Merhaba sevgili arkadaşlar değişken değiştirme örneklerimizle devam ediyoruz.
Bu sorularımızda neye değişken vereceğimizi biz belirleyeceğiz.
Soru kendisi verecek ve biz oluşan integrali bulmamız gerekiyor arkadaşlar.
Bu soruda demiş ki küp kök x'e u deyin.
Şimdi her iki tarafın diferansiyelini alalım.
Burayı x üzeri bir bölü 3 olarak düşündünüz.
Türevini alırken bir bölü üçü başa indirdiniz ve bir azalttınız.
Eksi iki bölü üç dx'i koyduğumda yanına diferansiyel almış oldum.
Eşittir de bu burayı düzenleyelim.
Yukarıda dx var, aşağıda üç var ve x üzeri eksi iki bölü 3 olduğu için bu da paydadadır.
Üstü negatif olduğu için şu şekilde x kare eşittir du dedim.
Biz küp kök x'e u demiştik.
O halde burası küp kök x'in karesi yani u karedir.
Yani dx bölü üç u kare eşittir du'dur içler dışlar çarpımı yaparsanız dx eşittir üç u kare du elde ederiz.
Bu dursun yeni integralimizi yazalım.
Şimdi sinüs küp kök x yani sinüs küp kök x'e u demiştik.
Zaten sinüs u bölü küp kök x kare yani u kare.
Arkadaşlar dx yerine de 3u kare du bulmuştuk.
Üçü başa yazdım.
Bu karede içeriye yazdığınızda bu kareler sadeleşti.
Yani en son integrali üç integral sinüs u du'dur arkadaşlar elde edilen yeni integralimiz budur.
İkinci örneğimize geçelim.
İntegral kök x artı 6'dx'in integrali yine x artı altı x'tir.
u kare dönüşümü yapın diyor.
O zaman x artı 6 eşittir u kare dönüşümü yapacaksak her iki tarafın diferansiyelini alalım.
x artı 6'nın türevi birdir.
Bir çarpı dx'ten buraya dx yazdınız bu tarafta iki u türevimiz yanına du koydum ve diferansiyel almış oldunuz.
Yeni integrali yazıyorum.
Kök içinde x artı 6 yani kök içinde u kare dx yerine iki du'ya alacaktık 2u du.
Evet son hali arkadaşlar şu dışarıya u olarak çıktı mı zaten.
O zaman integral imiz 2 u çarpı burada da u var.
u kare du elde ettiğimiz yeni integraldir arkadaşlar.
Üçüncü örneğimizde integral yine 3x artı 1 eşittir u dönüşümü yapın dedi.
Önce diferansiyel alalım.
3x artı 1 eşittir u dönüşümünde türevimiz 3dx türevimiz bir o halde du.
Evet yani dx yerine ne yazacakmışız?
Her iki tarafı üçe böldüğünüzde du bölü üç yazarız arkadaşlar.
Şimdi yeni integralimiz 9x artı 6 denmiş.
Orada 9 x artı 6 3 x artı 1'in bir katı mıdır?
Değildir.
O zaman 9x artı 6 şöyle yazacağım.
9 x artı 6 eşittir 9 x artı üç artı üç diye yazalım.
Neden böyle yaptım buraya?
3 3x eksi artı 1 diyebilmek için üç parantezinde üç eksi artı bir artı üç.
Şimdi şuraya u diyeceğim işte o zaman 9x artı 6 yerine ne yazacağım?
3x artı üç yazınız bölü bu kısım 9 x kare artı 6 eksi artı 1.
9x kare artı 6x artı 1.
Zaten nedir 3x artı birin karesidir arkadaşlar.
Yani paydamız da u kare olmalıdır.
dx yerine de du bölü 3 yazacaktık bir bölü üçü hatta dursun bir bölü üçü dışarı almayın.
Birazdan içerdeki ile sadeleştireceğim bir bölü üç du.
Evet şu kısma şimdi ne diyelim?
Üç parantezinde u artı bir diyelim.
Ve buradaki üçleri çapraz sadeleştirebiliriz.
O halde son halini yazıyorum.
U artı bir yukarıda kaldı.
Paydada u kare kaldı ve du'yu koyduğumuzda yeni integrali bulmuş olduk arkadaşlar.
