Merhaba arkadaşlar, konumuz fonksiyonlarda uygulamalar.
Bu dersimiz de fonksiyonların grafiklerini öğreneceğiz.
Örnek üzerinden başlayalım.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Öncelikle verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümesini bulmayı öğrenelim.
A şıkkı ile başlayalım.
A şıkkı doğrusal bir fonksiyondur.
Ben bunun eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar geldiğini biliyorum.
O halde tanım kümesinin aralığını bulurken X ekseninde aldığı değere bakacağız.
Eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar değer alabilir.
O halde biz buna ne diyoruz?
Eksi sonsuzdan artı sonsuza.
Tanım kümesi ne olmuş oldu?
Tüm reel sayılar.
Görüntü kümesine bakalım.
Görüntü kümesi de Y ekseninde aldığı değerdir.
Yani şöyle artı sonsuzdan eksi sonsuza yine şöyle yazacak olursak eksi sonsuz, artı sonsuz.
Yani tüm reel sayılar benim görüntü kümem olmuş oluyor.
b şıkkına bakalım.
b şıkkında tanım kümesine bakacak olursak yine x ekseninde aldığı değer.
Bu da eksi sonsuzdan geldiğini biliyorum.
Eksi sonsuzdan şöyle bu da yine artı sonsuza kadar gittiğini biliyorum.
O halde eksi sonsuzdan artı sonsuza diyoruz.
Bu nedir?
Tüm reel sayılara.
Görüntü kümesine bakalım.
Görüntü kümesinde ise y ekseninde aldığı değer.
Şöyle grafikte y ekseninde bir karşılığı olan değerlere bakacak olursak nerede duruyor?
İkide duruyor.
Nereden eksi sonsuzdan 2'ye.
O halde eksi sonsuz iki kapalı aralık benim görüntü kümesinin aralığıdır.
C şıkkına bakalım.
C şıkkında ise x eksenindeki eksi sonsuza geldiğini biliyoruz.
Şöyle X ekseninde aldığı değerlere bakacak olursak eksi sonsuzdan gelip nerede durmuş?
5'te.
Eksi sonsuz 5 kapalı aralık.
Şöyle yazıyoruz.
Görüntü kelimesine bakalım.
Y ekseninde aldığı değer yine Y eksenine eksi sonsuzdan geldiğini biliyorum.
Eksi sonsuza.
Şöyle nerede durmuş?
4'te.
O halde şuradan alacak olursak eksi sonsuz 4 kapalı aralık.
D şıkkına bakalım.
d şıkkında ise tanım kümesi x ekseninde aldığı değerlere bakacak olursak nereden başladık?
Eksi 2'den açık aralık dahil değil.
Peki üç burada kapalı aralık eksi 2'den 3'e kapalı aralık.
Görüntü kümesine bakacak olursak, görüntü kümesinde Y ekseninde aldığı değer nedir?
Sadece yani bir noktası ve aynı zamanda bu fonksiyonu üç nereye gitmiş?
2'ye.
2'de de dahil olduğunu biliyoruz.
O zaman bir ve iki noktasında görüntü kümesi tanımlıdır.
Bu şekilde şimdi konumuza devam edelim.
Doğrusal fonksiyonların grafik çizimi.
Verilen doğrusal fonksiyonun grafiğini çizebilmek için x eksenini kesen nokta ve Y eksenini kesen noktayı bulmamız gerekiyor.
X eksenini kesen noktayı bulmak için y'ye sıfır verip x'i buluruz.
Y eksenini kesen noktayı bulmak için x'e sıfır verip y'yi buluruz.
Şimdi örnek üzerinden başlayalım.
f R'den R'ye olmak üzere f x eşittir 2x artı 8 doğrusal fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Şimdi öncelikle x'i bulabilmek için Y'ye 0 verecek olursak f x neye eşitti?
Y'ye.
Yani şöyle yazalım.
Y eşittir 2x artı 8.
Y'ye 0 verdik.
Sıfır eşittir 2x artı 8.
Karşı attık.
Eksi 8 eşittir 2x.
x'imiz buradan eksi 4 gelmiş oldu.
x'i bulduk.
