Merhaba arkadaşlar, konumuz ortalama değişim hızı.
Verilen birinci grafikte A, f(A)'ya, B de f(B)'ye gitsin.
Ortalama değişim hızını bulurken f(B) den f(A)'yı çıkartıyoruz.
Bölü b'den de a'yı çıkartıyoruz.
Birinci grafikte f(b)'nin f(a)'dan büyük olduğunu görüyoruz.
Biz buna ortalama değişim hızı pozitiftir ve fonksiyon artandır diyoruz.
Gelelim ikinci grafiğe.
İkinci grafikte de a, f(a)'ya, b f(b)'ye gitsin ve ab aralığında bu sefer f(b),f(a)'dan küçük olsun.
Biz buna ortalama değişim hızı negatif ve fonksiyon azalandır diyoruz.
Ortalama değişim hızını da bu formül ile buluyoruz.
Şimdi bununla ilgili örneklere bakalım.
Örnek aşağıda y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y eşittir f(x) fonksiyonunun 4 6 kapalı aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.
Şimdi ortalama değişim hızını nasıl buluyorduk?
Verilen kapalı aralıkta f(6) eksi f(4) bölü 6 eksi 4 ile bulunur.
Peki f(6).
Grafiğe bakacak olursak f(6) nereye gitmiş?
10'a.
Eksi 4 nereye gitmiş?
2'ye.
bölü 6 eksi 4 10'dan 2 çıkardım 8 6'dan 4 çıkardım, 2 cevabımız 4 gelmiş oldu.
Örnek.
f(x) eşittir x artı 6 bölü x eksi 2 fonksiyonunun 3 6 aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
Şimdi öncelikle ortalama değişim hızının hemen formülünü yazalım.
Aralığı vermiş 3 ve 6 aralık diye.
f(6) eksi f(3) bölü 6 eksi 3.
Peki f(x) fonksiyonunu da vermiş.
x gördüğümüz yere 6 yazıyoruz 6 6, 12 bölü.
6'dan 2 çıkardım 4 eksi x Gördüğümüz yere şimdi 3 yazıyoruz.
6 3 daha 9 bölü 3'ten 2 çıkardım 1.
Bölü 6'dan 3 çıkardım 3.
12'yi 4'e böldüm 3.
9'dan 9'u 1'e böldüm 9.
Peki devam ediyorum 3.
3'ten 9 çıkardım eksi 6 bölü 3.
Cevabımız buradan eksi 2 gelmiş oluyor.
Örnek.
f(x) eşittir x küp artı ax fonksiyonunun eksi 2 4 kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 24 olduğuna göre a kaçtır?
Ortalama değişim hızının hemen formülünü yazalım.
Kapalı aralık eksi 2 ve 4 vermiş.
O halde f(4) eksi x eksi, 2 bölü 4 eksi eksi 2.
Bu neye eşitmiş?
24'e.
O halde fonksiyonda x gördüğümüz yere 4 yazacağız.
4'ün Küpü.
4 kere 4 16.
64 artı 4a.
x gördüğümüz yere yazdık.
Eksi.
Şimdi eksik gördüğümüz yere eksi 2 yazıyoruz.
Eksi 2'nin küpü eksi 8.
Eksi 2 yazdık, eksi 2a.
Şöyle yapacak olursak eksiyi içeri dağıtacağız.
Bölü eksi eksi artı yaptı, 6 eşittir 24.
Peki eksiyi içeri dağıtalım 64 artı 4a.
Eksi artı yapar artık.
8 eksi eksi artı yaptı, 2a eşittir 6 ve 24'ü çarptım buradan 144 geldi.
Düzenleyelim 4 5 6 6 a artı 64 8 daha 72 eşittir 144.
Karşıya attım 6a eşittir 72 ise a buradan 12 gelmiş oluyor.
Verilen birinci grafikte A, f(A)'ya, B de f(B)'ye gitsin.
Ortalama değişim hızını bulurken f(B) den f(A)'yı çıkartıyoruz.
Bölü b'den de a'yı çıkartıyoruz.
Birinci grafikte f(b)'nin f(a)'dan büyük olduğunu görüyoruz.
Biz buna ortalama değişim hızı pozitiftir ve fonksiyon artandır diyoruz.
Gelelim ikinci grafiğe.
