Örnek: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlı f(x) eşittir mutlak x eksi a artı mutlak x artı b fonksiyon grafiği çizilmiştir.
Buna göre A çarpı B işleminin sonucu kaçtır?
Şimdi burada verilen grafikte eksi 5'in ve 4'ün kritik noktası olduğunu görüyoruz.
O halde f(x) fonksiyonunda kritik noktayı bulmak için mutlak değerde her zaman mutlağın içerisi 0'a eşitlenir.
O halde x eksi a eşittir 0 ise x'imiz buradan a gelmiş oluyor.
Yine aynı şekilde ilk x artı b eşittir oluyor.
Şimdi a -5 de olabilir 4 de olabilir.
Herhangi biri olabilir çünkü çarpımı dediği için sonuç değişmeyecektir.
O halde a'yı 4 kabul edelim eksi b eşittir -5 ise b'si de buradan 5 gelmiş oluyor.
O halde bana a çarpı b'yi sormuş.
4 çarpı 5'ten cevabımız fonksiyonun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Şimdi öncelikle verilen fonksiyonun aralıklarını hesaplayalım, aralıkları hesaplamamız için kritik noktayı bulmamız gerekiyor.
Nasıl buluyorduk?
Mutlağın içerisini 0'a eşitleyelim.
x eksi 2 eşittir 0 ise x'imiz 2, x artı 4 eşittir 0 ise x'imiz buradan -4.
Şimdi aralıkları hesaplayalım x'im eksi 4'ten küçük olabilir, x'im eksi veya x'im 2'den büyük veya eşit 2 olabilir.
Şimdi hesaplayalım mutlak dışarı nasıl çıkar?
x'im eksi 4'ten küçük ise x eksi 2 negatif çıkacaktır, eksi x artı 2 eksi ile çarpıyorum.
Yine aynı şekilde x artı 4 negatif çıkacaktır fakat önünde eksi var.
Eksi eksi artı yaptığı için x artı 4 diye çıkar, işlemin sonucu buradan 6 gelmiş oldu.
x'im eksi 4 ile 2 aralığında ise burada ise x'e 0 verelim mesela 0 verdik negatif olduğunu gördük.
O halde x eksi 2 nedir burada?
Eksi olarak çıkacaktır eksi x artı pozitif, pozitifse mutlak aynen dışarı çıkar fakat önünde eksi var eksiyi dağıtıyorum eksi x eksi 4 buradan sonucumuz eksi 2x eksi 2 gelmiş oldu.
Devam ediyorum, x'im 2'den büyük ise zaten burası pozitif çıkar aynen x eksi 2.
Burası da aynı şekilde pozitif çıkacaktır fakat önünde eksi var o yüzden eksiyi içeri dağıtıyorum eksi x eksi 4 eksi x'ler birini götürdü cevabımız eksi 6 gelmiş oldu.
Şimdi ise koordinat sistemi çizerek grafiğine bakalım, verilen grafikte kritik noktalarımız nelerdi?
-4 ve 2.
Bunu grafikte gösterdik, şimdi ne bulduk burada?
y eşittir 6 doğrusu y eşittir eksi 6 doğrusu bulduk.
Şimdi burada x'im 4'ten eksi 4'ten küçük için y eşittir 6 doğrusu demiş, dahili var mı?
Yok.
O halde tam şöyle 6'nın hizasında içi boş olacak şekilde şöyle bir doğru çizdim yine aynı şekilde burada y eşittir -6 demiş fakat x 2'den büyük.
İçi dolu olduğu için de yine sağa doğru çizdim.
Şimdi burada nedir y eşittir eksi 2x eksi 2.
Burada fonksiyonu çizebilmek için önce x'e 0 verdim y'si eksi 2, y'ye 0 verdim eksi 2x eşittir 2, x'imiz buradan eksi 1 gelmiş oldu yani x noktasında eksi 1 y noktasında ise eksi 2 olacak şekilde biz doğrumuzu çizelim, çizilen doğru ise y eşittir eksi 2x eksi 2 doğrusunun grafiği.
Şimdi burada x gördüğümüz yere biz eksi 4 yazarsak eşitlik var mı eksi 4'te eşitlik var mı?
Var.
O halde burada da içini dolduruyoruz, yine aynı şekilde x gördüğümüz yere bu sefer 2 yazacak olursak buradan ne geldi?
Eksi 4.
x eşittir 2 yazdığımızda y'si eksi 6 gelmiş oluyor.
Yine burada da dahillik var mı?
Var işte benim burada artık görüntü kümem görüntü kümesini sormuş çünkü, görüntü kümesi kapalı aralık eksi dahillik olduğu için köşeli parantez.
