Önerme ve Doğruluk Değeri

Merhabalar arkadaşlar, şimdi mantık konusunu işleyeceğiz.
Arkadaşlar mantık hakkında şöyle söylenir: Eğer bir birey mantık kavramını tam olarak öğrenir ve sembolik mantığı da doğru kullanabilirse matematik öğrenmede de o kadar kolaylık sağlar düşüncesi vardır.
O yüzden mantık konusuna bu şekilde yaklaşırsak çok daha iyi olacaktır.
Şimdi önermeler kısmı ile başlayalım, doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere biz önerme adını vereceğiz.
Buraya da yazmış olalım: Önerme.
Önermeler genellikle p, q, r, s, t gibi harflerle de gösterilecek, genelde p, q, r, s harfleri ile karşılaşacağız onu da söylemiş olalım.
Şimdi, örneğimizde buradakilerin hangilerinin önerme olduklarına hangilerinin olmadıklarına karar vereceğiz.
Bakalım, şimdi birincisi: 1Ankara Türkiye'nin başkentidir." diyor.
Burada doğru ya da yanlışlığı ile ilgilenmiyoruz.
Kesin bir hüküm belirtiyor mu ona bakıyoruz.
"Ankara Türkiye'nin başkentidir." kesin bir hüküm olduğu için biz buna önerme deriz.
"Helal olsun." Bu normal bir cümle olduğu için buna biz önerme diyemeyiz.
"En küçük doğal sayı 1'dir." Burada en küçük doğal sayının 1 olmadığını biliyoruz.
Aslında yanlışlığıyla şu an ilgilenmiyoruz, kesin bir hüküm bildirdiği için buna da önerme diyeceğiz.
"Bir ay 32 gündür." Bunun yanlış olduğunu biliyoruz ama sonuçta bir hüküm bildiriyor, o yüzden bu da önerme olarak kabul edilir.
"Ödevini yaptın mı?
" Herhangi bir hüküm yok.
"Günaydın." Herhangi bir hüküm yok.
"Bir yıl 52 haftadır." Bu, gördüğünüz üzere bir önerme belirtecek ve "Salata bir sebzedir." Bu da bir hüküm belirttiği için buna da biz önerme adını vereceğiz.
Peki tamam, önermenin ne olduğunu anladık.
Şimdi, bunların doğruluk değerleriyle ilgilenelim.
Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına o önermenin doğruluk değeri denir.
Buraya da yazmış olalım: doğruluk değeri.
Önerme doğru ise iki farklı şekilde gösterilecek: Bu bir tanesi büyük d harfi ile -ki bunda çok fazla karşılaşmayız- diğeri de 1 sayısıyla, 1 ile daha çok karşılaşacağız.
Bunu daha çok kullanacağız.
Önerme doğru ise biz D veya 1 ile gösteriyoruz.
Önerme yanlış ise Y harfi ile veya 0 sayısıyla göstereceğiz ki zaten dediğimiz gibi en çok bu ikisi ile karşılaşacağız.
Bir p önermesi doğru ise biz bunu şu şekilde göstereceğiz -tam anlamıyla- "p denktir 1" bu şekilde de okunmuş olacak.
3 tane çizgi olacak.
2 tane çizgi olduğunda eşitlik olurken 3 tane çizgi olduğunda denktir anlamına gelir.
p denktir 1, önermenin doğru olduğunu söyler bize.
yanlış bir önerme ise bu sefer ne yapacağız?
"p denktir 0" şeklinde göstereceğiz ve bunların okunuşlarını da tekrar tekrar edecek olursak bunu gördüğümüzde p önermesinin 1'e denk olduğunu, yani doğru olduğunu söyleyeceğiz.
Bunu gördüğümüzde ise p önermesinin 0'a denk olduğunu, yani yanlış olduğunu söylemiş olacağız.
Şimdi farklı bir örnekte bu durumları inceleyelim.
Burada, yukarıda verilen önermelerden hangilerinin doğru olduğunu soruyor.
Şimdi, p, q ve r önermeleri var burada, p önermesine bakalım: "5 bölü 7 sayısı bir rasyonel sayıdır." Şimdi, bu rasyonel sayı mıdır?
Evet, çünkü a bölü b şeklinde yazılmış.
Herhangi bir sıkıntı yok, o zaman biz buna ne diyeceğiz?
p denktir 1 diyeceğiz doğru olduğunu söylediğimiz için.
q'ya bakalım, yani ikinciye.
"Üç basamaklı en küçük doğal sayı 101'dir." diyor.
Şimdi, üç basamaklı en küçük doğal sayı 101 değil, ben bundan daha küçüğünü biliyorum, O da 100.
Daha küçüğünü yazabildiğim için bu önermenin ben yanlış olduğunu söylemiş oldum.
O zaman demek ki ne olacak?
Q olacak orası, "q denktir 0" olacak.
Peki, üçüncüye bakalım.
"İki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır." Şimdi, bunlarda zorlayabilirler o yüzden bunlara dikkat etmemiz lazım.
İki tane tam senin toplamı yine bir tamsayı mı?
Hemen bir iki örnekle bunu göstermeye çalışalım, mesela -5 ile ne yapalım?
9'u toplayalım.
Topladığımızda tam sayı, doğrudur.
Şöyle de büyük bir negatif tam sayı seçelim: -9'u seçelim, buraya da 5'i seçelim.
Bunu da topladığımızda yine -4 yapıyor, yani tam sayıdır.
O zaman demek ki r önermesinin de doğru olduğunu söyleriz.
yani r'nin de denginin 1 olduğunu söylemiş oluruz.
Burada bunların sonuçlarını bulmuş olduk.
Şimdi diğer bir örneğimiz: bize burada p, q, r, s önermelerini vermiş ve buna göre p, q, r ve s önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla nedir diye sormuş.
İnceleyelim o zaman, p önermesi "-5 küçüktür 5'tir." demiş.
Evet, doğrudur biri negatif sayı bir pozitif sayı, doğal küçük olmak zorundadır.
O yüzden biz buna ne deriz?
"p denktir 1." deriz.
q: "Tek sayı ve çift sayının toplamı çift sayıdır." demiş.
Şimdi genel bir ifade bu, biz bunu ne yapalım, tersine örnekle yanlış olduğunu gösterelim.
Yani tek sayı ile çift sayının toplamının çift olmadığını gösterelim.
Mesela, ne yapıyorum ben, 3 seçtim, tek sayı.
Bir de 4 seçtim.
Topladığımda 7 geldi, bu bir tek sayıdır ama adam bana çift sayı dedi.
O zaman demek ki bu yanlıştır, yani q'nun denginin burada biz 0 olduğunu söylemiş olacağız.
r'ye geldik, "2'nin karesi artı 2, 6'dır." diyor.
Evet, bu da doğrudur çünkü 2'nin karesi 4'tür.
Yanına 2 ekledik ne yaptı?
6 yaptı.
Zaten bize öyle söylemişti.
O zaman demek ki ne olacak?
r'nin de denginin gelelim, "Her gerçek sayının karesi pozitif bir sayıdır." demiş.
Şimdi bu, birazcık daha kafa karıştırıcı gibi.
Her gerçek sayı dediği için eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar seçtiğimiz tüm sayıların karelerinin pozitif gelmesi gerekir, bize söylediği şey gereği ama ben bunun tersine bir örnekte olmayacağını söylüyorum.
Hangisidir?
Sıfır sayısı.
0 sayısının karesini alalım, sonuç yine 0 geliyor.
Biz 0'ın burada işaretsiz bir sayı olduğunu biliyoruz, yani ne pozitiftir ne de negatiftir.
O yüzden, söylediği şeyin tersine bir örnek verdiğimiz için bu da yanlış bir önerme olacaktır, yani s önermesinin de denginin 0 olduğunu söylemiş oluruz.
Sıkça Sorulan Sorular

