Düzgün Çokgenler

Merhabalar şimdi düzgün çokgenlerimizi inceleyelim.
Bir çokgenin düzgün olması için tüm kenar uzunluklarının ve tüm iç açı ölçülerinin ve tüm dış açı ölçülerinin eşit olması gerekir.
Arkadaşlar düzgün bir çokgenden bahsediyorsak kenar uzunlukları farklı olamaz.
İç açılar arasında bir farklılık, dış açıları arasında bir farklılık olamaz.
Düzgünlüğün mantığı budur zaten tamam.
Yani burada kaç kenarlı olduğunu bilmediğim böyle nokta nokta olarak da gösterdim.
Bir çokgeni alalım.
Bunun düzgün olması demek bütün kenar uzunluklarının eşit olması anlamına gelir.
Bütün iç açılar ölçüsünün eşit olduğu gördüğünüz gibi hepsi a kadar bütün dış açı ölçülerinin aynı olması gerekir.
Gördüğünüz gibi beta kadar demişiz.
Tamam şimdi burada dış açı iç açıyı peki nasıl hesaplayacak?
Yani düzgün bir çokgenin bir dış açısını nasıl hesaplayacağım?
Bir iç açısını nasıl hesaplayacağım?
Mesela 17 kenarlı olsa nasıl hesaplayacak?
Mantığım bu.
Düzgün bir çokgenin bir dış açısını 360 dereceyi o çokgenin kenar sayısına bölerek elde edebiliyor.
Yani bir altıgeni mi bulmak istiyorsunuz?
360 derece 6'ya bölünür, 60 derece altıgenin ama düzgün bir altıgenin dış açısı edecektir.
5 kelime hesaplamak istiyorsunuz, 360 dereceyi beşe bölün, 72 derece size bir beşgenin dış açısını verir.
Ama düzgün beşgenin ya da 12 kenarlı olsa 12 kenarlarının yani 1 onikigenin dış açı ölçüsünü nasıl hesaplayacağım?
360 derece.
Onu ikiye bölerek diyeceğim 360 bölü 12 30 derece, 30 derece bir düzgün onikigenin dış açısıdır.
Tamam.
Peki iç açıyı nasıl hesaplayacağım?
Önce dış açıyı vermemin sebebi buydu aslında.
Rahatlıkla hesap yapabilmek adına.
Ben dış açısını biliyorsam, iç açısını rahatlıkla hesaplarım.
Yani nereden hesaplarım peki?
Çünkü doğrusaldır.
Bunlar dış açısı burası ise iç açısı da 180 eksi dış açı diyeceğim.
Yani şuraya dış açı dersek mesela böyle hesaplayacağım.
Yani siz dış açısını bulduktan sonra 180 dereceden dış açıyı çıkararak iç açısını rahatlıkla hesaplayabilirsiniz.
Burada simetri eksenlerinden bahsetmek istiyorum.
Bundan bahsetmek lazım ama çokgenlerimizi tek kenar sayılı ve çift kenar sayılı olarak ayırarak anlatacağım.
Şimdi tek kenar saуıda bir çokgende bir düzgün çokgende bir köşeden karşısındaki kenara ineceğimiz dik, aynı zamanda açıortayıdır.
Bu arada bunun tam tersi de geçerlidir.
Yani bir köşeden çizdiğimiz açıortay da karşı kenarı dik ortalar işte bu açıortayımız çokgenin simetri eksenidir.
Tek kenar sayılı bir düzgün çokgenin simetri ekseni budur.
Bu simetri ekseni ne demek?
İşte indiği kenarı eşit böler demek.
Mesela DH eşittir HC'yi bilmek lazım alanı eşit böler.
Yani burada kalan alan şurada kalana alana eşit olmalı.
Çünkü simetri ekseni dediğimizin mantığı budur.
Gördüğünüz gibi açılar da eşit bölünmüş.
Buradaki açım, buradaki açıya eşit.
Buradaki açım buradaki açıya eşit.