Peki x'e 0 verecek olursak y eşittir iki çarpı sıfır artı 8'den y'si de buradan 8 gelmiş oldu.
Y eksenini kesen noktayı da bulmuş olduk.
O halde X ekseninde eksi dördü buldum, Y ekseninde sekizi buldum ve buradan geçen doğruyu çiziyorum.
İşte çizdiğim doğru y eşittir f x fonksiyonu yani 2x artı 8 fonksiyonun grafiğidir.
Şimdi ise grafiği verilen doğrusal fonksiyonun denklemini yazmayı öğrenelim.
Verilen fonksiyonun grafiği f x fonksiyonun grafiği olsun.
Bunun denklemini yazarken x eksenini kesen nokta a, y eksenini kesen nokta b olacak şekilde x bölü a artı y bölü b eşittir bir yazılır ve burada biz y'yi yani f x'i yalnız bırakırsak f x denklemini bulmuş oluruz.
Şimdi örnek üzerinden devam edelim.
Örnek.
f fonksiyonun tanım aralığı verilmiş.
f x'ten sıfıra kadar boyalı bölgenin alanı şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre f eksi 2 kaçtır?
Bu ne demek?
Boyalı bölgenin eksi 2 noktasındaki alanını soruyor.
Peki boyalı bölge nedir?
Yamuktur.
Yamuğun alanını nasıl buluyorduk?
Üst taban artı alt taban bölü iki çarpı yükseklik.
Peki üst tabanım ne?
Burada 4.
Artı alt tabanım ne?
Eksi iki noktasını iki noktasındaki değeri?
Yani bu ne demek?
f eksi iki demek.
Peki üst taban artı alt taban alt tabanım f eksi iki bölü iki çarpı yükseklik.
Yüksekliğim ne burada?
x yani eksi iki iki birim olacak.
Alan negatif olmaz.
O halde burada 2'ler birbirini götürdü.
Yani soru bana artık dört artı f eksi 2'yi sormuş.
Peki f fonksiyonunu nasıl bulacağız?
Burada doğrusal bir grafik verilmiş.
Doğrusal grafiğin denklemini nasıl yazıyorduk?
x bölü x'i kesen nokta.
y bölü y'yi kesen nokta.
Eşittir bir.
Buradan eşit paydaları eşitleyelim.
2x artı y eşittir içler dışlar 4.
y'yi yalnız bıraktım.
y neye eşit?
4 eksi 2x'e.
Yani f x'imizi bulduk artık.
4 eksi 2x.
Peki soru bana f eksi iki istemiş, f eksi iki neye eşit olur?
Dört eksi iki çarpı eksi 2'den cevabımız eksi eksi artı yaptı İki kere iki, dört, dört, dört daha sekiz.
Artık sekiz bulmuş olduk.
Yani dört artı 8'den cevabımız on iki gelmiş oluyor.
Bu dersimiz de fonksiyonların grafiklerini öğreneceğiz.
Örnek üzerinden başlayalım.
Aşağıda grafiği verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Öncelikle verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümesini bulmayı öğrenelim.
A şıkkı ile başlayalım.
A şıkkı doğrusal bir fonksiyondur.
Ben bunun eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar geldiğini biliyorum.
O halde tanım kümesinin aralığını bulurken X ekseninde aldığı değere bakacağız.
Eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar değer alabilir.
O halde biz buna ne diyoruz?
Eksi sonsuzdan artı sonsuza.
Tanım kümesi ne olmuş oldu?
Tüm reel sayılar.
Görüntü kümesine bakalım.
Görüntü kümesi de Y ekseninde aldığı değerdir.
Yani şöyle artı sonsuzdan eksi sonsuza yine şöyle yazacak olursak eksi sonsuz, artı sonsuz.
Yani tüm reel sayılar benim görüntü kümem olmuş oluyor.
b şıkkına bakalım.
b şıkkında tanım kümesine bakacak olursak yine x ekseninde aldığı değer.
Bu da eksi sonsuzdan geldiğini biliyorum.
Eksi sonsuzdan şöyle bu da yine artı sonsuza kadar gittiğini biliyorum.
O halde eksi sonsuzdan artı sonsuza diyoruz.
