Çokgenler Özellikleri

Merhabalar, çokgenler konusunu işliyoruz şu anda.
Şimdi üç kenarlı kapalı şeklimiz olan o üçgenin anlatımından sonra artık daha çok kenarlı kapalı şekilleri inceleyeceğiz.
Çokgenimizi tanımlayalım.
Nedir bu çokgen?
Kenar sayısı 3 ya da daha fazla olan kapalı şekillere çokgen diyoruz.
Şimdi bu çokgenler de ikiye ayrılıyor.
İçbükey çokgen ya da dışbükey çokgen.
Şimdi içbükey çokgenler aynı zamanda konkav, dışbükey çokgenler aynı zamanda konveks diyoruz.
Ve biz size dışbükey çokgenleri anlatacağız dostlar.
Şimdi devam edelim.
Nedir bu dışbükey çokgen.
Dışbükey çokgenin tanımı şudur; her bir iç açısı 180 dereceden küçük olan, bakınız her bir iç açı 180 dereceden küçük olan çokgenlere dışbükey çokgen diyoruz.
Şimdi başka bir şekilde daha tanımı yapılabiliyor bu arada.
Bir çokgende iç bölgesinde aldığınız iki tane nokta tamam mı?
Bu aldığınız noktayı birleştiren doğru parçası konveks çokgenimizin, daha doğrusu çokgenimizin iç bölgesinde kalıyorsa bu çokgen kompleks çokgendir.
İki nokta aldım, herhangi iki tane nokta birini burada, birini şurada seçtim.
Dedim ki bunları birleştiriyorum.
Şunu silelim evet birleştirdim işte bu birleştirdiğimiz doğru parçası çokgeni kesmiyorsa, Çokgenin iç bölgesinde kalıyorsa bu o zaman kesinlikle bir dışbükey çokgendir.
Tanımı aynı zamanda böyle yapılabilir dışbükey çokgenlerin dostlar.
Peki neler vardır, bu çokgenlerde nelerden bahsediyoruz, ne gibi elemanları var?
Ş imdi üçgen gibi kenarları var.
Tamam iç açıları var.
Tamam dış açıları da var elbette anlatacağım zaten.
Şimdi burada kenar sayısı üçten fazla olan çokgenlerde bahsedeceğimiz yeni bir eleman var.
O da köşegen.
Üçgende köşegen yoktu fakat dörtgen, beşgen, altıgenmiş bunun gibi çokgenlerde köşegenler var tabikii de.
Bizim de bunu bilmemiz, sahip olduğu bazı özellikleri öğrenmek lazım.
Şimdi köşegen dediğimiz bir çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına verilen isim.
Üçgen de bir köşe diğer iki köşe ile daima komşu değil mi?
Bir tane üçgen ele aldım bu köşeyi düşünelim.
Bununla da komşu bunla da komşu işte zaten o yüzden üçgenler de köşegen konusunu anlatamadık sizlere.
Bu ABCD bir dörtgen olsun, bir tane dört kenarlı çokgen çizdim.
A köşesine bakarsan bununla komşu olmayan köşe hangisi?
C köşesi.
O zaman bunu birleştirirsek bir köşegen elde edeceğim.
B'ye baktığım zaman bununla komşu olmayan bir tane D var.
O zaman BD'yi birleştirirsem bu ikisi köşegen olmakta dostlar.
Evet, şimdi ben n kenarlı bir konveks çokgende iç açıların toplamını nasıl hesap diyeceğim dostlar?
Şimdi bir olsa iki olsa böyle küçük çokgenlerden bahsetsem hesaplanabilir.
Ama kenar sayısı 17'ye çıktı mı, kenar sayısı 28'e çıktı mı ne yapacağım?
Teker teker toplamaya mı çalışacağım?
Hayır, formülümüz şudur dostlar n eksi 2 çarpı 180.
n dediğim kenar sayısı yani kenar sayısından 2 çıkarıp 180 derece ile çarparsam senin iç açılarının toplamını buluyorum dostlar.
Bir çokgende iç açılar toplamı işte şu basit formülle hesaplanabilir.
Peki bu n eksi 2 nedir hocam?
Neden bunu dağıtmadan da böyle n eksi 2 olarak verdin?
n eksi 2 nedir, nereden geliyor derseniz dostlar işte buradan geliyor.
Şimdi üçgen dediğim şudur.
Tamam dörtgen dediğim budur.
Şimdi burada ne yaptın peki ben.
Dörtgenin bir köşesinden çözebileceğim köşegenlerin hepsini çiziyorum ve bir tane köşesini aldım.
Sadece bir tane köşegeni var.
Tamam beşgene geldim.
Bir beşgen şu şekildedir.
Rastgele bir beşgen çizdim.
Sonra yine bir köşe aldım ve bu köşeden çizebileceğim bütün köşegenleri çizdim.
İki tane varmış, biri buraya, bir buraya.
Onları çizdim geldim altıgene.
Rastgele bir altıgen çizdim.
Bir köşe seçtim.
Bütün çizebileceğimiz köşegenleri çizdim.
Bir baktım üç tane köşegen çıktı.
Tamam, şimdi beş dörtgene geldiğim zaman çizdiğim köşegenle iki tane içerde üçgen oluştu.