Tamam.
Peki çift kenar sayılı çokgenlerde ne olacak?
Çift kenar sayıda düzgün çokgenlerde karşılıklı köşeleri birleştirirsem bu parça açıortay olmaktadır.
Gördüğünüz gibi b'nin karşısında e köşesi var.
İşte bunu birleştirirsem simetri ekseni çiziyorum ve bu bir açıortaydır.
Tamam mı?
Bu açıortay gördüğünüz gibi aynı zamanda simetri eksenidir .
Burada bir şey daha ekleyeyim.
Çift kenar sayıda düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.
Yani burada AF paraleldir BE paraleldir DC.
Madem bu simetri ekseni burada kalan alanın burada kalan alana eşit olduğunu da bilmek gerekir.
Şimdi bu simetri eksenini tanımak bizlere alan konularında açı sorularında gayet yardımcı olabilecektir.
O yüzden aktarmakta fayda var.
Şimdi bu özel olarak bazı düzgün çokgenlerden bahsedelim.
Düzgün Beşgen ile başlayalım.
Düzgün beşgenin her bir dış açısı 360 bölü kenar sayısından 72 derecedir.
O zaman iç açısı kolaylıkla hesaplanabilir.
180 derece X'i dış açısı 72 ise 108 derece bana iç açısını verecektir.
Her bir iç açısı 108 derecedir.
Düzgün beşgene düzgün dememizin sebebi işte budur.
Her biri için konuşabiliyoruz.
Beşgende tüm köşegenler eşit uzunluktadır.
Bütün köşegenler eşittir.
Yani bir farklı köşegen uzunluğu bulamayacaksınız ve bir köşegen uzunluğu, bir kenar uzunluğunun kök 5 artı bölü iki katıdır.
Bu çirkin sayılabilecek oran, köşegenleri çizilen beşgende oluşan üçgenler arasındaki benzerlikten gelmektedir.
Tamamiyle beşgende bu özellik yani benzerlikten bahsediyorum.
Çok çok çok önemlidir.
Bir köşedeki.
Buraya yazmış mıyız?
Evet, bir köşedeki köşegenler köşedeki 108 dereceyi üç eşit parçaya bölüyor.
Gördüğünüz gibi bir köşeden çokgenlerimi çiziyorum.
Bir, iki, üç tane eşit açı elde ediyorum.
108 bölü 3'ten 36, 36, 36 olarak bölüneceğini biliyorum.
Başka beşgen, tek kenar sayıda bir çokgen olduğu için bir köşeden karşı kenara çizdiğiniz dik düzgün beşgenin simetri eksenidir.
Yani ben a'dan bir açıortay gidersem bir simetri ekseni götüreceğim.
E'den bir açı ortay inersem bir simetri ekseni götüreceğim.
D'den bir açı ortay inerken bir simetri ekseni götüreceğim farkındayım.
O yüzden alan paylaşımını şu şekilde göstermek istiyorum.
Aklımızda kalması lazım bazı soru tarzlarında böyle bizlere yardımcı olabilecektir.
Şimdi biraz düzgün altıgenden bahsedelim.
Düzgün altıgen dediğimiz her bir dış açısı 360 böyle altıdan 60 derece.
O zaman her bir iç açısı 180 eksi 60 dereceden 120 derece olur.
Düzgün bir altıgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
Tabii Düzgünün mantığı bu.
Karşılıklı kenarlar birbirine paraleldir.
AB kenarı ED paraleldir.
CD kenarı AF paraleldir, FE kenarı da BC'ye paraleldir.
Bir köşeye ait tüm köşegenler çizilir ise iç açı 4 eşit parçaya yani 30 dereceye bölünür.
Yani siz buradan bütün köşegenler için derseniz, demek istediğim bu işte buralar eşit bölünür ve bunlar da otuz, otuz, otuz olmaktadır.
Şimdi karşılıklı köşeleri birleştirirseniz, elde ettiğiniz köşegen bir kenarın uzunluğunun iki katıdır ve bu en uzun köşegenler uzun köşegendir daha doğrusu.
