Merhabalar arkadaşlar şimdi tanım, aksiyon, teorem ve ispat kavramlarını göreceğiz.
Şimdi ilk olarak bir kavram ya da terimi tanımlı tanımsız terimler kullanmak suretiyle özelliklerini belirterek açıklamaya biz tanım adını veririz arkadaşlar.
Tanım olmanın şartları vardır yani her yazılana biz tanım diyemeyiz mesela tanım olma şartlarında şöyle durumlar vardır: Tanımsız terimler veya tanımlı terimlerle yapılmalıdır.
Ekstra olarak tutarlı, açık ve anlaşılır olmalı ve en önemli özelliği de arkadaşlar tanım belirtmesi gereken özelliği kapsamalı, başka özellikleri kapsamayacak şekilde yapılmalıdır Yani bir şeyi ifade edecek onunla alakalı tüm durumları ifade ederken başka durumlara da karışmayacak başka kavramlarla da karıştırmayacak kendisi mesela burada bir tane tanım örneğini verdik.
1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı denir.
Asal sayıyla alakalı tüm tanım buradadır.
1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan yani mesela burada her şeyi açıklamaya çalışıyor.
Pozitif olması, tam sayı olması, böleni olmaması başka, sadece 1 olması, sadece kendisi olması.
Bakınız burada tüm durumları açıklamış bir şekilde, sade bir şekilde, açıklı bir şekilde, tutarlı bir şekilde vermiştir.
Şimdi ikincisi de ispata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul eden önermelere de biz aksiyom deriz.
Aksiyom.
Aksiyomların da belirtme şartı vardır.
Mesela bunlardan biri aksiyomlar birbirleriyle çelişmemeli, birbirinden bağımsız olmalılar yani yine diğerleriyle alakası olmaması lazım ve mümkün olduğu kadar az sayıda olması lazım çünkü zaten bunlar ispata gerek duyulmaksızın kabul edildiği için bunların sayısının çok fazla olması bizim için güzel olmaz.
Mesela burada verdiğimiz bir tane de örnek var.
İki noktadan bir doğru geçmesi.
Biz bunu ispata gerek duymadan kabul ettiğimiz bir durumdur.
Şimdi üçüncüsü.
Doğruluğu ispatsız kabul görmeyen önermelere ise biz teorem diyoruz.
Zaten en çok ilgilendiğimiz kısımda budur matematikte biz bunları ispatlamaya çalışırız.
İspatlamaya çalıştığımız işte oradaki önermeler teorem adını alırlar.
Mesela burada bir tane teorem var.
n, 2'den büyük bir tam sayı ve x, y, z sayıları pozitif tam sayılar ise x üzeri n artı y üzeri n eşittir z üzeri n en olacak şekilde x, y, z sayıları bulunamaz diyor.
Arkadaşlar bu teorem Fermat'ın son teoremidir.
Bu teoremi mesela en 2'den büyük bir tam sayı için sağlamaz diyor ama n eşittir 2 için sağlar mesela ne olur?
x kare artı y kare eşittir z kare olur ki bu da zaten bizim bildiğimiz Pisagor teoremini de verir.
Arkadaşlar bu teoremi ilk ortaya attığında Fermat, kitabın yanına yani bu teoremi not aldığı kitabın yanına şöyle demiştir: "Ben bunun çok güzel bir ispatını buldum fakat buradaki kitaba ben bunu sığdıramam" demiştir ve daha sonra ispatını yapmıştır.
Tabi o zamana kadar da çok sayıda matematikçi bunun üstünde durmuştur.
Hatta ilk ispatını yaptığında o İngiliz matematikçi ilk başta hatası bulunmuştur.
Daha sonra bu hatayı da düzelterek ispatını vermiştir ve ispatın da 129 sayfa sürdüğü söylenir.
Bu şekilde önemli bir teoremdir diyebiliriz.
Mesela burada devamına bakalım.
p ve q iki önerme olmak üzere p önermesi doğru iken p ise q koşullu önermesi doğru ise biz işte bu p ise q önermesine bir teoremdir deriz.
Burada arkadaşlar ise den önceki kısım, şuradaki ise den önceki kısım olan p teoremin hipotezini gösterirken ise den sonraki kısım ise bize hükmünü gösterir.
