Eşitsizlik Sistemleri

Merhabalar arkadaşlar, şimdi birinci dereceden 2 bilinmeyenli eşitsizlikler inceleyeceğiz, bakalım.
A, b, c elemanları reel sayılar ve A ile B sıfırdan farklı olmak üzere ax artı by küçük eşittir c, ax artı by küçüktür c, ax artı by büyük eşittir c ax artı by büyüktür c.
Bu şekildeki ifadelere biz bu sefer birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlikler diyeceğiz.
Şimdi arkadaşlar bunların çizimlerinde farklılıklar oluşacak.
Mesela şimdi bunlar doğrular belirtiyordu zaten.
Bu doğruları biz denklemlerde çizerken dümdüz çiziyorduk.
Bu şekilde doğruları oluşturuyorduk.
Koordinat sistemlerinde biz şimdi buradaki çizgiyi yani bu şekildeki düz çizgiyi küçük eşittir ve büyük eşittirde kullanacağız.
Ama küçüktürde ve büyüktürde bunu kullanmayacağız.
Nasıl kullanacağız?
Onda da bu sefer böyle tırtıklı kullanacağız.
Bunun sebebi küçük eşittir ve büyük eşittir olduğunda doğrunun üstündeki noktaları da sağlar demektir.
Ama küçüktür ve büyüktür de biz doğrunun üstündeki noktaları alamayız.
O zaman eşitsizlik sağlamaz.
O yüzden doğrunun üstündeki noktaları alamayacağımız için bu şekilde tırtıklı olduğunu söyleriz ve bunun haricindeki noktalardan bahsetmiş olacağız.
Onu da zaten koordinat sisteminde göstereceğiz.
Şimdi bakalım aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz demiş.
Şimdi A var, burada B var, iki tane koordinat sistemimiz var bizim burada.
Şimdi ilk önce küçük eşittir ve büyüktürere bakmadan ilk önce doğruyu, doğrunun noktalarını belirlememiz lazım.
Yani şimdi normalde bu a'yı şöyle düşünüp bizim noktalarını belirlememiz lazım.
x eksi y eşittir 6 şeklinde düşüneceğiz.
Noktaları belirledikten sonra artık küçük eşittire geçeceğiz ve nasıl çözeceğimizi de göstereceğim burada.
Şimdi burada baktığınızda x'e 0 verdiniz y'yi buldunuz y'ye 0 verdiniz x'i buldunuz diye düşünecek olursak x'i burada ben 6'da kestiğini görüyorum.
Y'yi de nerede kestiğini görürüm?
Y'yi de eksi 6'da kestiğini görüyorum.
Bunları göstermiştik.
O zaman ilk önce 6'yı bulalım.
6 şurada bir yerde olacak takribi.
Y de eksi 6.
O da şurada bir yerde olacak.
Şimdi bakınız burada küçük eşittir var.
O zaman demek ki biz bildiğimiz doğruyu kullanacağız.
Yani bu şekilde bir doğruyu kullanacağız demektir.
Şimdi bunun üstündekileri sağlıyor buradaki denklem.
E ama ekstra olarak bir de bir bölgeyi sağlaması lazım.
Çünkü burada bir eşitsizlik var.
O bölgeyi de belirlerken iki farklı şekilde belirleyebilir.
Ya bu doğrunun üst tarafında kalan kısımdan bir nokta seçeriz.
Buradaki eşitsizliği koyduğumuzda sağlamaya çalışırız veya bunun altından bir nokta seçeriz.
Onu buradaki eşitsizlikle sağlamaya çalışırız.
Veya bunu da yapmak istemiyorsak farklı bir yöntem olarak şunu yapabiliriz.
Buradaki y'nin önündeki katsayı pozitif olacak şekilde ya sağ tarafta ya da sol tarafta bırakırız.
Burada eksi olduğu için ben bunu sağ tarafa atıyorum.
Sağ tarafa attığım ve 6'yı da sol taraf atarsam bakınız x eksi 6 küçük eşittir y gibi bir şey elde ediyorum.