Yani burada B'nin karşısında E var.
İşte siz bunları birleştirirseniz en uzun köşegen elde edersiniz ve bu bir kenar uzunluğunun iki katı kadardır.
Kenar yani bu köşenin uzunluğu böyle hesaplanıyor.
Bir kenar uzunluğu a kadar olan altıgen alanı 3 kök 3 bölü 2 çarpı a kare ile hesaplanıyor.
Bu aslında tamamiyle sadece üçgenden gelmektedir.
Düzgün bir şekilden bahsettiğimiz için bunun merkezini alıyoruz.
Köşeler ile birleştirdiğimizde içeride oluşan şekiller tamamiyle eşkenar üçgenlerdir arkadaşlar.
İşte bu birinci eşkenar üçgenin alanını hesaplayıp 6'yla çarparsak bir altıgenin alanını hesaplıyoruz.
O da sadeleşip bu kuralı yaratmakta.
Biz arkadaşlar şimdi biraz daha ilerleyelim, şu notumuzu aktaralım.
Düzgün altıgende bazı köşegen dizilimleri alanı şekilde gördüğünüz gibi dağıtıyor.
Şimdi aklımızda kalmasında fayda var.
Bazı sorularda bizleri hızlandırabilir.
Burada gördüğünüz gibi iki tane kısa kenar, karşılıklı kısa köşegenleri çekiyorum.
İşte buradaki alan paylaşımı şu şekilde oluyor.
A 4A yani toplam alan altı a ise bir bölü Altısı buraya bir bölü altısı burada gördüğünüz küçük üçgeni ortada.
Gördüğünüz dikdörtgende bu açılar 90 derece oluyor.
Tabii bu dikdörtgene 4A kadar alan düşüyor.
Geçelim diğer bir özelliğimize.
Bütün kısa köşegenleri çekersen bir bölü 6 oran buraya.
Yani düzgün altıgen bir bölü 6'sı kadar alan buraya, bir bölü altısı kadar buraya, bir bölü altısı kadar buraya, yarısı da buraya gelmekte.
3A dememin sebebi, yani yarısı dememin sebebi altının yarısı üç buraya geliyor.
Yani böyle sayısal olarak olarak aklınızda kalması için böyle gösterdim.
Şimdi düzgün altıgende sıklıkla 30, 60, 90 derece üçgenleri oluşabilmektedir.
Soru tarzlarında hızlıca ilerlemek adına birkaç bilgi ekleyin.
Buradan şekilde gördüğünüz kısa köşegen bir kenar uzunluğunun kök 3 katıdır.
Yani 30, 30, 120 derece üçgeninin özelliği aslında 30 derecenin karşısının kök 3 katı 120 derecenin karşısına eşittir ve 30 k'yi görüyorsa 120 derecenin gördüğü k'nin kök üç katı olmalıdır.
Bu formül buradan geliyor.
İsterseniz f'den dikine inip bir 30, 60, 90 üçgeni yaratarak buradan ayrı ayrı şu a uzunluğunu hesaplayabilirsiniz.
Ama formül basittir.
Siz kısa köşegeni hesaplamak istiyorsanız bir kenar uzunluğunun kök 3 katını alacaksınız.
Eğer uzun köşegen hesaplamak istiyorsanız da bir kenar uzunluğunun iki katını almak zorundasınız.
Uzun köşegen dediğim burada AD uzunluğudur ya da b uzunluğudur.
Karşılıklı iki köşeyi birleştirirseniz uzun köşegen elde edersiniz ya da FC'dir farketmez.
Bu ikisi de bir kenar uzunluğunun iki katı olmalı, bir kenarı ise uzun köşegenin iki k olacaktır.
Tamam, şimdi burada düzgün altıgen çözerken 30 60,90 üçgenin kurallarını iyi bilmekte fayda var.
Fazlaca sonra da işinize yarayacaktır.