Bununla alakalı da sorular zaten bizim de karşılaşmaktadır Şimdi bununla alakalı bir örneği inceleyelim "Aşağıdaki önermelerin hipotezini ve hükmünü yazınız." demiş.
Şimdi ilk önce a'ya baktığımızda ABCD dörtgeni bir kare ise her bir iç açısının ölçüsü 90° dir.
Arkadaşlar şimdi bunun ispatlanması gerekir.
O yüzden ispatlanması gerektiği için biz bunu bir teorem deriz.
Bunun hipotezini yazacak olursak, ise yi burada görüyoruz.
O zaman demek ki ise den önceki şuradaki kısım yani ABCD dörtgeninin bir kare olması bize hipotezi söyler, hipotez olduğunu söyler ve ise den sonraki kısım yani neresi?
Her bir iç açının ölçüsü 90° dir.
İşte bu kısım da bize hükmü söyler yani burası da hüküm olacak büyük harfle yazmış olalım.
Evet, şimdi b'ye bakalım.
7x eksi 14 eşittir 35 ise x eksi 6 eşittir 1 olur.
Bunu çözdüğümüzde doğru geldiğinde zaten söyleyebiliriz.
O zaman ise yi bulduk ise den önceki kısım yani şurası bizim hipotezimiz olacak.
Hipotez ve buradan sonraki x eksi 6'nın da 1 olması durumu da bizim için hüküm olmuş olacak.
Bu şekilde söylemiş oluruz.
Şimdi ilk olarak bir kavram ya da terimi tanımlı tanımsız terimler kullanmak suretiyle özelliklerini belirterek açıklamaya biz tanım adını veririz arkadaşlar.
Tanım olmanın şartları vardır yani her yazılana biz tanım diyemeyiz mesela tanım olma şartlarında şöyle durumlar vardır: Tanımsız terimler veya tanımlı terimlerle yapılmalıdır.
Ekstra olarak tutarlı, açık ve anlaşılır olmalı ve en önemli özelliği de arkadaşlar tanım belirtmesi gereken özelliği kapsamalı, başka özellikleri kapsamayacak şekilde yapılmalıdır Yani bir şeyi ifade edecek onunla alakalı tüm durumları ifade ederken başka durumlara da karışmayacak başka kavramlarla da karıştırmayacak kendisi mesela burada bir tane tanım örneğini verdik.
1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı denir.
Asal sayıyla alakalı tüm tanım buradadır.
1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan yani mesela burada her şeyi açıklamaya çalışıyor.
Pozitif olması, tam sayı olması, böleni olmaması başka, sadece 1 olması, sadece kendisi olması.
Bakınız burada tüm durumları açıklamış bir şekilde, sade bir şekilde, açıklı bir şekilde, tutarlı bir şekilde vermiştir.
Şimdi ikincisi de ispata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul eden önermelere de biz aksiyom deriz.
Aksiyom.
Aksiyomların da belirtme şartı vardır.
Mesela bunlardan biri aksiyomlar birbirleriyle çelişmemeli, birbirinden bağımsız olmalılar yani yine diğerleriyle alakası olmaması lazım ve mümkün olduğu kadar az sayıda olması lazım çünkü zaten bunlar ispata gerek duyulmaksızın kabul edildiği için bunların sayısının çok fazla olması bizim için güzel olmaz.
Mesela burada verdiğimiz bir tane de örnek var.
İki noktadan bir doğru geçmesi.
Biz bunu ispata gerek duymadan kabul ettiğimiz bir durumdur.
Şimdi üçüncüsü.
Doğruluğu ispatsız kabul görmeyen önermelere ise biz teorem diyoruz.
Zaten en çok ilgilendiğimiz kısımda budur matematikte biz bunları ispatlamaya çalışırız.
İspatlamaya çalıştığımız işte oradaki önermeler teorem adını alırlar.
Mesela burada bir tane teorem var.
n, 2'den büyük bir tam sayı ve x, y, z sayıları pozitif tam sayılar ise x üzeri n artı y üzeri n eşittir z üzeri n en olacak şekilde x, y, z sayıları bulunamaz diyor.
Arkadaşlar bu teorem Fermat'ın son teoremidir.
