Çemberin Genel Denklemi

Sevgili arkadaşlar herkese merhabalar, bu dersteki konumuz çemberin genel denklemi.
Merkezi a, b yarıçapı r olan çemberin standart denklemini önceki derslerimizde öğrenmiştik.
Neydi bu x eksi a'nın karesi artı eksi B'nin karesi eşittir r kare bakın şurada yazıyor.
Şimdi bu dersimizde şunu yapacağız.
Bu standart denklem biraz açacağız, düzenleyeceğiz ve genel denklemi elde edeceğiz.
Nasıl yapacağız buna bakalım.
x eksi a'nın karesi nasıl açılır?
Birincinin karesi x kare birinci ile ikincinin çarpımının 2 katı eksi 2ax ve son olarak ikincinin karesi artı a kare şeklinde açtık.
Aynı şekilde y kare eksi 2by artı b kare şeklinde de bakın ikinci ifadenin açılımını yazdık.
Sonrasında eşittir r kare vardı ya r kare de bu tarafa eşitliğin sol tarafına atalım.
Eksi r kare olarak geçsin.
Eşittir 0 şu hali aldı.
Burada x'in katsayısı yani eksi iki yerine d değişkenini, y'nin katsayısı yani eksi 2 b yerine e değişkenini, a kare artı 1 kare eksi r kare yerine de yani buradaki sabit yerine de f değişkeni kullanalım.
Ve bakınız şöyle bir denklem elde etmiş oluruz.
D eşittir eksi 2a, E eşittir eksi 2b a kare artı b kare eksi r kare eşittir F.
Bunu denklemde yerine yazarsak x kare artı y kare artı Dx artı Ey artı F eşittir 0.
Bu denklem elde edildi.
İşte bu denkleme biz ne diyeceğiz?
Çemberin genel denklemi diyeceğiz.
Sevgili gençler.
Ve bu denklemde yani x kare artı y kare artı Dx artı Ey artı F eşittir 0 denkleminde çemberin merkezi ve yarıçapı nasıl bulunur?
Şimdi onlardan bahsedelim.
Unutmayınız lütfen.
D dediğimiz şey x'in katsayısı.
E dediğimiz şey y'nin katsayısı.
F de sabitimiz bizim.
Tamam çemberin merkezini bulurken eksi d bölü iki eksi e bölü iki formülünü kullanıyoruz.
Yarıçapını bulurken de d kare artı e kare eksi 4f kök içerisine alıp ikiye böldüğünüzde de r'yi elde etmiş oluyorsunuz.
Sevgili arkadaşlarım, hemen gelelim bir örnek konuyla alakalı çözelim.
x kare artı y kare eksi 6 x artı 4 y artı 4 eşittir 0 denklemi ile verilen çemberin merkezini ve yarıçapı uzunluğunu bulunuz demiş.
Bakın sevgili arkadaşlarım, çemberin merkezini bulurken neydi formül?
Eksi b bölü 2 eksi e bölü iki yani gidiyorsun x'in kat sayısını buluyorsun.
Eksi 6 başına bir tane eksi de sen koyuyorsun 2 ye bölüyorsun.
Y'nin kat sayısını buluyorsun.
4.
Başına eksi koyup ikiye bölüyorsun.
Demek ki neymiş merkezimizin koordinatları arkadaşlar?
6 bölü 2'den 3'e eksi 4 2'den eksi 2 bitti merkez geldi.
Gelelim r yarıçap.
Neydi formül?
1 bölü 2'yi yazıyorsun, açıyorsun bir tane kök d kare.
Yani eksi 6'nın karesi artı e kare.
Yani dördün karesi.
Şunu biraz uzatalım eksi 4 F yani 4 çarpı sabit.
Sabit dikkat ederseniz burada 4.
Dolayısıyla ne oldu?
Şurası artı 16 eksi 16 gitti.
Burası R eşittir 1 bölü iki çarpı şunlar da gelir ama bu mutlak eksi 6 olarak çıkar.
Yani 6 olur 6 böyle 2'den r'miz de sevgili gençler 3 birim olarak hesaplanmış oldu.
Tabii bu birinci yoldu.
Formülden çözümde bir de burada ikinci yol anlatmak istiyorum ben size.
Siz çemberin genel standart denklemlerini biliyorsunuz.
Bu en başta öğrendiğimiz 2 eksi A'nın karesi artı eksi B'in karesi eşittir R kare de merkezi a'ya b yarıçapı r birim olan çemberin denklemi.
Bunu da biliyorsunuz.
İşte biz bu açılıma benzeterek de bu soruları çözebiliriz.
Şimdi o yolu göstermeye çalışayım.
Nasıl yapacağız bunu tam kareye tamamlayacağız.
Biraz matematik bilgimizi kullanacağız burada.
Yani şimdi hocam burada ne var?
x kare var eksi 6 x var.
Bu nereden gelmiş olabilir?
x Eksi 3'ün karesinden gelmişler.
Ne yaptım?
Eksi 6'yı direkt ikiye böldüm işareti beraber yazdım.
Niye hocam?
Hani birincinin karesi?
x Kare birinci ile ikincinin çarpımının iki katını alıyor ya.
Eksi 6x'ti.
O yüzden ikiye böldüm.
Gerçekten geldi ama ne geldi buradan fazladan hocam?
Artı 9 geldi.
Tamam hemen bir tane eksi 9 ekle problem yok.
x kare elde ettim eksi 6x'i elde ederim.
Hepsini böyle böyle elde edeceğim.
Bakın y kare artı 4 y nereden gelmiştir artık hemen bunu anlayacaksınız.
Y artı 2'nin karesinden gelir öyle değil mi hocam y kare geldi.
Birinciyle ikincinin çarpımı 2y iki katı dört y bu da geldi.
Fazladan artı 4 gelir eksi dördünü de ekledim unutmadan, bitti.
Ne var?
Son olarak artı 4 elde etmem gereken.
Onu da direkt artı 4 diye yazıyorum.
Eşittir 0.
Bakın ne fazlası var ne eksiği işte direkt bana verdi.
Denklemin aynısını yazdım.
Şimdi sabitler arasındaki işlemleri yapayım.
Şurası sıfır, burası da x eksi 3'ün karesi artı y artı 2'nin karesi eşittir eksi 9 karşıya attım artı 9 olur.
3'ün karesi şeklinde.
Bitti işte.
En başta çemberin içinde öğrendiğim x eksi a'nın karesi y eksi b'nin karesi eşittir r kare elde etmiş olduk.
Ne demiştik burada merkezi bulurken x eksi 3 sıfıra eşitle x eşittir üç merkezin apsisi.
Y artı 2'yi sıfıra eşitle.
Y eşittir eksi iki merkezin ordinatı yani merkezimizi 3'e eksi 2 bulduk.
Burası da eşittir R kareydi ya.
Demek ki R'miz de kaçmış?
Sevgili gençler, üçmüş diyebiliriz.
Gördüğünüz gibi her iki yolda da aynı sonucu elde etmiş olduk.
Siz isterseniz formülü kullanın formülünü unutursanız da gördüğünüz gibi ikinci yolumuz da var.
Hiç panik yapmayın sevgili gençler diyelim ve örneğimizle birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki derste görüşmek üzere kendinize çok iyi bakın.