duvara demediniz.
Yaklaşmak bu demektir arkadaşlar.
Bir şeyi sürekli arttırıp azaltırken, genel sayımız sonuçları mız bir sayıya yaklaşıyor ise bu onun limiti dir.
Örneğin yaşları farkı bir olan iki arkadaş düşünün.
Birinin yaşı 5, 1 inin yaşı 4 olsun ve bunların yaşları oranı bugün 5 bölü 4'tür.
Seneye 6 bölü 5 olur.
Diğer sene 7 böyle 6 8 böyle yedi dokuz böyle sekizi de yazalım.
Bu şekilde ilerliyorlar.
Yıllar geçtikçe yaşları büyüyor.
Demek ki yaşları oranı da değişiyor.
Sadece sabit kalan yaşları farkı.
Şimdi ben yaşları oranını yazdım.
Bu oran giderek büyüdü mü, küçüldü mü arkadaşlar bir ona bakalım.
Bileşik keseler de pay ve payda arasındaki farklar aynı ise, tesirleri büyüdükçe, sayıları büyüdükçe kesir küçülür arkadaşlar.
Beş bölü 4 mü büyüktür?
6 böyle 5 mi büyüktür?
Bakın payda işleyip deneyebilirsiniz bu ikisini 6 bölü 5 daha küçük dür.
Arkadaşlar bu durumda 6 bölü 5 ile 7 6'dan büyüktür.
Böyle devam eder, böyle devam eder.
Bakın sürekli küçülüyor.
Yıllar geçtikçe o iki kardeşin, o iki arkadaşın yaşları oranı küçülüyor.
Bir şey sürekli küçülüyor dediğinizde sürekli küçüldü.
Sıfır mı olacak bu yaşları oranı olmaz değil mi?
Eksiye mi gidecek?
Hayır.
Ne olur bir şeye yaklaşması lazım.
Ama bunların yaşlarının hiçbir zaman aynı olmayacağını biliyoruz.
Biz de mi sürekli küçülüyor lar bunu biliyoruz ve hiçbir zaman ikisinin aynı yaşta olmayacağını biliyoruz.
O zaman bu küçüğü ile küçüğü ile küçüğü ile bire yaklaşır arkadaşlar.
Ama hiç bir olmaz.
Bunların hepsi birden büyüktür.
Bu şekilde kaç yıl geçerse geçsin aradan aralarındaki oran arkadaşlar hiç bir zaman biri olmaz ama giderek küçülür.
Erüz küçüğü ile küçülerek 3 ile bire yaklaşır.
Arkadaşlar buranın bu fonksiyonun limiti de 1 olmuş olur gibi.
Evet limiti bu şekilde anlatmaya çalıştım.
Şimdi şöyle bir fonksiyon verdim.
Ef reel sayılardan reel sayılara fiks eşittir.
2 lik saati bir şimdi IX değerlerini bir sayıya yaklaş.
Duralım demişim ki ilk değerlerini büyüterek dörde yaklaş, ayıralım ve ifixit sonuçlarına bakalım.
Şimdi ilk seferini bir buçuk koyalım.
Fonksiyon omuz 2x artı bir bir buçuk yazarsanız üç artı birden son omuz 4 olur iki yazarsanız sonucu muz beş olur iki buçuk yazdığımızda altı fonksiyonunda yerine yazıyorum bu değerleri.
Üç yazdığımızda iki çarpı üç artı birden yedi üç buçuk yazdığınız sekiz dört yazdığınız dokuz bakın değerler.
Ix Değerlerini büyüttünüz, büyüttünüz, dörde kadar dörde yaklaştı, kırdınız ye.
Değerleriniz yani sonuçlarınızı 9.
Oldu.
En son x1.
Ürgen sonuçların 9 oluyormuş.
Şimdi bir de ICS değerlerini küçült ilim fonksiyonun 2x artı bir yine İksiri küçülterek dörde yaklaştıran bu.
Ben 7 6 buçuk 6 5 buçuk olarak böyle yazdım.
5 4 buçuk olarak siz bunu isterseniz ondan aşağıya indirin.
Buçuk buçuk indirdim.
İsterseniz 0 bir sıfır bir indirin.
Bu size bağlı.