Bu teoremi mesela en 2'den büyük bir tam sayı için sağlamaz diyor ama n eşittir 2 için sağlar mesela ne olur?
x kare artı y kare eşittir z kare olur ki bu da zaten bizim bildiğimiz Pisagor teoremini de verir.
Arkadaşlar bu teoremi ilk ortaya attığında Fermat, kitabın yanına yani bu teoremi not aldığı kitabın yanına şöyle demiştir: "Ben bunun çok güzel bir ispatını buldum fakat buradaki kitaba ben bunu sığdıramam" demiştir ve daha sonra ispatını yapmıştır.
Tabi o zamana kadar da çok sayıda matematikçi bunun üstünde durmuştur.
Hatta ilk ispatını yaptığında o İngiliz matematikçi ilk başta hatası bulunmuştur.
Daha sonra bu hatayı da düzelterek ispatını vermiştir ve ispatın da 129 sayfa sürdüğü söylenir.
Bu şekilde önemli bir teoremdir diyebiliriz.
Mesela burada devamına bakalım.
p ve q iki önerme olmak üzere p önermesi doğru iken p ise q koşullu önermesi doğru ise biz işte bu p ise q önermesine bir teoremdir deriz.
Burada arkadaşlar ise den önceki kısım, şuradaki ise den önceki kısım olan p teoremin hipotezini gösterirken ise den sonraki kısım ise bize hükmünü gösterir.
Bununla alakalı da sorular zaten bizim de karşılaşmaktadır Şimdi bununla alakalı bir örneği inceleyelim "Aşağıdaki önermelerin hipotezini ve hükmünü yazınız." demiş.
Şimdi ilk önce a'ya baktığımızda ABCD dörtgeni bir kare ise her bir iç açısının ölçüsü 90° dir.
Arkadaşlar şimdi bunun ispatlanması gerekir.
O yüzden ispatlanması gerektiği için biz bunu bir teorem deriz.
Bunun hipotezini yazacak olursak, ise yi burada görüyoruz.
O zaman demek ki ise den önceki şuradaki kısım yani ABCD dörtgeninin bir kare olması bize hipotezi söyler, hipotez olduğunu söyler ve ise den sonraki kısım yani neresi?
Her bir iç açının ölçüsü 90° dir.
İşte bu kısım da bize hükmü söyler yani burası da hüküm olacak büyük harfle yazmış olalım.
Evet, şimdi b'ye bakalım.
7x eksi 14 eşittir 35 ise x eksi 6 eşittir 1 olur.
Bunu çözdüğümüzde doğru geldiğinde zaten söyleyebiliriz.
O zaman ise yi bulduk ise den önceki kısım yani şurası bizim hipotezimiz olacak.
Hipotez ve buradan sonraki x eksi 6'nın da 1 olması durumu da bizim için hüküm olmuş olacak.
Bu şekilde söylemiş oluruz.
Sıkça Sorulan Sorular
Tanım nedir?
Bir teriminin özelliklerini tanımlı, tanımsız terimler kullanarak açıklayan ifadeye tanım denir.
İyi bir tanımda olması gereken özellikler;
- Anlamı bilinen sözcükler, tanımlı ya da tanımsız terimler kullanılarak yapılır.
- Anlaşılır, tutarlı ve kesin ifadeler kullanılmalıdır.
Örneğin;
“1 ve kendisinden başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı nedir.”
Aksiyom nedir?
Doğruluğu ispatlanamayan, ispata gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul edilen önermelere aksiyom denir.
Örneğin;
“İki noktadan bir doğru geçer.”
Aksiyom ispatlanabilir mi?
Aksiyom doğruluğu ispatlanamayan fakat doğru olduğu kabul edilen önermelere denir. Bu yüzden aksiyom ispatlanamaz.
Teorem nedir?
Doğruluğu ispatlanabilen önermelere teorem denir.
p ve q iki önerme olmak üzere;
p önermesi doğru iken p ⇒ q koşullu önermesi doğru ise p ⇒ q koşullu önermesi bir teoremdir.
p ⇒ q koşullu önermesi teorem ise;
p : Teoremin hipotezi
q : Teoremin hükmüdür.
Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere ne ad verilir?
Doğrulu ispatlanması gereken önermelere teorem denir.