 

Önerme nedir?

 

Doğruluğu veya yanlışlığı kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler kişiden kişiye değişmeyen ve kanıtlanabilen ifadelerdir. Soru, istek ve emir cümleleri önerme olamaz.

 

Örneğin;

“2’nin karesi 4’tür” cümlesi bir önermedir, çünkü doğruluğu kanıtlayabiliyoruz.

“Bir ay 25 gündür” cümlesi bir önermedir, çünkü yanlışlığını kanıtlayabiliyoruz.

“İyi geceler” ifadesi bir önerme değildir, çünkü doğru veya yanlış bir ifade belirtmez.


Önermeler nasıl gösterilir?

 

Önermeler q, p, r, s gibi küçük harfler ile gösterilir.

Örneğin;

q : En küçük asal sayı 2’dir.

p : İki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır.


Önerme örnekleri nelerdir?

 

  • Ankara Türkiye’nin başkentidir.
  • 13 en küçük iki basamaklı asal sayıdır.
  • 0 en küçük sayma sayıdır.
  • Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayıdır.

Yukarıda belirtilen ifadelerin doğruluğunu veya yanlışlığı kanıtlanabildiği için bu ifadeler birer önermedir.


Doğruluk değeri nedir?

 

Verilen bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına o önermenin doğruluk değeri denir.

 

  • Önerme doğru ise “D” veya “1” ile ifade edilir.
  • Önerme yanlış ise “Y” veya “0” ile ifade edilir.

 

Verilen bir p önermesi doğru ise "p ≡ 1", yanlış ise "p ≡ 0" şeklinde gösterilir.


Önermelerin doğruluk değeri örnekleri nelerdir?

 

p : Bir hafta 8 gündür.

p ≡ 0, çünkü bir hafta 7 gündür.

q : Rakamları birbirinden farklı 3 basamaklı en küçük doğal sayı 102’dir.

q ≡ 1, çünkü rakamları farklı 3 basamaklı en küçük doğal sayı 102’dir.

r : Kunduz kelimesi 5 farklı harf içerir.

r ≡ 1, çünkü Kunduz kelimesi k, u, n, d, z harflerini içerir.