Burada şunu demeye çalışıyoruz aslında y'ler büyüyor.
Y'ler koordinat sisteminde nereye doğru büyürler?
Bakınız eksiden başlayarak yukarı doğru, artı şeklinde de yukarı doğru büyüdüğü için ve yine de burada önündeki katsayı da pozitif olduğu için artık bizim seçeceğimiz bölge üst taraflarıdır deriz biz.
Yani bu şekilde buradaki bütün aradığımız noktaların hepsini alacak demektir.
Burada yukarıya doğru.
Eğer bu küçüktür tarafında kalsaydı Y'nin önündeki katsayı pozitif olarak o zaman alt taraftaki olurdu veya bu olmayacaksa da dediğim gibi üst tarafta veya alt tarafta nokta deneyerek hangisini sağlıyorsa o eşitsizlik orada göstereceksiniz.
Peki ikincisini de gösterelim şimdi.
Şimdi ilk başta bunu şöyle düşündük.
Y artı 3x eksi 9 eşittir sıfır olacak.
Şimdi burada nerede kestiğini düşünüyorum.
Eksi 9'a karşı attığımız her tarafı üçe böldüğümüzde 3'te kesiyor, y'yi de 9'da kesiyor.
O zaman ilk önce bir noktaları belirleyelim, sonradan eşitsizliğe bakacağız.
Eksi üçte şurada kessin.
3 şurada, 9 da şurada biraz daha yukarıda olsun.
Şimdi baktınız.
Bakınız burada küçük eşittir büyük eşittir yok.
Küçüktür ve büyüktür var.
O zaman demek ki biz burada ne yapacağız?
Bu sefer tırtıklı doğruyu kullanacağız.
Yani şu şekilde bir doğru kullanmamız lazım.
Şimdi bunu çizdik.
Artık bunu çizdikten sonra Y'yi burada pozitif katsayıylı şekilde bırakarak diğerlerini karşı tarafa atacağız.
Yani şu hale getirmiş oluyoruz.
Y büyüktür eksi 3 x artı 9, eksi 3 x artı 9.
Bakınız bu sefer y büyük tarafta kaldı.
Y büyük tarafta kaldığı için y'ler yukarıya doğru büyüyeceğinden dolayı biz burada yukarı tarafı taramamız lazım.
Yani burayı tararız, küçüktür olsaydı bu sefer doğrunun alt kısımdaki yerleri tarardık.
Bu arada buradaki doğrumuz sonsuza kadar gider ve buradaki çizgiler de sonsuza kadar giderler ve buradaki bütün noktaları sağlar buradaki eşitsizlik.
Bunu demeye çalışıyoruz.
Şimdi diğer bir örneğimiz.
Artık eşitsizlik sistemine geçelim, eşitsizlik sistemleri bu sefer birden fazla eşitsizlikler olacak burada ve biz bunlara aynı koordinat sisteminde gösterip daha sonra ortak olarak taradıkları kısımları almış olacağız.
Şimdi ilk önce yine aynı şekilde bunların bir nereleri kestiklerine bakalım eksenlerde.
E o zaman ilk önce ne yapıyorum?
Şunun üstünden gidiyorum.
x artı 2y burada eşittir 4 olarak düşüneceksem ben eksi 4'te kestiğini görürüm.
Y'ye sıfır verdiğimizde ve x'e sıfır verdiğimizde de y'yi ikide kestiğini görüyorum.
Ve küçük eşittir olacak.
2y de zaten burada olduğu için tamam, sıkıntı yok.
Şimdi ilk önce x eşittir dördü şurada bir yerde belirleyelim, dört burada olsun.
Eşittir iki de şurada bir yerde olsun.
Bunun çizimini yapalım.
Küçük eşittir var ve x'i de karşı tarafa atarsam şöyle bir şey elde ediyorum.
2y küçük eşittir 4 eksi x.
Bakınız 2y burada pozitif katsayılı zaten sıkıntı yok.
O zaman demek ki küçük eşittir olduğu için ben burada şu doğrumu çizdim.
Bu doğrumu çizdikten sonra ne yapacağım?
