Ters Fonksiyon Nedir?
- Ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesinden asıl haline gönderen fonksiyona denir.
- f-1 şeklinde gösterilir.
- Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için fonksiyonumuz birebir ve örten olmalıdır.
- Tanım kümesinden bir “a” seçersek fonksiyonumuz bu “a” elemanını görüntü kümesinde “b” elemanına eşliyorsa, fonksiyonun tersinde “b” elemanını tanım kümemizdeki “a” elemanımıza eşlememiz gerekir.
Fonksiyonun Tersi Nasıl Alınır?
Bir fonksiyonun tersi alınırken öncelikle fonksiyonda y=f(x) olarak yazılıp x yalnız bırakılır. Daha sonra y gördüğümüz yere x ve x gördüğümüz yere de f-1(x) yazılır.
Bir Fonksiyonun Ters Fonksiyon Olduğunu Nasıl Anlarız?
Bir fonksiyonda ters fonksiyonun bulunması için o fonksiyonun birebir ve örten olması şartı vardır. Eğer fonksiyon bu şartları taşımıyorsa o fonksiyonun tersini bulmak mümkün değildir. Eğer elimizdeki fonksiyon birebir ve örten ise bu fonksiyon bir fonksiyonun tersi olabilir.
Fonksiyonun Tersini Almanın Kısayolları
Doğrusal Fonksiyonun Tersini Alma
Doğrusal fonksiyon dendiğinde aklımıza gelecek fonksyon: f(x)=ax+b şeklinde olan fonksiyonlardır.
f(x) = ax + b ise, f-1(x) = (x – b) / a olarak bulunur.
(ax+b)/(cx+d) Şeklindeki Fonksiyonun Tersini Alma
Bu biçimdeki bir fonksiyonun tersi alınırken (x’li terimler payın ve paydanın solunda olmasına dikkat edilerek ) Sol üstteki “a” ile sağ alttaki “d” yer değiştirilir ve yer değiştirme yapılırken “a ile d” nin işaretleri de değiştirilir.
Yani f(x) = (ax + b) / (cx + d) ise f-1(x) = (-dx + b) / (cx – a) olarak bulunur.
Ters Fonksiyonun Özellikleri
- Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyonu verir.
- Bir bileşke fonksiyonunun tersini aldığımızda bileşke fonksiyon içindeki fonksiyonların tersi alınır ve yer değiştirirler.
- Bir fonksiyonun tersinin tersi kendisidir.
- Bir fonksiyonun grafiğinin y=x doğrusuna göre yansıması bu fonksiyonun tersinin grafiğini verir.
Ters Fonksiyonun Tanımlı Olma Koşulları
Her fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı değildir. Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun tanımlı olması için mutlaka birebir ve örten olması gerekir. Çünkü fonksiyon birebir ve örten olduğunda ters fonksiyonun da iki fonksiyon olma koşulu sağlanır.
Ters Fonksiyonun Tanım ve Görüntü Kümesi
f-1 ters fonksiyonu tanımlı ise f fonksiyonunu (a , b) şeklindeki tüm eşlemelerini (b , a) şeklinde tersine çevirir. Bunun bir sonucu olarak bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri ters fonksiyonda yer değiştirir, yani f fonksiyonunun görüntü kümesi f-1 fonksiyonunun tanım kümesi, f fonksiyonunun tanım kümesi f-1 fonksiyonunun görüntü kümesi olur.
Ters Fonksiyonun Grafiği
Bir fonksiyondaki her (a , b) ikilisi için ters fonksiyonda bir (b , a) ikilisi bulunduğu için, bir fonksiyonun ve tersinin grafikleri her zaman y = x doğrusuna göre simetriktir.
Parçalı Fonksiyonların Tersi
Bir parçalı fonksiyonun ters fonksiyonu aşağıdaki adımlar takip edilerek bulunabilir:
- Parçalı fonksiyonun her aralığındaki tanımın ayrı ayrı ters fonksiyonu bulunur.
- Her aralık için bulunan ters fonksiyon o aralığın tanım kümesinde x yerine konur ve eşitsizlik x için çözülür. Elde edilen yeni x
- aralığı ters fonksiyonun o tanımının tanım aralığı olur.
Ters Fonksiyon İşlem Kuralları
- Bir fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlı ise tersinin tersi kendisine eşittir.
- Bir fonksiyonun tersi ile bileşkesi birim fonksiyona eşittir.
- İki ya da daha fazla fonksiyonun bileşkesinin ters fonksiyonu, fonksiyonların ters fonksiyonlarının ters sırada bileşkesine eşittir.