Evet, dördüncü örneğimizde integraline altıncı dereceden x eksi 2 eşittir t dönüşümü yapın dedi.
O zaman altıncı dereceden x eksi 2'ye T dediğimizde her iki tarafın diferansiyelini alıyorum.
Burayı x eksi 2'nin bir bölü altıncı kuvveti olarak düşündüm ve türevi aldığında bir bölü 6 x eksi iki üzeri eksi 5 bölü altı dx eşittir dt.
Bununla da düzenleyelim payımızda dx var, paydada altı var ve üstü eksi olduğu için bunu da paydaya yazıyorum.
Altıncı dereceden x eksi 2'nin beşinci kuvveti eşittir dt olmalıymış, içler dışlar çarpımı yaptığınızda.
Hatta şurayı bir düzelteyim buraya ne deriz?
Altıncı dereceden kök x eksi 2'ye t dediysek bakın burada da beşinci kuvveti var.
Yani burası T üzeri 5'tir.
O halde de x'imiz içler dışlar çarpımı yaptığımızda 6t üzeri 5 dt olmalıdır.
Burası tamam.
Evet, yeni integralimizde kök x eksi 2, şimdi kök x eksi 2 var.
Biz neye t dedik?
Altıncı dereceden kök x eksi iki burası x eksi 2'nin bir bölü altıncı kuvveti.
Bu da x eksi 2'nin bir bölü ikinci kuvveti, yani T'nin küpüdür.
Arkadaşlar burası t küptür.
Artı üç bölü altıncı dereceden x eksi 2'ye T demiştiniz.
Burada da üçüncü dereceden yani üçüncü dereceden x eksi 2 nedir?
Altıncı dereceden x eksi 2'nin karesidir.
O halde buraya da t kare yazdım.
Şimdi dx yerine 6.
6'yı başa aldınız dx üzerine 6t üzeri 5dt yazacaktık 6'yı başa aldım.
T üzeri 5dt'yi buraya koyduğunuzda T üzeri beş ile t kareyi sadeleştirin burada t küp oldu.
En son hali 6 integral.
T küpü de içeriye dağıtırsanız t üzeri 6 artı üç t küp dt integraliimizin yeni halidir.
Arkadaşlar dönüşüm yapıldıktan sonraki halidir.
Bu sorularımızda neye değişken vereceğimizi biz belirleyeceğiz.
Soru kendisi verecek ve biz oluşan integrali bulmamız gerekiyor arkadaşlar.
Bu soruda demiş ki küp kök x'e u deyin.
Şimdi her iki tarafın diferansiyelini alalım.
Burayı x üzeri bir bölü 3 olarak düşündünüz.
Türevini alırken bir bölü üçü başa indirdiniz ve bir azalttınız.
Eksi iki bölü üç dx'i koyduğumda yanına diferansiyel almış oldum.
Eşittir de bu burayı düzenleyelim.
Yukarıda dx var, aşağıda üç var ve x üzeri eksi iki bölü 3 olduğu için bu da paydadadır.
Üstü negatif olduğu için şu şekilde x kare eşittir du dedim.
Biz küp kök x'e u demiştik.
O halde burası küp kök x'in karesi yani u karedir.
Yani dx bölü üç u kare eşittir du'dur içler dışlar çarpımı yaparsanız dx eşittir üç u kare du elde ederiz.
Bu dursun yeni integralimizi yazalım.
Şimdi sinüs küp kök x yani sinüs küp kök x'e u demiştik.
Zaten sinüs u bölü küp kök x kare yani u kare.
Arkadaşlar dx yerine de 3u kare du bulmuştuk.
Üçü başa yazdım.
Bu karede içeriye yazdığınızda bu kareler sadeleşti.
Yani en son integrali üç integral sinüs u du'dur arkadaşlar elde edilen yeni integralimiz budur.
İkinci örneğimize geçelim.
İntegral kök x artı 6'dx'in integrali yine x artı altı x'tir.
u kare dönüşümü yapın diyor.
O zaman x artı 6 eşittir u kare dönüşümü yapacaksak her iki tarafın diferansiyelini alalım.
x artı 6'nın türevi birdir.
Bir çarpı dx'ten buraya dx yazdınız bu tarafta iki u türevimiz yanına du koydum ve diferansiyel almış oldunuz.
Yeni integrali yazıyorum.