Bu nedir?
Tüm reel sayılara.
Görüntü kümesine bakalım.
Görüntü kümesinde ise y ekseninde aldığı değer.
Şöyle grafikte y ekseninde bir karşılığı olan değerlere bakacak olursak nerede duruyor?
İkide duruyor.
Nereden eksi sonsuzdan 2'ye.
O halde eksi sonsuz iki kapalı aralık benim görüntü kümesinin aralığıdır.
C şıkkına bakalım.
C şıkkında ise x eksenindeki eksi sonsuza geldiğini biliyoruz.
Şöyle X ekseninde aldığı değerlere bakacak olursak eksi sonsuzdan gelip nerede durmuş?
5'te.
Eksi sonsuz 5 kapalı aralık.
Şöyle yazıyoruz.
Görüntü kelimesine bakalım.
Y ekseninde aldığı değer yine Y eksenine eksi sonsuzdan geldiğini biliyorum.
Eksi sonsuza.
Şöyle nerede durmuş?
4'te.
O halde şuradan alacak olursak eksi sonsuz 4 kapalı aralık.
D şıkkına bakalım.
d şıkkında ise tanım kümesi x ekseninde aldığı değerlere bakacak olursak nereden başladık?
Eksi 2'den açık aralık dahil değil.
Peki üç burada kapalı aralık eksi 2'den 3'e kapalı aralık.
Görüntü kümesine bakacak olursak, görüntü kümesinde Y ekseninde aldığı değer nedir?
Sadece yani bir noktası ve aynı zamanda bu fonksiyonu üç nereye gitmiş?
2'ye.
2'de de dahil olduğunu biliyoruz.
O zaman bir ve iki noktasında görüntü kümesi tanımlıdır.
Bu şekilde şimdi konumuza devam edelim.
Doğrusal fonksiyonların grafik çizimi.
Verilen doğrusal fonksiyonun grafiğini çizebilmek için x eksenini kesen nokta ve Y eksenini kesen noktayı bulmamız gerekiyor.
X eksenini kesen noktayı bulmak için y'ye sıfır verip x'i buluruz.
Y eksenini kesen noktayı bulmak için x'e sıfır verip y'yi buluruz.
Şimdi örnek üzerinden başlayalım.
f R'den R'ye olmak üzere f x eşittir 2x artı 8 doğrusal fonksiyonun grafiğini çiziniz.
Şimdi öncelikle x'i bulabilmek için Y'ye 0 verecek olursak f x neye eşitti?
Y'ye.
Yani şöyle yazalım.
Y eşittir 2x artı 8.
Y'ye 0 verdik.
Sıfır eşittir 2x artı 8.
Karşı attık.
Eksi 8 eşittir 2x.
x'imiz buradan eksi 4 gelmiş oldu.
x'i bulduk.
Peki x'e 0 verecek olursak y eşittir iki çarpı sıfır artı 8'den y'si de buradan 8 gelmiş oldu.
Y eksenini kesen noktayı da bulmuş olduk.
O halde X ekseninde eksi dördü buldum, Y ekseninde sekizi buldum ve buradan geçen doğruyu çiziyorum.
İşte çizdiğim doğru y eşittir f x fonksiyonu yani 2x artı 8 fonksiyonun grafiğidir.
Şimdi ise grafiği verilen doğrusal fonksiyonun denklemini yazmayı öğrenelim.
Verilen fonksiyonun grafiği f x fonksiyonun grafiği olsun.
Bunun denklemini yazarken x eksenini kesen nokta a, y eksenini kesen nokta b olacak şekilde x bölü a artı y bölü b eşittir bir yazılır ve burada biz y'yi yani f x'i yalnız bırakırsak f x denklemini bulmuş oluruz.
Şimdi örnek üzerinden devam edelim.
Örnek.
f fonksiyonun tanım aralığı verilmiş.
f x'ten sıfıra kadar boyalı bölgenin alanı şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre f eksi 2 kaçtır?
Bu ne demek?
Boyalı bölgenin eksi 2 noktasındaki alanını soruyor.
Peki boyalı bölge nedir?
Yamuktur.
Yamuğun alanını nasıl buluyorduk?