Herhangi birkaç değeri dörde yaklaştırarak yazıyorum sadece.
Şimdi 7 vererek başlamışım 7 verdim diye iki çarpı yedi artı birden burası on beş yapar, 6 buçuk da 14 yapar, altı da on üç beş buçukta on ikiyi, beş de on bir, dört buçuk da on dört verdiğinizde.
Bakın yine dokuz.
Ne oldu soldan buna sağdan soldan yaklaşma diyoruz arkadaşlar, onu da söylemiş olalım.
İlk seri dörde soldan yaklaştırıyor duruyoruz ve bunu.
Ix Giderken dörde soldan, ilk dörde soldan yaklaşmak demektir bu ifade.
Bakın burada da ne olduğu.
Ix Değerlerini küçültmek 3 YTL'ye yaklaştırdı.
Burada da.
Ix Dörde sağdan yaklaşıyor anlamı vardır ve dört üzeri artı ile gösteri 450 artı dediğimizde sağdan 4 üzeri eksi dediğimizde soldan yaklaştığımızı anlıyoruz.
Bakın buradan oldu.
Eğik sağdan yaklaştığında da soldan yaklaştığında da fikrimiz en son eksi 4 yaptığımıza son hocamız 9 oldu.
Yani sağ ve sol limitleri eşit miş arkadaşlar onu da burada söyleyelim o zaman.
Limits IX Dörde sağdan fiks ile Limits IX Dörde soldan fiks birbirinin aynısı oldu.
Biz bunu direk şöyle yazabiliriz.
Limit IX dörde yaklaşırken fiks eşittir.
Size kaç oldu?
Burada 9 oldu, ikisi de dörde eşit oldu.
Yani bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için arkadaşlar limit IX A'ya sağdan x eşit ve limit IX A'ya soldan efi x birbirine eşit ise limit vardır.
Limit vardır ve bunların limiti şu ikisi neye eşitse.
Örneğin Lee'ye eşit olsun limit vardır ve limit IX aya giderken fiks eşittir L olmalı der.
Arkadaşlar sağ ve sol limit birbirine eşit değilse fonksiyonun o noktada limiti yoktur.
Bunu sık sık tekrar edeceğim zaten.
Limit nedir arkadaşlar?
Öncelikle klasik yapılan şu tanımı biz söyleyelim.
Alt küme Reeve ve Ev Ağa'dan reyi tanımlı bir fonksiyon olmak üzere ICS değişkenin verilen değerleri A elemanıdır.
A sayısına yaklaştırdığını da fiks fonksiyonu.
Bir K eleman reel sayı sayısına yaklaşıyor.
İsa Kaya ilk sayıya yaklaşırken fiks fonksiyonunun limiti denir ve limit IX a'ya yaklaşırken ev fiks eşittir k şeklinde gösterilir.
Tamam bunu okuduk buradan ne anladık arkadaşlar?
Öncelikle şöyle söyleyeyim limiti yaklaşmak olarak düşünebilirsiniz.
Örneğin karşınızda size on metre uzunluğunda bir duvar var ve sizden her ham denizde kalan mesafenin duvara kalan mesafe denizin yarısı kadar adım atmanız isteniyor.
Böyle bir fonksiyon tanımlandığını düşünün.
O zaman ilk adımımız 10 metre vardı, ilk adımımız 5 metre olmalıdır.
Kaldı 5 metre, ikinci adımımız 2 buçuk metre olmalıdır.
Kaldı 2 buçuk metre.
Bu şekilde ilerlediğini de kaç adımda duvara, yaslı duvara değer iseniz arkadaşlar videoyu durdurup siz de bi bunu düşünün.
Evet duvara diyemezsiniz.
Sonsuz kez adım atsanız bile bu bölüm böyle bir şey mümkün değil ama artık ölçülemeyecek kadar küçük adımlar atarsınız.
Sonsuz tane aldım ama o duvara diyemezsiniz arkadaşlar.
Çünkü fonksiyonu mız neydi?
Her seferinde kalan mesafenin yarısı kadar adım atacaksınız.
Sonuçta siz yarısını attınız, diğer yarısı kalacak.
Onun yarısını attınız, onun yarısı kalacak.
Hiçbir zaman o mesafe kapanmayacak.
