Logaritmaya Giriş
Logaritma fonksiyonu nedir?
a sayısı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
f : R → R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunun tersi olan
f : R+ → R, f(x) = loga x fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
Örneğin, log7x, log1/5x ifadeleri logaritma fonksiyonuna örnek olarak verilebilir.
Not: Logaritma tabanında bir sayı yazmıyorsa bu ifadenin onluk tabanda yazıldığını gösterir. Yani log10 yerine genellikle kısaca logx yazılır.
Logaritma Fonksiyonunun Tanımlı Olmasını Sağlayan Logaritma Kuralları
f(x) = logax fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için,
x > 0 a > 0 ve ≠ olmalıdır.
Logaritma Fonksiyonunun En Geniş Tanım Kümesi Nasıl Bulunur?
Logaritma sorularında fonksiyonun en geniş tanım kümesini bulmanı isteyen örnekleri nasıl çözeceğini birlikte inceleyelim.
Örnek: log4(x-7) fonksiyonunun en geniş tanım aralığını bulunuz.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olma şartından,
x – 7’nin 0’dan büyük olması gerektiğini yazarız.
Tabandaki sayı 4 olarak verilmiş. 4 sayısı a > 0 ve a ≠ 1 şartını sağlamıştır.
x – 7 > 0
x > 7
(7, ∞) aralığı bu fonksiyonun en geniş tanım aralığıdır.
Doğal Logaritma
Doğal logaritma nedir?
e tabanındaki logaritmik fonksiyonlara doğal logaritma fonksiyonu denir.
Doğal logaritma nasıl gösterilir?
Doğal logaritma, lnx veya logex olarak gösterilir.
Örneğin, ln 13 = loge13, ln(3x – 2) = loge(3x – 2) olur.
Doğal logaritma ne demektir?
ln ifadesi, “logarithm natural” yani “doğal logaritma”nın kısaltılmış halidir.
e sayısı ne anlama gelir?
e sayısı, irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,71’dir. e sayısının ismi, ünlü matematikçi Euler’in isminin baş harfinden gelmektedir ve e sayısı Euler sabiti olarak da bilinir.
Logaritma Özellikleri
- loga1 = 0
- logaa = 1
- logx(a * b) = logxa + logxb
- logx(a / b)= logxa – logxb
- logab = logcb / logca
- logab = logb / loga
- alogbc = clogba
- logex = In x
Logaritma Kuralları
Logaritma çıkmış sorularında bu özelliklerle çözülecek çeşitli örnekleri görebilirsin, bu soruları çözebilmeni sağlayacak önemli logaritma formüllerini senin için sıraladık:
- logaa = 1
- loga1 = 0
- logabx = x.logab
- logaxb = 1/x.logab
- logaxby = y/x.logab
logaa = 1
1’den farklı pozitif bir gerçel sayının kendi tabanındaki logaritması 1’dir.
NOT: Bu özelliği kanıtlamak istersen logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde ax = a eşitliğinden x’in 1 olduğunu bulabilirsin.
loga1 = 0
1 sayısının logaritma tanımına uygun her tabandaki logaritması sıfırdır.
NOT: Bu özelliği kanıtlamak istersen logaritmayı üstel fonksiyona çevirdiğinde ax = 1 eşitliğinden x’in 0 olduğunu bulabilirsin.
logabx = x.logab
bx sayısının a tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının x katıdır.
logaxb = 1/x.logab
b sayısının ax tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının x’e bölünmüş halidir.
logaxby = y/x.logab
by sayısının ax tabanındaki logaritması, b sayısının a tabanındaki logaritmasının y/x katıdır.
Logaritma Çarpma Kuralı
loga(x.y) = logax + logay
Pozitif gerçel sayıların çarpımının bir tabandaki logaritması bu sayıların o tabandaki logaritmaları toplamına eşittir.