Üst taban artı alt taban bölü iki çarpı yükseklik.
Peki üst tabanım ne?
Burada 4.
Artı alt tabanım ne?
Eksi iki noktasını iki noktasındaki değeri?
Yani bu ne demek?
f eksi iki demek.
Peki üst taban artı alt taban alt tabanım f eksi iki bölü iki çarpı yükseklik.
Yüksekliğim ne burada?
x yani eksi iki iki birim olacak.
Alan negatif olmaz.
O halde burada 2'ler birbirini götürdü.
Yani soru bana artık dört artı f eksi 2'yi sormuş.
Peki f fonksiyonunu nasıl bulacağız?
Burada doğrusal bir grafik verilmiş.
Doğrusal grafiğin denklemini nasıl yazıyorduk?
x bölü x'i kesen nokta.
y bölü y'yi kesen nokta.
Eşittir bir.
Buradan eşit paydaları eşitleyelim.
2x artı y eşittir içler dışlar 4.
y'yi yalnız bıraktım.
y neye eşit?
4 eksi 2x'e.
Yani f x'imizi bulduk artık.
4 eksi 2x.
Peki soru bana f eksi iki istemiş, f eksi iki neye eşit olur?
Dört eksi iki çarpı eksi 2'den cevabımız eksi eksi artı yaptı İki kere iki, dört, dört, dört daha sekiz.
Artık sekiz bulmuş olduk.
Yani dört artı 8'den cevabımız on iki gelmiş oluyor.
Sıkça Sorulan Sorular
Grafiği verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümesi nasıl bulunur?
Fonksiyon grafiğindeki x ekseninde aldığı değerler tanım kümesini ve y ekseninde aldığı değerler ise fonksiyonun görüntü kümesini verir. Bunu örnek bir grafikle gösterelim.
Doğrusal fonksiyonların grafiği nasıl çizilir?
Doğrusal fonksiyonun grafiğini x ve y eksenlerini kestiği noktalara göre çizebiliriz. Örneğin, a, b reel sayı ve sıfırdan farklı olmak üzere, f: R → R, x eksenini (a,0) ve y eksenini (0,b) noktasında kesen y = f(x) doğrusal fonksiyonunun grafiğini çizmek için öncelikle (a,0) ve (0,b) noktalarını işaretleyebiliriz. Çünkü fonksiyon bu noktalardan geçiyor.
Bu noktaları bir çizgi ile birleştirirsek istenen doğrusal fonksiyonu çizmiş oluruz.
Grafiği bilinen bir doğrusal fonksiyonun denklemi nedir?
Grafiği bilinen bir doğrusal fonksiyonun denklemini x ve y eksenlerini kestiği noktalara göre yazabiliriz.
a, b reel sayı ve sıfırdan farklı olmak üzere,
f: R → R, x eksenini (a,0) ve y eksenini (0,b) noktasında kesen y = f(x) doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiş olsun.
Örnek bir grafikle bunu gösterelim.
Grafiği verilen doğrusal fonksiyonun denklemi ’dir.
Bir fonksiyon grafiği gördüğümüzde nasıl yorumlar yapabiliriz?
Sorularda karşına en çok çıkan bazı nitelikler şunlardır:
- f(x)=a değerini sağlayan kaç farklı x olduğu, yani aynı a noktasını kaç farklı x sağlıyor?
- Fonksiyonun hangi aralıklarda artan, hangi aralıklarda azalan olduğu:(nerede x ilerledikçe y değerinde de artma görülüyor, nerede x değeri ilerledikçe y değerinde azalma görülüyor?
- Fonksiyonun maksimum ve minimum noktası: Fonksiyon en büyük y değerini hangi x noktasında almış, fonksiyon en küçük y değerini hangi x noktasında almış?
- Fonksiyonun tersinin nasıl bir grafiğe sahip olduğu: Fonksiyonun geçtiği her (x,y) noktasını ters çevirip (y,x) olarak yazarsak , fonksiyon bu noktalarda nasıl bir davranış sergilemiştir?
Fonksiyonlarda Uygulamalar ünitesinde bu sorular üzerinden ilerleyeceğiz, bir sonraki yazımızda görüşmek üzere.
