Ters Fonksiyon Kavramı

Bir fonksiyonun tersi f A'dan B'ye eşittir f x birebir ve örten bir fonksiyon olsun.
Bu durumda Y eşittir f x fonksiyonun tersi f'in tersi b'den A'ya x eşittir f'in tersi y'dir.
Yani bir fonksiyonun tersinden bahsedebilmemiz için birebir ve örten olması gerekiyor.
Ve aynı zamanda bir f fonksiyonu A'dan B'ye tanımlayacak olursak B'den A'ya f'in tersini tanımlarız.
Yani tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesiyle ters fonksiyonu bulmuş oluyoruz.
Burada da gösterdiğimiz gibi y eşittir f x de x ve y yer değiştirecektir.
Yani bir örnek verecek olursak f 2, 7'ye eşit olsun.
Bu ikisinin yer değiştirmesiyle artı f'in tersi 7 2'ye eşit olmuş olur.
Şimdi örnekler üzerinden devam edelim.
Örnek.
f a'dan b fonksiyonu şekilde tanımlanmıştır.
Buna göre f'in tersi a eksi f'in tersi b artı f'in tersi c ifadesinin eşiti nedir?
Şimdi verilen fonksiyon A'dan B'ye.
O halde A kümesi tanım kümesi, B kümesi görüntü kümesi.
O halde başlayalım.
1 elemanı nereye gitmiş?
C'ye yani F 1 eşittir C yazabilirim.
Peki ben neyi öğrendim?
Bu değiştirdiğim takdirde artık fonksiyonun tersini yazabilirim.
f'in tersi C neye eşit olmuş oluyor buradan?
Bire.
Şimdi iki elemanına bakalım.
f 2.
Nereye gitmiş?
A'ya.
Yer değiştirdiğim takdirde f'in tersi.
A neye eşit burada?
2'ye.
Şimdi 3 elemanına bakalım.
f 3 eşittir 3 B'ye gitmiş.
Gene yer değiştirdiğim takdirde fonksiyonun tersi f eşitmiş 3'e.
Peki f'in tersi?
A'yı artık bulduk.
O da iki.
eksi f'in tersi b 3'e artı f'in tersi c O da bir.
Buradan cevabımız eksi 1 artı 1'den 0 gelmiş oluyor.
Örnek.
f x eksi 3 eşittir 3x artı bir olduğuna göre f'in tersi 6 değerini bulunuz.
Şimdi öncelikle fonksiyonun tersinden bahsetmiş.
O halde biz yine tanım kümesi ile görüntü kelimesini şöyle yer değiştirelim.
Yer değiştirdiğimiz takdirde artık f'in tersi 3x artı bir neye eşit olmuş oluyor?
x eksi 3'e.
F'in tersi içerisinde ne var?
6 var.
O halde ben burada içerisinin 6 olmasını istiyorum.
6 olması için x'e vereceğim değeri hesaplayalım.
3x artı 1 eşittir 6, 3x eşittir 5.
x'imiz buradan 5 bölü 3 gelmiş oluyor.
O halde verilen fonksiyonunda x gördüğümüz üzere 5 bölü 3 yazarsak f 6'yı bulmuş oluyoruz.
O halde f'in tersi 6 eşittir.
Eşitliğinde de 5 bölü üç yazacağız.
Her taraf da 5 bölü 3 yazdığımızı düşünürsek içerisinde 6 bulduk.
Burada da 5 bölü üç eksi üç yazmış oluyoruz.
Yani f'in tersi 6 buradan ne gelmiş oldu?
5 eksi dokuz bölü üçten eksi 4 bölü üç gelmiş oluyor.
Şimdi ise bir özellikten bahsedelim.
f, r'den r'ye f x eşittir X artı B için f'in tersi x eşittir x eksi B bölü A olur.
Şimdi bu ne demek?
Öncelikle bir fonksiyonun tersini bulabilmek için X artı b gibi bir ifadede x'i yalnız bırakmamız gerekiyor.
O halde başlayalım.
f x şimdi B'yi karşıya attık.
eksi b eşittir a x her tarafı a'ya böldüm a'lar birbirini götürdü.
Peki f x eksi b bölü a neye eşit olmuş oldu?
x'e.
Şimdi ise burada şöyle bir özellik var.
f x gördüğümüz yere artık burada x yazacağız.
X gördüğümüz yere de artık burada f'in tersi x yazacağız.
O halde burada f x gördüğümüz yere x yazacak olursak x eksi b bölü neye eşit olmuş oldu?
Aslında fonksiyonun tersine.
Demek ki fonksiyonun tersini bulmak demek ne demekmiş?
Verilen fonksiyonda x'i yalnız bırakmak demekmiş.
Şimdi bir tane şöyle örnek yazacak olursak f x mesela x artı 2 olsun.
Bu fonksiyonun tersini nasıl bulacağız?
Direkt artı 2'yi karşıya attık.
x eksi 2 neye olmuş oldu?
x'e.
f x gördüğümüz yere ne yazıyorduk biz?
x yazıyorduk.
x eksi 2 peki.
X gördüğümüz yere ne yazıyoruz artık?
fonksiyonun tersi.
İşte fonksiyonun tersini ne bulmuş olduk?
Biz burada x eksi 2 bulmuş olduk.