y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş.
Verilen grafik x eksenini eksi 2 noktasında kesmiş.
Bu y eşittir f(x) fonksiyonu x ekseni boyunca artık kestiği noktaya ben 1 eklerim eksi 2 artı 1'den yani artık eksi 1 noktasında kesecektir.
Peki fonksiyonu nasıl yazacağız?
x'in içerisine ben 1 birim sağa öteliyorsam fonksiyonu y eşittir f x eksi 1 fonksiyonu olacaktır.
Şimdi ise verilen y eşittir f(x) fonksiyonu grafiğinin y ekseni boyunca bir birim yukarı ötelendiği için y ekseninde kestiği nokta 1 birim artacaktır.
O halde burada yanda gösterilen fonksiyonda x'te yine -2 0'a giderken burada 1 birim yukarı ötelenmiş halde ise eksi 2 artık 1'e gidecektir.
Peki fonksiyonun denklemi nasıl olacak?
y eşittir f(x) fonksiyonunda artı 1 ekliyorum.
Örnek: Aşağıda y eşittir f(x) fonksiyonun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y eşittir f(x+2) ve y eşittir f(x-1) fonksiyonlarını grafiklerini çiziniz.
Şimdi y eşittir f(x)'i vermiş, f(x+2)'yi soruyor Bu ne demek?
Grafiği iki birim sola ötele demek.
O halde grafiği olduğu gibi iki birim sola öteleyelim.
Çizdiğimiz bu grafik nedir?
y eşittir f(x+2) fonksiyonun grafiğidir.
Artık 2 noktasında değil, 0 noktasında kesecektir.
Yine aynı şekilde y eşittir f(x-1) fonksiyonun grafiğine bakalım.
Bu ne demektir?
Fonksiyonu bir birim aşağı ötele.
O halde bir birim aşağıya öteleyeceksek bu iki noktası 2 virgül 0 noktası artık nedir?
2 virgül eksi 1 noktası olacaktır.
Yani Bu da y eşittir f(x-1) fonksiyonun grafiğidir.
Şimdi ise bana simetri ile ilgili bir özellik vermiş.
y eşittir f(x) fonksiyon grafiğinin y eksenine göre simetriğini nasıl çizeceğiz?
Şimdi y eksenine göre ben bu grafiğin katlandığını düşüneyim yani -2 noktasını değil artık 2 noktasını da kesecek ve yine 4 noktasından geçecek şekilde aynı şekilde yanda verilmiş grafik tam y eksenine göre simetri 2 noktasından ve 4 noktasından geçecek şekilde çizilmiş.
Peki denklemi nasıl yazıyoruz?
y eşittir f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetriği y eşittir f içerisinde eksi x şeklinde gösterilir.
Buna dikkat edelim.
Şimdi ise y eşittir f(x) fonksiyonun x eksenine göre simetriğine bakalım.
x eksenine göre simetriğini alırken y'de kestiği 2 değerini artık -2 noktasında kestiğini göreceğiz yani verilen grafiğin x göre katlandığını düşünelim kollar yukarı değil artık kollar aşağıya olacaktır.
Yanda verilen grafikteki gibi aynı şekilde eksi 2 noktasından geçecek ve kollar aşağı olacak.
Peki denklem nasıl olacaktır?
y eşittir f(x) fonksiyonu artık y eşittir eksi f(x) olacaktır yani eksi dışarıda olacaktır.
Peki eksi içeride olursa ise y eksenine göre simetri demektir.
Buna dikkat edelim.
Verilen y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği ise tam xê hem de y'ye göre simetrisi alınır yani grafik üzerinde 2'ye 2 noktası veya 5 e hem x'in hem de y'nin ikisinin ters işaretlisi alınır.
Yani artık 2'ye 2 noktası değil hemen gördüğümüz üzere eksi 2'ye eksi 2 noktası olur veya eksi 5'e eksi 4 noktası olacaktır.
Peki bunun denklemini nasıl yazıyoruz?
y eşittir f(x) yerine artık eksi f(-x) şeklinde gösterilir.
Buna da dikkat edelim.
Fonksiyon grafiğinde x ekseninde öteleme nasıl yapılır?
y = f(x) fonksiyonunun grafiği bize verilmiş olsun. Birlikte düşünelim: Bir fonksiyonu x ekseninde 3 birim sağa nasıl öteleriz?
Fonksiyonu istediğin şekilde hayal et. Belki doğrusal, belki bir parabol, belki daha karmaşık bir fonksiyon. Bu grafiği x ekseninde 3 birim sağa ötelemek demek, aynı y değerini artık fonksiyondaki x değeri yerine x + 3 değeri alsın demek.
Yine aynı y değerine ulaşsak da, x ile değil, x+3 ile buna ulaşacağız. Peki, diyelim ki orijinal fonksiyonda x = 3 dediğimizde y = 4 sonucuna ulaşıyoruz. Şimdi biz, x = 6 dediğimizde y = 4 sonucuna ulaşmak istiyoruz. x = 6 ile başlayıp, f(3) = 4’e ulaşabilmek için, fonksiyonu f(x-3) = y şeklinde düzenlemeliyiz. Bu sayede, x = 6 dediğimizde, fonksiyonda f(6-3) = f(3)’e ulaşırız.
Orijinal fonksiyonda f(3) = 4 olduğunu biliyorduk. x = 6 yazarak, x = 3 ile ulaşabildiğimiz sonuca ulaşabilmiş olduk. Yani fonksiyonu 3 birim sağa öteledik.
Özetlemek gerekirse:
x ekseninde a birim sağa öteliyorsak, f(x - a) = y kullanırız.
x ekseninde a birim sola öteliyorsak f(x + a) = y kullanırız.
Fonksiyon grafiğinde y ekseninde öteleme nasıl yapılır?
y = f(x) fonksiyonunun grafiği bize verilmiş olsun. Birlikte düşünelim: Bir fonksiyonu y ekseninde 3 birim yukarı nasıl öteleriz?
Fonksiyonu istediğin şekilde hayal et. Belki doğrusal, belki bir parabol, belki daha karmaşık bir fonksiyon. Bu grafiği y ekseninde 3 birim yukarı ötelemek demek, aynı x değeri, artık y yerine y + 3 karşılığını alsın demek.
Peki, diyelim ki orijinal fonksiyonda x = 3 dediğimizde y = 4 sonucuna ulaşıyoruz. Şimdi biz, x = 3 dediğimizde y = 4 yerine y = 7 sonucuna ulaşmak istiyoruz. Yani, f(x) = y iken, aynı değeri için f(x) = y + 3 bulmak istiyoruz.
Böylece, baştaki x = 3 ve y = 4 bilgisini kullanarak, x = 3 iken f(x) = y + 3 = 4 + 3 sonucuna ulaşıyoruz. Yani fonksiyonu 3 birim yukarı öteledik.
Özetlemek gerekirse:
y ekseninde a birim yukarı öteliyorsak, f(x) = y + 3 kullanırız.
y ekseninde a birim aşağı öteliyorsak f(x) = y - 3 kullanırız.