İşte bu benim görüntü kümem.
Buna göre A çarpı B işleminin sonucu kaçtır?
Şimdi burada verilen grafikte eksi 5'in ve 4'ün kritik noktası olduğunu görüyoruz.
O halde f(x) fonksiyonunda kritik noktayı bulmak için mutlak değerde her zaman mutlağın içerisi 0'a eşitlenir.
O halde x eksi a eşittir 0 ise x'imiz buradan a gelmiş oluyor.
Yine aynı şekilde ilk x artı b eşittir oluyor.
Şimdi a -5 de olabilir 4 de olabilir.
Herhangi biri olabilir çünkü çarpımı dediği için sonuç değişmeyecektir.
O halde a'yı 4 kabul edelim eksi b eşittir -5 ise b'si de buradan 5 gelmiş oluyor.
O halde bana a çarpı b'yi sormuş.
4 çarpı 5'ten cevabımız fonksiyonun grafiğini çizerek görüntü kümesini bulunuz.
Şimdi öncelikle verilen fonksiyonun aralıklarını hesaplayalım, aralıkları hesaplamamız için kritik noktayı bulmamız gerekiyor.
Nasıl buluyorduk?
Mutlağın içerisini 0'a eşitleyelim.
x eksi 2 eşittir 0 ise x'imiz 2, x artı 4 eşittir 0 ise x'imiz buradan -4.
Şimdi aralıkları hesaplayalım x'im eksi 4'ten küçük olabilir, x'im eksi veya x'im 2'den büyük veya eşit 2 olabilir.
Şimdi hesaplayalım mutlak dışarı nasıl çıkar?
x'im eksi 4'ten küçük ise x eksi 2 negatif çıkacaktır, eksi x artı 2 eksi ile çarpıyorum.
Yine aynı şekilde x artı 4 negatif çıkacaktır fakat önünde eksi var.
Eksi eksi artı yaptığı için x artı 4 diye çıkar, işlemin sonucu buradan 6 gelmiş oldu.
x'im eksi 4 ile 2 aralığında ise burada ise x'e 0 verelim mesela 0 verdik negatif olduğunu gördük.
O halde x eksi 2 nedir burada?
Eksi olarak çıkacaktır eksi x artı pozitif, pozitifse mutlak aynen dışarı çıkar fakat önünde eksi var eksiyi dağıtıyorum eksi x eksi 4 buradan sonucumuz eksi 2x eksi 2 gelmiş oldu.
Devam ediyorum, x'im 2'den büyük ise zaten burası pozitif çıkar aynen x eksi 2.
Burası da aynı şekilde pozitif çıkacaktır fakat önünde eksi var o yüzden eksiyi içeri dağıtıyorum eksi x eksi 4 eksi x'ler birini götürdü cevabımız eksi 6 gelmiş oldu.
Şimdi ise koordinat sistemi çizerek grafiğine bakalım, verilen grafikte kritik noktalarımız nelerdi?
-4 ve 2.
Bunu grafikte gösterdik, şimdi ne bulduk burada?
y eşittir 6 doğrusu y eşittir eksi 6 doğrusu bulduk.
Şimdi burada x'im 4'ten eksi 4'ten küçük için y eşittir 6 doğrusu demiş, dahili var mı?
Yok.
O halde tam şöyle 6'nın hizasında içi boş olacak şekilde şöyle bir doğru çizdim yine aynı şekilde burada y eşittir -6 demiş fakat x 2'den büyük.
İçi dolu olduğu için de yine sağa doğru çizdim.
Şimdi burada nedir y eşittir eksi 2x eksi 2.
Burada fonksiyonu çizebilmek için önce x'e 0 verdim y'si eksi 2, y'ye 0 verdim eksi 2x eşittir 2, x'imiz buradan eksi 1 gelmiş oldu yani x noktasında eksi 1 y noktasında ise eksi 2 olacak şekilde biz doğrumuzu çizelim, çizilen doğru ise y eşittir eksi 2x eksi 2 doğrusunun grafiği.
Şimdi burada x gördüğümüz yere biz eksi 4 yazarsak eşitlik var mı eksi 4'te eşitlik var mı?
Var.
O halde burada da içini dolduruyoruz, yine aynı şekilde x gördüğümüz yere bu sefer 2 yazacak olursak buradan ne geldi?
Eksi 4.
x eşittir 2 yazdığımızda y'si eksi 6 gelmiş oluyor.
Yine burada da dahillik var mı?
Var işte benim burada artık görüntü kümem görüntü kümesini sormuş çünkü, görüntü kümesi kapalı aralık eksi dahillik olduğu için köşeli parantez.
İşte bu benim görüntü kümem.