Artık 2y burada küçüktür tarafında kaldığı için bu sefer aşağıyı tarayacağım.
Ama onu şimdilik taramıyorum.
Çünkü diğerinde yaptıktan sonra ortak olarak taradıkları yeri taramış olacağım.
Şimdi bunu da yapalım.
O zaman burası da ne olur?
Eksi x artı 3y eşittir altı diye düşünecek olursak burayı bu sefer bu x'i eksi 6'da keser y'yi de 2'de keser.
O zaman demek ki yine zaten iki burada var.
Eksi 6'da şurada bir yerde olsun.
Takribi x eşittir eksi 6.
Ve burada bakınız küçüktür var.
Yani o zaman normal tırtıklı kullanacağım demektir.
Ben şöyle çiziyorum, bunu bu şekilde çizdim.
Bu da tabii sonsuza kadar gidecek ve bunu da eksi x'i karşı tarafa atacak olursak şöyle elde ediyoruz.
3y küçüktür 6 artı x'i elde ediyoruz ve bakınız y'nin önündeki katsayı artı.
Yani aslında şunu demeye çalışıyoruz.
Her iki buradaki eşitsizlikte de doğruların altındaki kalan kısımları tarayacağız.
Yani ikisinin de aşağıdaki kısımlarını tarayacağız.
Ve bakınız ben tarıyorum.
Bunun taradım, tam olarak şuraya geldikten sonra bunu da taradım.
O zaman demek ki bunlar bu şekilde ortak olarak aşağı doğru taranmış olacaklar.
Evet, son örneğimiz.
Burada yine eşitsizliklerimiz var, çözüm kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
Aynı işlemleri yapıyorum.
Burada ne yapıyorum?
Eksi x artı 2y diyorum.
Eksi 6'yı karşıya attığımızı düşünürsek 6 olduğunu düşünelim.
Çünkü eksenleri kestiği noktaları kolay belirlemek lazım.
x eşittir eksi 6 ve y eşittir 3'te bunlar kesecek.
Şimdi ise eksi 6 şurada bir yerde olsun x eşittir eksi 6.
Y eşittir 3 de şurada bir yerde olsun.
Tamam ona ayar çekeceğim az sonra.
Şimdi bunu da belirlemek istiyorum.
x artı 4y.
Bu sefer eksi sekizi karşı attığımızı düşünürsek 8 olacak.
Daha sonra burası da nerede kesmiş oluyor, x eşittir sekizde ve y eşittir 2'de kesmiş oluyor.
x eşittir 8 şurası olsun.
y eşittir 2 de bunun hemen altı olsun.
Şimdi tamam yine tekrardan yukarıya dönecek olursam 2y'yi yalnız bırakıp diğerlerini karşı tarafa atıyorum.
O zaman şöyle bir şey elde ediyorum.
2y büyüktür x artı 6.
Bunu elde etmiş oldum.
Alt taraftakine de aynı işlemi yapacağım.
Bu sefer x ile eksi sekizi karşı tarafa atarsam bu sefer 4y büyüktür 8 eksi x elde etmiş oluyorum.
Yani her ikisinde de y'ler büyüyor değil mi?
Bu şekilde düşüneceğiz ve buradaki çizdiğimiz o doğruların üst taraflarını tarayacağız.
Ve her ikisinde de benim tırtıklı kullanmam lazım.
Çünkü eşitlikler yok.
Şimdi şu şekilde devam eden bir doğru ve bu da şuradan gelecek.
Ve tabii bu tam tutmayabilir.
Ama bunun üstünden geçtiğini düşünelim.
Her ikisinde de yukarı tarayacak.
Bakın şimdi bunun yukarısında taradım.
Daha sonra bu tam aslında buna değdikten sonra aşağısı taranacak ama ortak olarak bunun da yukarısında taradığımda şurası olur bakınız.
Bu da aslında şuraların da taranması lazım ama ortak olarak belirledikleri kısım bunun yukarısında kalan kısımdır.
Yani buradan yukarıya doğru gider ve buradaki tüm noktaları sağlar.