Dik Dairesel Silindirin Hacmi

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz silindirin hacmi.
Yandaki   şekilde görülen silindirin yüksekliği h, taban  yarıçapının uzunluğu r olsun ve biz bu silindirin   hacmini V ile gösterelim.
Genelde silindir  V harfi ile gösterilir.
Yani hem silindir,   işte hem başka katı cisimler.
Hacimler genelde  V harfi kullanılarak gösterilir.
Peki silindirin   hacmi nasıl bulunur?
Silindirin hacmi, sevgili  arkadaşlar taban alanıyla yüksekliğin çarpımı   ile bulunur.
Dolayısıyla burada ne demiştik?
  Tabanında silindirin bir daire var, yarıçapı r   birim bunun.
Dairenin alanı πr²'dir.
Bakın şurada  πr² olarak gözüken yer taban alanıdır aslında.   Yükseklik ise h olduğu için yani πr²h bize direkt  silindirin hacmini verecek olan formüldür sevgili   gençler.
Hemen ilk örneğimizle başlayalım.
Taban yarıçapının uzunluğu r eşittir 3 birim,   yüksekliği h eşittir 5 birim olan silindirin  hacmi bize sorulmuş.
Hacim neydi?
πr² çarpı h'ydi   arkadaşlar.
Yani buradan 5 kere 9, 45π olarak  hacim bulunur.
Hemen birimi nedir bunun, ona   bakalım.
Burada işte 5 var, bununki birim.
3'ün  karesini aldık, birimkare oldu birimi.
Çarptık   bunları ne oldu?
Hacmin birimi birimküp olarak  bulunmuş oldu.
Dolayısıyla bize işte uzunluklar   santimetre verilmiş olsaydı, hacme ne diyecektik?
  sevgili gençler diyelim.
Bir sonraki sorumuza  geldik.
Taban alan 36π birimkare.
Yani nasıl   bulunuyordu?
πr² olarak bulunuyordu taban alanı.
O  da 36π'ye eşitse π'ler kısaldı.
r² eşittir 36'dan   r eşittir 6 birim geldi.
Yanal alanı ise 48π  birimkare.
Yanal alan formülü 2πrh'ydi.
r'miz 6,   yazıyorum yerine.
Çarpı bir de h'miz olacak ve  bu da 48π'ye eşit olacak.
π'ler yine kısalsın.
Ne   oldu buradan?
12h eşittir eğer 48'se h eşittir 4  birim olarak yüksekliği de buldum.
Bakın r belli,   yükseklik belli.
Bana silindirin hacmini  soruyordu.
Hacim formülü πr²h'ydi.
r'miz 6, 6'nın   karesi çarpı h'miz de 4.
Yani 36 kere 4 sevgili  arkadaşlar.
V'miz ne olur?
144π birimküp olarak   hacmimiz hesaplanmış olur sevgili gençler diyelim,  hemen bir sonraki sorumuza geldik.
Uzun kenarı 8,   kısa kenarı 6 birim olan bir dikdörtgensel kağıt  varmış.
Bu kağıdı önce uzun kenarı etrafında   kıvırıp, bir silindir oluşturup bunun hacmine V1  diyoruz.
Sonra kısa kenarı etrafında kıvırıyoruz,   yine bir silindir oluşturup hacmine V2 diyoruz.  Bize V1/V2 hacimler oranı kaçtır, diye soruyor.   Sevgili gençler hemen bu dikdörtgensel kağıdı  ekranlarınıza getireyim ben.
Gördüğünüz gibi   kısa kenarı 6, uzun kenarı 8 olsun.
Bunu  önce uzun kenarı etrafında kıvırıyoruz,   birinci durum.
Gördüğünüz gibi yükseklik  birinci durumda h1 eşittir 6 oluyor.
Şimdi   r'yi bulmak önemli.
Birinci duruma r1  diyelim, yüksekliği h1 demiştik zaten.   Yarıçapına r1 dedim.
İkinci durumda da yarıçap  ne olsun?
r2, yükseklik de h2 olsun.
Şimdi,   r1'i nasıl bulacağız?
Bunu açtığımızda 2  çarpı π çarpı r1 oradaki çemberin çevresi,   şu açılımındaki 8'e eşit olmuş olacak.
Bunu hemen  Aslında r1 dediğimiz şey neymiş?
4/π.
Güzel,  o bir dursun.
İkinci durumu sağ üst köşede   hemen değerlendirelim.
İkinci durumda da h2'nin herhalde 8 birim olduğu rahatlıkla gözükebiliyor.   Burada da bunu açtığımızda yine 2 çarpı π çarpı  r2 dediğimizde, bu da 6'ya eşit olmuş olacak.   Yani şu kısma bakınız hemen.
Çünkü neden?
  Bu uzunluk o çemberin çevresine dolanıyor.   eşittir diyorum ve hacimlerini yazalım.
Birinci  durumdaki hacim nedir?
πr²h'ydi.
π çarpı yarıçapın   karesi, 4/π'nin karesi.
16/π² geldi.
Bir de  h'miz olmalı.
Yüksekliğimiz de 6'ymış.
Geldik   V2'ye.
π, r'nin karesi yani 3 bölü π'nin karesi ne olur?
9 bölü π'nin karesi olur.
Çarpı bir de   h'miz de burada 8'miş.
π ve π²'ler sadeleşti  değerli arkadaşlarım.
16'yı 8'e böldüm,   geldi.
9'u da 3'e böldüm, 3.
Dolayısıyla bakınız   dikkat ederseniz eğer V1/V2 hacimler oranı.
2 kere 2, 4/3 olarak bulunmuş olur diyelim bu soru   ile birlikte dersimizi bitirelim.
Bir sonraki  ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.