Kök içinde x artı 6 yani kök içinde u kare dx yerine iki du'ya alacaktık 2u du.
Evet son hali arkadaşlar şu dışarıya u olarak çıktı mı zaten.
O zaman integral imiz 2 u çarpı burada da u var.
u kare du elde ettiğimiz yeni integraldir arkadaşlar.
Üçüncü örneğimizde integral yine 3x artı 1 eşittir u dönüşümü yapın dedi.
Önce diferansiyel alalım.
3x artı 1 eşittir u dönüşümünde türevimiz 3dx türevimiz bir o halde du.
Evet yani dx yerine ne yazacakmışız?
Her iki tarafı üçe böldüğünüzde du bölü üç yazarız arkadaşlar.
Şimdi yeni integralimiz 9x artı 6 denmiş.
Orada 9 x artı 6 3 x artı 1'in bir katı mıdır?
Değildir.
O zaman 9x artı 6 şöyle yazacağım.
9 x artı 6 eşittir 9 x artı üç artı üç diye yazalım.
Neden böyle yaptım buraya?
3 3x eksi artı 1 diyebilmek için üç parantezinde üç eksi artı bir artı üç.
Şimdi şuraya u diyeceğim işte o zaman 9x artı 6 yerine ne yazacağım?
3x artı üç yazınız bölü bu kısım 9 x kare artı 6 eksi artı 1.
9x kare artı 6x artı 1.
Zaten nedir 3x artı birin karesidir arkadaşlar.
Yani paydamız da u kare olmalıdır.
dx yerine de du bölü 3 yazacaktık bir bölü üçü hatta dursun bir bölü üçü dışarı almayın.
Birazdan içerdeki ile sadeleştireceğim bir bölü üç du.
Evet şu kısma şimdi ne diyelim?
Üç parantezinde u artı bir diyelim.
Ve buradaki üçleri çapraz sadeleştirebiliriz.
O halde son halini yazıyorum.
U artı bir yukarıda kaldı.
Paydada u kare kaldı ve du'yu koyduğumuzda yeni integrali bulmuş olduk arkadaşlar.
Evet, dördüncü örneğimizde integraline altıncı dereceden x eksi 2 eşittir t dönüşümü yapın dedi.
O zaman altıncı dereceden x eksi 2'ye T dediğimizde her iki tarafın diferansiyelini alıyorum.
Burayı x eksi 2'nin bir bölü altıncı kuvveti olarak düşündüm ve türevi aldığında bir bölü 6 x eksi iki üzeri eksi 5 bölü altı dx eşittir dt.
Bununla da düzenleyelim payımızda dx var, paydada altı var ve üstü eksi olduğu için bunu da paydaya yazıyorum.
Altıncı dereceden x eksi 2'nin beşinci kuvveti eşittir dt olmalıymış, içler dışlar çarpımı yaptığınızda.
Hatta şurayı bir düzelteyim buraya ne deriz?
Altıncı dereceden kök x eksi 2'ye t dediysek bakın burada da beşinci kuvveti var.
Yani burası T üzeri 5'tir.
O halde de x'imiz içler dışlar çarpımı yaptığımızda 6t üzeri 5 dt olmalıdır.
Burası tamam.
Evet, yeni integralimizde kök x eksi 2, şimdi kök x eksi 2 var.
Biz neye t dedik?
Altıncı dereceden kök x eksi iki burası x eksi 2'nin bir bölü altıncı kuvveti.
Bu da x eksi 2'nin bir bölü ikinci kuvveti, yani T'nin küpüdür.
Arkadaşlar burası t küptür.
Artı üç bölü altıncı dereceden x eksi 2'ye T demiştiniz.
Burada da üçüncü dereceden yani üçüncü dereceden x eksi 2 nedir?
Altıncı dereceden x eksi 2'nin karesidir.
O halde buraya da t kare yazdım.
Şimdi dx yerine 6.
6'yı başa aldınız dx üzerine 6t üzeri 5dt yazacaktık 6'yı başa aldım.
T üzeri 5dt'yi buraya koyduğunuzda T üzeri beş ile t kareyi sadeleştirin burada t küp oldu.
En son hali 6 integral.
T küpü de içeriye dağıtırsanız t üzeri 6 artı üç t küp dt integraliimizin yeni halidir.
Arkadaşlar dönüşüm yapıldıktan sonraki halidir.
