Sonlu Dizi ve Sabit Dizi

Merhaba sevgili arkadaşlar, bu videomuzda size dizilerle ilgili birkaç küçük tanımdan daha bahsedeceğim.
İlk olarak sonunu dizi n bir pozitif doğal sayı olmak üzere A kümesi 1,2,3 ...
n'e kadar sonlu kümesinden gerçel sayılara tanımlı fonksiyonlara n terimli sonlu dizi denir.
Normalde dizinin tanımı ne idi arkadaşlar.
Pozitif doğal sayılardan reel sayılara tanımlı olan fonksiyonlara biz dizi diyorduk.
Bakın pozitif doğal sayılar kümesi sonsuz elemanıdır değil mi?
O yüzden o diziler sonsuz dizilerdi burada tanımlı olduğu küme sonlu elemanlı olduğu için bu diziye sonlu dizi diyoruz arkadaşlar, n tane elemanı var bu dizinin.
Bakalım örneğimizde.
an bakın şu kümeden tanımlanmış 1'den 12'ye kadar elemanı var.
Bu kümeler reel sayılara tanımlı olmak üzere an 5 eksi 2n'miş kuralımız.
Sonlu dizisinin terimlerinin toplamı.
Tek tek bütün terimleri bulmanız gerekiyor o zaman.
Zaten on iki tane terim var.
a1 diyerek başlayalım.
a1 eşittir 5 eksi iki çarpı bir, a2 eşittir 5 eksi iki çarpı üç pardon 2 çarpı iki.
a3'ü de yazalım.
a3 eşittir 5 eksi iki çarpı üç.
Bu şekilde devam edecek arkadaşlar.
Hepsini yazmayalım.
En son a12, on iki tane terimimiz vardı.
Beş eksi iki çarpı 12 elde ederiz.
Bize bunların toplamı soruluyor.
Topladım bunları.
B akın şu ilk kısımda ne var?
Hepsinde beş var değil mi?
Kaç tane terim yazdım ben?
On iki tane terim yazdım.
O yüzden on iki tane beş kullandım.
On iki çarpı beş buradan geldi.
Sonra diğerlerine bakın.
Şu iki çarpı bir, iki çarpı iki, iki çarpı üçüne de bakın.
Hepsini ikiyle çarpmışsınız, -2 ile çarpmışsınız hatta.
Eksi iki parantezine alın orayı da ne gelir?
Bir artı, iki artı, üç artı, en son on iki ile çarpmıştınız, en son on iki gelir.
Birden n'e kadar olan sayıların toplamı bir, iki, üç.
Bu şekilde devam ettiğinizde n'e kadar gidiyorsa sonucumuz n çarpı n artı bir bölü iki olmalıydı.
O zaman 1'den 12'ye kadar burasına ne yapar arkadaşlar.
On iki çarpı on üç bölü 2'dir.
Şunları sadeleştirdiğinizde burası altı yaptı altı çarpı on üçten burası yetmiş sekiz elde edildi.
Yani sorunuzun cevabı on iki çarpı 5'ten buraya altmış buldunuz.
Eksi iki çarpı 78 var.
Buradan da eksi yüz elli altı geldi arkadaşlar.
Sorumuzun cevabı o halde eksi doksan altı olmalıdır.
Bu terimlerinin toplamı eksi doksan altı imiş.
Devam edelim.
n dizisi sonlu bir dizi ise bu dizinin en çok kaç tane terimi vardır?
Şimdi bu dizi sonlu bir dizi ise, normalde hiç bir şey demese, sonlu dizi demese bu bir dizi midir arkadaşlar?
Bakın n yeni dört yazdığınızda payda sıfır oluyor, yani tanımsız oluyor.
Bu bir dizi değildir, o zaman reel sayı dizisi değildir diyorduk.
Çünkü dördüncü terimi yoktu değil mi?
Ama şimdi sonlu dizi olarak bahsettiği ise demek ki sayılabilir elemanları var.
Bütün sayıları, bütün pozitif doğal sayıları yazmanıza gerek yokmuş zaten.
O.
Zaman n yerine bir yazabiliyor muyum?