Arkadaşlar dediğim gibi bu mümkün değil ama ölçülemeyecek kadar artı.
Küçük ilerledi ama hiçbir zaman o duvarı ödeyemeyiz.
Ne oldu adımlarımız sonsuz tane.
Sonsuz adım attığınızda ne oldu sonucunuzu duvara yaklaştığınız duvara demediniz.
Yaklaşmak bu demektir arkadaşlar.
Bir şeyi sürekli arttırıp azaltırken, genel sayımız sonuçları mız bir sayıya yaklaşıyor ise bu onun limiti dir.
Örneğin yaşları farkı bir olan iki arkadaş düşünün.
Birinin yaşı 5, 1 inin yaşı 4 olsun ve bunların yaşları oranı bugün 5 bölü 4'tür.
Seneye 6 bölü 5 olur.
Diğer sene 7 böyle 6 8 böyle yedi dokuz böyle sekizi de yazalım.
Bu şekilde ilerliyorlar.
Yıllar geçtikçe yaşları büyüyor.
Demek ki yaşları oranı da değişiyor.
Sadece sabit kalan yaşları farkı.
Şimdi ben yaşları oranını yazdım.
Bu oran giderek büyüdü mü, küçüldü mü arkadaşlar bir ona bakalım.
Bileşik keseler de pay ve payda arasındaki farklar aynı ise, tesirleri büyüdükçe, sayıları büyüdükçe kesir küçülür arkadaşlar.
Beş bölü 4 mü büyüktür?
6 böyle 5 mi büyüktür?
Bakın payda işleyip deneyebilirsiniz bu ikisini 6 bölü 5 daha küçük dür.
Arkadaşlar bu durumda 6 bölü 5 ile 7 6'dan büyüktür.
Böyle devam eder, böyle devam eder.
Bakın sürekli küçülüyor.
Yıllar geçtikçe o iki kardeşin, o iki arkadaşın yaşları oranı küçülüyor.
Bir şey sürekli küçülüyor dediğinizde sürekli küçüldü.
Sıfır mı olacak bu yaşları oranı olmaz değil mi?
Eksiye mi gidecek?
Hayır.
Ne olur bir şeye yaklaşması lazım.
Ama bunların yaşlarının hiçbir zaman aynı olmayacağını biliyoruz.
Biz de mi sürekli küçülüyor lar bunu biliyoruz ve hiçbir zaman ikisinin aynı yaşta olmayacağını biliyoruz.
O zaman bu küçüğü ile küçüğü ile küçüğü ile bire yaklaşır arkadaşlar.
Ama hiç bir olmaz.
Bunların hepsi birden büyüktür.
Bu şekilde kaç yıl geçerse geçsin aradan aralarındaki oran arkadaşlar hiç bir zaman biri olmaz ama giderek küçülür.
Erüz küçüğü ile küçülerek 3 ile bire yaklaşır.
Arkadaşlar buranın bu fonksiyonun limiti de 1 olmuş olur gibi.
Evet limiti bu şekilde anlatmaya çalıştım.
Şimdi şöyle bir fonksiyon verdim.
Ef reel sayılardan reel sayılara fiks eşittir.
2 lik saati bir şimdi IX değerlerini bir sayıya yaklaş.
Duralım demişim ki ilk değerlerini büyüterek dörde yaklaş, ayıralım ve ifixit sonuçlarına bakalım.
Şimdi ilk seferini bir buçuk koyalım.
Fonksiyon omuz 2x artı bir bir buçuk yazarsanız üç artı birden son omuz 4 olur iki yazarsanız sonucu muz beş olur iki buçuk yazdığımızda altı fonksiyonunda yerine yazıyorum bu değerleri.
Üç yazdığımızda iki çarpı üç artı birden yedi üç buçuk yazdığınız sekiz dört yazdığınız dokuz bakın değerler.
Ix Değerlerini büyüttünüz, büyüttünüz, dörde kadar dörde yaklaştı, kırdınız ye.
Değerleriniz yani sonuçlarınızı 9.
Oldu.
En son x1.
Ürgen sonuçların 9 oluyormuş.
Şimdi bir de ICS değerlerini küçült ilim fonksiyonun 2x artı bir yine İksiri küçülterek dörde yaklaştıran bu.