Numara verdim.
Beşgene geldim.
Köşegenleri çizdikten sonra içerde üç tane üçgen oluştu.
Altıgene geldim.
Köşegeni çizdikten sonra içeride dört tane üçgen oluştu.
Şimdi o zaman diyebilirim ki ben içeride oluşan bu üçgenlerin iç açılarını toplarsam aslında bu dörtgenin iç açılarını bulmuş olmuyor muyum?
Ya da beşgende içeride oluşan bu üç tane üçgenin iç açıları toplamını hesaplarsam ben normalde bütün beşgenin iç açıları toplamını hesaplamış olmayacak mıyım?
Evet, o zaman içeride oluşan üçgen sayısı benim iç açıları hesaplamakta çok işime yarayacak.
Bunun da kuralı işte buradan gelmiştir.
Bu üstte gösterdim n eksi 2 dediğim şeyler dostlar bir köşeden çizdiğim köşegen sayısıyla çokgenin içerisinde elde ettiğim üçgen sayısı.
Üçgen dediğim bir tane zaten.
Dörtgen dediğim bir köşeden çize bildiğim bütün köşegenleri çizince içeride iki tane oluyor.
O da n eksi 2'dir.
Her çokgen için bir köşeden çözebileceğimiz köşegenlerle elde edebileceğiniz üçgen sayısı n eski 2'dir.
Yani kenar sayısı eksi 2 bir köşeden çizdiğiniz, köşegenlerle ayırdığınız üçgen sayısı oluyor ve üçgen sayısıyla 180 dereceyi çarparsam iç açıyı elde ederim.
Bir dörtgen için dört kenarlı iki çıkarın 2.
2'yi de 180 ile çarpın 360.
Bir beşgen için üç tane üçgen oluştu, o zaman üç tane 180'i topluyorum.
Bir altıgen için düşündüğümde köşegenlerimiz çizdim.
Yalnızca bir köşeden dört tane üçgensel bölge oldu, dört tane üçgen oldu ve dört tane 180 dereceyi toplayacağım.
Toplam o zaman bir altıgenin iç açıları kesinlikle ve her zaman 720 derece olacaktır.
Bu kuralımız buradan gelmektedir.
Şuna geçelim.
n kenarlı bir çokgenin dış açıları toplamı kesinlikle, kesinlikle ve her zaman 360 derecedir.
Siz isterseniz altıgenin dış açılarının toplamına bakın, isterseniz üçgenin dış açıları toplamına bakın, isterseniz 22genin dış açılar toplamı çokgen için 360 derece.
Şimdi bir tane örnek vermek istiyorum burada.
Bunun üstünden dış açı toplamının önemini bir pekiştirmek istiyorum.
Rastgele bir çokgen çizdim.
Şimdi baktığınız zaman 6 kenarlı bir çokgen.
İç açılarını verdim sizlere.
x sayısını bulmanızı istiyorum şimdi.
Şimdi burada ne yapacağım?
İlk adımın altıgenin iç açılarının kaç olduğunu bulmak.
Ne yapacağım?
Şu açıları toplayacağım.
Daha sonra üçgenin iç açıları toplamını bulacağım.
Bu toplamı o toplantıdan çıkaracağım ve böylelikle x'i mi bulacağım?
Çok uzun değil mi?
Ve sayılar çok büyük değil mi?
Peki siz eğer dış açı üzerinden giderseniz, yani her gördüğünüz iç açının bir de dış açısını çizerseniz, uzatıyorum bütün kenarları, bütün köşeleri gördünüz.
140 derecenin dış açısı 40 derece.
110 derecenin dış açısı 70 derece.
105 derecenin dış açısı 75 derece.
x'in dış açısına y deyin.
x artı y'nin 180 olduğu belli.
Tamam, 95 derecenin dış açısı 85 derece.
120 derecenin dış açısı 60 derecedir.
Şimdi ben şunu kesinlikle biliyorum.
Çokgen kaç kenarlı olursa olsun dış açıları toplamı 360 dereceyi verecek.
O zaman burada gördüğün şu pembe renkli bütün dış açıların toplamı 360 olacak.
Topluyorum 40, 70, 75, y artı 85 ve üstte de 60 derecelerini yazdım, tamam.
Burada y'yi bulamaz mıyım?
Tabii ki de bulurum.
Buradan 100 elde ettim.
Buradan 160 elde ettim, 260 etti.
260 70 daha 330 derece etti.
Şurada 360 derece.
Burada tabii bir de y vardı.
Buradan y'yi elde ettim.
y eşittir 30 derece.
Şu işlemi tekrar yapmak istiyorum.
Kaçırmak istemiyorum.
160, 260, 330.
y eşittir 30 derece.
y dediğim x'in dış açısı idi.
Buradan o zaman x istediğim 180 eksi y olmalı.
180 derece eksi y olmalı ve buradan x'i 150 derece buluyorum.
Bakın o uzun işlemlerden, o büyük işlemlerden kaçarak yalnızca dış açı formülünden ilerleyerek rahatlıkla buradan x'in kaç derece olabileceğini buldum.
Yani bu da aklınızda kalması açısından sizlere tavsiye ettiğim bir yöntemdir..