Yani birinci terim var mıdır?
a1 vardır, a2 vardır, a3 vardır, a4 yok değil mi?
O zaman bu sonlu bir dizi ise en çok kaç tane terim vardır?
En çok üç tane terimi vardır arkadaşlar.
Biri iki üçü yazabilirim, dördü yazamayınca zaten beş, altı, yediyi de yazamayız değil mi?
En fazla üç tane terimi vardır, o da sonlu dediği için bunu söyleyebiliyoruz.
Cevabımız üç olmalıdır.
Evet, yeni bir tanımamız, sabit dizi.
Sabit fonksiyonlar gibi arkadaşlar zaten isminden de belli.
Bütün terimleri aynı olan diziye bir sabit izliyoruz.
an eşittir 4.
Burada a1 de 4'tür, a150 de 4'tür, a25 de 4'tür.
an eşittir 0.
Bütün terimleri sıfır olan bir dizidir.
Sabit dizidir o halde.
Şimdi örneğimizde bakalım.
an eşittir k eksi 2 n kare, t artı 1 n artı 2k artı t artı 1.
an sabit dizi olduğuna göre ilk üç teriminin toplamı soruluyor.
Şimdi sabit bir dizi de n olur mu arkadaşlar?
Bir değişken olur mu yani?
Mesela an eşittir n kare artı 3 diye bir dizi olduğunda bu sabit dizi olur mu?
Siz n'e sürekli farklı değerler vereceksiniz değil mi?
O zaman terimlerini sürekli değişecek yani değişken olmaması lazım.
n kareden kurtulmalıyız.
O halde buraya sıfır verelim ki n kare gitsin.
Buraya sıfır verelim ki t artı 1 gitsin.
O zaman k eksi 2'ye biz sıfır verdiysek k eşittir iki olmalıdır.
t Artı bire sıfır verdiysek t eşittir eksi 1 olmalıdır.
Evet, k ve t'yi bulduktan sonra an'imizi yazalım şimdi.
an eşittir bunlar zaten gitti değil mi?
Sıfır verdiniz, bu terimleri yok ettiniz.
k yerine iki yazın şurada k yerine 2, t yerine eksi 1 yazarsanız ne olur burası?
4 eksi bir artı birden 4 elde edilir.
Yani dizimiz an eşittir 4'müş.
Arkadaşlar ilk üç terim bu zaten sabit diziydi ya.
O zaman birinci terim de 4'tür.
İkinci Terim de 4'tür, üçüncü terim de 4'tür.
Yani cevabımız arkadaşlar 12 olmalıdır.
Bakalım bir örneğimiz daha var.
Öncelikle şu özellikte bizi rasyonel bir kural vermişse an'nin kuralında bir rasyonel ifade varsa arkadaşlar ve buna sabit dizi diyorsa ve bakın buralarda bilinmeyenler de var hani bilinmeyen olmayacak demiştik.
Ama şöyle düşünün mesela x olarak kullanıyorum.
İki x artı 4 bölü x artı iki dedik.
Burada bir rasyonel ifade var.
Ama bakın iki parantezine aldığınızda ilk x artı iki, bakın x artı ikiler gitti.
Bu ifade aslında 2'ye eşitmiş değil mi?
Bakın burada ne oldu?
x'in katsayılarının bakın iki var alta da bir var.
Sabit terimlere bakın 4 var altta da iki var.
Bu oranlar eşit olursa zaten bunlar böyle sadeleşebilir.
O yüzden kuralımız da nedir?
Eğer size böyle bir dizi verilmişse ve sabit dizidir deniyorsa n'nin katsayıları oranı yani p ve s'nin oranı diğer sabit terimler r ve t'nin oranına eşit olmalıdır arkadaşlar.
Örneğimizde de bunun bir sabit dizi olduğu söylendi.
O halde n'nin katsayıları oranı yani 5 bölü 2 sabit terimleri eksi k, eksiyi unutmayın sadece k almayın oraya eksi k bölü 4 birbirine eşit olmalıdır.
İçler dışlar yaparsanız -2k eşittir 20'dir.
Her iki tarafı eksi ikiye böldüğünü üzere k eşittir -10 buluruz arkadaşlar.
Bize de bu sorulmuştu zaten.