Ben 7 6 buçuk 6 5 buçuk olarak böyle yazdım.
5 4 buçuk olarak siz bunu isterseniz ondan aşağıya indirin.
Buçuk buçuk indirdim.
İsterseniz 0 bir sıfır bir indirin.
Bu size bağlı.
Herhangi birkaç değeri dörde yaklaştırarak yazıyorum sadece.
Şimdi 7 vererek başlamışım 7 verdim diye iki çarpı yedi artı birden burası on beş yapar, 6 buçuk da 14 yapar, altı da on üç beş buçukta on ikiyi, beş de on bir, dört buçuk da on dört verdiğinizde.
Bakın yine dokuz.
Ne oldu soldan buna sağdan soldan yaklaşma diyoruz arkadaşlar, onu da söylemiş olalım.
İlk seri dörde soldan yaklaştırıyor duruyoruz ve bunu.
Ix Giderken dörde soldan, ilk dörde soldan yaklaşmak demektir bu ifade.
Bakın burada da ne olduğu.
Ix Değerlerini küçültmek 3 YTL'ye yaklaştırdı.
Burada da.
Ix Dörde sağdan yaklaşıyor anlamı vardır ve dört üzeri artı ile gösteri 450 artı dediğimizde sağdan 4 üzeri eksi dediğimizde soldan yaklaştığımızı anlıyoruz.
Bakın buradan oldu.
Eğik sağdan yaklaştığında da soldan yaklaştığında da fikrimiz en son eksi 4 yaptığımıza son hocamız 9 oldu.
Yani sağ ve sol limitleri eşit miş arkadaşlar onu da burada söyleyelim o zaman.
Limits IX Dörde sağdan fiks ile Limits IX Dörde soldan fiks birbirinin aynısı oldu.
Biz bunu direk şöyle yazabiliriz.
Limit IX dörde yaklaşırken fiks eşittir.
Size kaç oldu?
Burada 9 oldu, ikisi de dörde eşit oldu.
Yani bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için arkadaşlar limit IX A'ya sağdan x eşit ve limit IX A'ya soldan efi x birbirine eşit ise limit vardır.
Limit vardır ve bunların limiti şu ikisi neye eşitse.
Örneğin Lee'ye eşit olsun limit vardır ve limit IX aya giderken fiks eşittir L olmalı der.
Arkadaşlar sağ ve sol limit birbirine eşit değilse fonksiyonun o noktada limiti yoktur.
Bunu sık sık tekrar edeceğim zaten.
Sıkça Sorulan Sorular
Matematikte limit nedir?
Limit ve süreklilik konu anlatımı yazılarımıza matematiksel limit tanımı ile başlayalım. Bir f(x) fonksiyonunda x değişkenine bir a değerine sınırsız yaklaşan değerler verildiğinde fonksiyondaki f(x) değerleri de bir L değerine sınırsız yaklaşıyorsa; bu L değerine f(x) fonksiyonunun a değeri için limiti denir.
Matematikte limit nasıl gösterilir?
Limit şu şekilde gösterilir:
Not: Yukarıdaki gösterim f(x) fonksiyonunun a değeri için limitini gösterir.
Limit neden önemlidir?
Matematikte limit önemlidir çünkü fonksiyonun bir noktadaki davranışını limit ile analiz edebiliriz. Limit, bize integral, türev ve fonksiyonun sürekliliği hakkında da bilgi verir.
Limit kavramı ile ilgili doğru bilinen yanlışlar nelerdir?
Bir fonksiyonun limit değeri o fonksiyonun asla ulaşamadığı bir değerdir.
YANLIŞ. Bir fonksiyon belirli bir a reel sayısında bir görüntüye sahip olabilir. Bu da fonksiyon x’den a’ya giderken o noktaya ulaşabildiğini söyler.
Limit, bir x değeri belli bir noktaya yaklaşırken, bir fonksiyonun değerinin nasıl değiştiğini açıklar.
YANLIŞ. Çünkü, limit kavramı fonksiyonun o noktada ne yaptığını değil o noktanın civarında ne yaptığını inceler. Bir fonksiyonun belirli bir a reel sayısında bir görüntüye sahip olması ya da olmaması fonksiyonun o noktadaki limitini etkilemez.