İkinci grafikte de a, f(a)'ya, b f(b)'ye gitsin ve ab aralığında bu sefer f(b),f(a)'dan küçük olsun.
Biz buna ortalama değişim hızı negatif ve fonksiyon azalandır diyoruz.
Ortalama değişim hızını da bu formül ile buluyoruz.
Şimdi bununla ilgili örneklere bakalım.
Örnek aşağıda y eşittir f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
Buna göre y eşittir f(x) fonksiyonunun 4 6 kapalı aralığındaki ortalama değişim hızını bulunuz.
Şimdi ortalama değişim hızını nasıl buluyorduk?
Verilen kapalı aralıkta f(6) eksi f(4) bölü 6 eksi 4 ile bulunur.
Peki f(6).
Grafiğe bakacak olursak f(6) nereye gitmiş?
10'a.
Eksi 4 nereye gitmiş?
2'ye.
bölü 6 eksi 4 10'dan 2 çıkardım 8 6'dan 4 çıkardım, 2 cevabımız 4 gelmiş oldu.
Örnek.
f(x) eşittir x artı 6 bölü x eksi 2 fonksiyonunun 3 6 aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?
Şimdi öncelikle ortalama değişim hızının hemen formülünü yazalım.
Aralığı vermiş 3 ve 6 aralık diye.
f(6) eksi f(3) bölü 6 eksi 3.
Peki f(x) fonksiyonunu da vermiş.
x gördüğümüz yere 6 yazıyoruz 6 6, 12 bölü.
6'dan 2 çıkardım 4 eksi x Gördüğümüz yere şimdi 3 yazıyoruz.
6 3 daha 9 bölü 3'ten 2 çıkardım 1.
Bölü 6'dan 3 çıkardım 3.
12'yi 4'e böldüm 3.
9'dan 9'u 1'e böldüm 9.
Peki devam ediyorum 3.
3'ten 9 çıkardım eksi 6 bölü 3.
Cevabımız buradan eksi 2 gelmiş oluyor.
Örnek.
f(x) eşittir x küp artı ax fonksiyonunun eksi 2 4 kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 24 olduğuna göre a kaçtır?
Ortalama değişim hızının hemen formülünü yazalım.
Kapalı aralık eksi 2 ve 4 vermiş.
O halde f(4) eksi x eksi, 2 bölü 4 eksi eksi 2.
Bu neye eşitmiş?
24'e.
O halde fonksiyonda x gördüğümüz yere 4 yazacağız.
4'ün Küpü.
4 kere 4 16.
64 artı 4a.
x gördüğümüz yere yazdık.
Eksi.
Şimdi eksik gördüğümüz yere eksi 2 yazıyoruz.
Eksi 2'nin küpü eksi 8.
Eksi 2 yazdık, eksi 2a.
Şöyle yapacak olursak eksiyi içeri dağıtacağız.
Bölü eksi eksi artı yaptı, 6 eşittir 24.
Peki eksiyi içeri dağıtalım 64 artı 4a.
Eksi artı yapar artık.
8 eksi eksi artı yaptı, 2a eşittir 6 ve 24'ü çarptım buradan 144 geldi.
Düzenleyelim 4 5 6 6 a artı 64 8 daha 72 eşittir 144.
Karşıya attım 6a eşittir 72 ise a buradan 12 gelmiş oluyor.
Sıkça Sorulan Sorular
Fonksiyonun ortalama değişim hızı nasıl hesaplanır?
Bir fonksiyonun ortalama değişim hızını bulmak için fonksiyonun değerlerinin nasıl değiştiğine bakmalıyız. Tanım kümesindeki noktalar değiştikçe görüntü kümesindeki değerler nasıl değişiyor? İşte bu y eksenindeki değerlerin farkını x eksenindeki değişime böldüğümüzde fonksiyonun ortalama değişim hızını buluruz. Grafikte gördüğümüzde daha kolay anlaşılacaktır.
Ortalama değişim hızı =
Ortalama değişim hızı formülü nedir?
f(x) fonksiyonunun [a,b] aralığındaki ortalama değişim hızının formülü olur.
Ortalama değişim hızı eksi olur mu?
Gördüğümüz grafikte [a,b] aralığında f(b) < f(a) olduğundan ortalama değişim hızı negatif yani eksi olur. Bu aralıkta fonksiyon azalandır.