NOT: Çarpımın logaritmasının ispatını incelemek isteyenlere,
m = logax → x = am
n = logay → y = an
x.y = am. an = am+n (Üslü sayılarda çarpma kuralından)
Denklemde her iki tarafın a tabanında logaritmasını alalım.
loga(x.y) = logaam+n
Bir önceki yazıda öğrendiğimiz logaritma özelliklerinden,
logaam+n = (m+n). logaa
logaa = 1 olduğundan ifadeyi sadeleştirelim.
m+n işleminde ise m, n sayılarının yerine ilk iki satırda yazdığımız logaritma eşitlerini yazalım.
loga(x.y) = logax + logay
Logaritma Bölme Kuralı
Pozitif gerçel sayıların bölümünün bir tabandaki logaritması bu sayıların o tabandaki logaritmaları farkına eşittir. (bölünen sayı çıkarma işleminde eksilen, bölen sayı çıkarma işleminde çıkan olmak üzere)
NOT: Bölümün logaritmasının ispatını incelemek isteyenlere,
m = logax → x = am
n = logay → y = an
(Üslü sayılarda bölme kuralından)
Denklemde her iki tarafın a tabanında logaritmasını alalım.
Bir önceki yazıda öğrendiğimiz logaritma özelliklerinden,
logaa = 1 olduğundan ifadeyi sadeleştirelim. m – n işleminde ise m, n sayılarının yerine ilk iki satırda yazdığımız logaritma eşitlerini yazalım.
Taban Değiştirme Kuralı
Logaritma konu anlatım yazılarımıza soru çözümü yaparken işini kolaylaştıracağını düşündüğümüz bir özellik ile devam ediyoruz. Logaritmik fonksiyonlarda toplama ve çıkarma yapabilmek için logaritmik fonksiyonların tabanlarının birbirine eş tabanlar olması gerekir. Bazı sorularda tabanlar farklı olduğu için işlem yapılamadığı durumlarda, taban değiştirme kuralıyla logaritmik fonksiyonu istediğimiz tabana dönüştürerek soruyu çözebiliriz.
a, c sayıları 1’den farklı olmak üzere pozitif gerçel sayılar ve b sayısı da pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
Taban Değiştirme Kuralı Özellikleri
Logaritmaların Çarpımı Kuralı
logab . logbc . logcd = logad
Sayı Üzeri Logaritma Kuralı
a ve b 1’den farklı pozitif gerçel sayılar ve b pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
- alogab = b
- alogbc = clogba
Logaritma Sıralama Kuralı
Logaritmada sıralama yapabilmemiz için öncelikle soruda verilen logaritmik fonksiyonun hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmamız gerekir. Bir örnekle bunu inceleyelim.
Örnek: log243 değeri hangi iki tam sayı arasındadır?
Taban 2 olduğu için 2’nin kuvvetlerinden tam sayıları bulalım.
Logaritma 2 tabanında 43’ten daha büyük olan 2’nin kuvvetleri nedir? İlk olarak 64’ü buluruz.
Logaritma 2 tabanında 43’ten daha küçük olan 2’nin kuvvetleri nedir? İlk olarak 32’yi buluruz.
O halde, log243 sayısı log232 sayısından büyük ve log264 sayısından küçüktür.
32 sayısı 2’nin 5. kuvveti ve 64 sayısı da 2’nin 6. kuvveti olduğu için;
Logaritmik Denklemler
Logaritmik Denklemler Nasıl Çözülür?
logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) denkleminin çözüm kümesi bulunarak logaritmik denklem çözülür. Burada bulunan x değeri, logaritmaların en geniş tanım kümelerinin dışında kalmamalıdır.
NOT: Logaritmik denklemlerin çözüm kümesini bulurken logaritma fonksiyonunun tersini alma kuralından faydalanabiliriz. logaf(x) = b ise ab = f(x) olur.
Logaritmik Eşitsizlikler
Logaritmik Eşitsizlikler Nasıl Çözülür?
Logaritmik eşitsizlikler, logaf(x) < logag(x) eşitsizliğinde tabanlar aynı olduğu için f(x) ve g(x) fonksiyonlarını eşitleyerek çözülür. Çözüm kümesini bulurken tabandaki sayının hangi aralıkta olduğunu inceleyerek eşitsizliğin işaretinin değişip değişmediğine karar verilir.
Logaritmik Eşitsizlik Kuralları
logaf(x) < logag(x) eşitsizliğinde,
a > 1 ise f(x) < g(x) olmalıdır ve
f(x) > 0, g(x) > 0’dır.
0 < a < 1 ise f(x) > g(x) olmalıdır ve
f(x) > 0, g(x) > 0’dır.