Merhabalar arkadaşlar, şimdi köklü ifadelerle alakalı özelliklere devam ediyoruz.
İlk özelliğimizi bakalım IX elemanları pozitif reel sayılar M ile ne edip pozitif tam sayı olsun ve ikiden büyük eşit nerede ikiden büyük eşit olsun bunlar köklerin dereceleri olmak üzere bakınız herkesle iç içe kök durumu var.
Birinin derecesi mi, birinin derecesi ne olsun?
Şimdi arkadaşlar bu şekilde olduğunda biz şöyle yapabiliriz.
Köklerin derecelerini çarpa biliyoruz ve tek bir kök halinde yaza biliyoruz.
Ama şöyle bir şartımız var arkadaşlar bazen burada arada sayılar olabilir.
Biz bu aradaki sayılar istemiyoruz.
Yani arası boş olacak.
Arasını boş hale getirdikten sonra biz bunu iç içe kök halinin yani tek bir kök halinde yazar biliyoruz.
O yüzden ne yapmamız lazım buradaki aradaki sayı ya dışarı çıkartacağız çıkabiliyor sa çıkmıyorsa da bu sefer kökün için atacağız ve o şekilde yapmış olacağız.
Örneğinde göreceğiz zaten.
Peki ikinci bir kuralımız arkadaşlar bu da çok özel bir kuraldır.
Bakınız kökün içinde a artı eksi 2 kök beye var.
Şimdi arkadaşlar bu şekilde bir kök ifade varsa arkadaşlar buradaki A sayısı M geleneğinin toplamı olsun ve aynı buradaki m ile nene'nin çarpımı ayrı da buradaki kökün içindeki B olsun.
Bakınız çok özel bir şart.
Burası sadece 2 olacak.
Burası iki olmazsa da olmaz.
Burası ilçe olacak.
Daha sonra beynin çarpanlar olacak ve bu beynin çarpanlar aynı zamanda buradaki ayı verecek ve herkese buradaki çarpanlar demeye de neden büyük olsun?
Şimdi arkadaşlar bakınız kökün içinde a artı 2 kök veya varsa.
Ve biz şunu şöyle yazabiliriz.
Yani tabii buradaki şartı sağladığı üzere biz bunu çökme artı kök n olarak yazabiliriz.
Bakınız büyük olan buraya yazılacak makineden büyük olmak üzere ve eksi olursa da arkadaşlar bu sefer sadece aradaki işaret değişecek.
Yani çökmeye eksi kök ne olmuş olacak.
Bu arkadaşlar örnekte çok daha iyi anlaşılacaktır ve korkulacak kadar zor bir kural da değildir.
Şimdi örnekler bize bakalım.
Kök'ün için 3 kök O3 var ve bu küp kök IX olarak yazılmış.
Ix Kaçtır değişim?
Bakınız arkadaşlar bunu tek bir kök haline getirmemiz lazım.
O yüzden ilk önce üçü şunun için alıyorum ben o zaman şöyle elde etmiş oluruz.
Kök bir tane vardı bir tane daha.
Artık kök var içerde.
Burada boşluk oluştu.
Bu 3'te 3'ün karesi olarak girdi.
Bir de burada 3 var.
O zaman demek ki içeride üçün küpü oldu.
O zaman zanneder ki.
Bakınız burada ikisinin de köklerinin dereceleri 2 ve arada bir boşluk olduğu için herhangi bir sayı olmadığı için çarp attığımızda artık kökün derecesinin 4 olarak ve içerideki s ile 3 üzeri 3 olarak yazabiliriz.
Bakınız bu küp kök içse eşit imiş.
E o zaman ben bunları şu an bu haline eşit diyemem.
Köklerinin derecelerini aynı yaparak gidebiliriz.
Ama biz burada yüzsüz şeylerden gidelim.
Şimdi burası nedir?
3 üzeri üç bölü dört olarak yazılabilir ve burası da IX üzeri 1 bölü 3 olarak yazılabilir.
O zaman demek ki ben bunları aynı yapmak için şöyle yapıyorum.
Her iki tarafın burada küpünü alıyorum.
Her iki tarafın çöpünü alayım ki burada üssün üssünden sadece iz kalsın.
Burası da istediğimiz sayı olsun.
Şimdi burada üssün üssünden ne oluyor?
3 üzeri dokuz bölüğü 4 oluyor ve sağ tarafta da bakınız IX üzeri bir bölüğü 3 üzeri üç var.
Şartlarımıza sade yaşıyor.
Yani ilk üsleri bir kalıyor.
O zaman demek ki bakınız IX Burada 3 üzere dokuz bölüğü 4 olarak elde etmiş oluyoruz.
Şimdi bu örneğimiz inceleyelim bakınız iç içe bir kök durumu var, bu işlemin sonucu kaçtır diyor.
Şimdi uzunca bir işlem yapacağız arkadaşlar, en içerden başlayarak geleceğiz burada.
Bakınız buradaki dördü.
Ben ilk başta buradaki 2'nin yanına almak istiyorum.
Yani içeri almak istiyorum ve kökleri yazarak geliyorum.
Bakınız en dışarıda 8 var.
Daha sonra içerde çarpı bir küp kök var.
Daha sonra bir daha artık ne olmuş oldu.
4 içeriye 16 olarak girmiş oldu.
Tabii biz onu üzeri 4 olarak sokalım.
Bir de 2 üzeri bir var orada yani 255 olmuşuz.
Şimdi devam ediyorum arkadaşlar.
Bakınız en dışarıdaki kökü tutuyorum, içinde 8 var o da kalıyor.
Daha sonra bakınız 3 var ve burada kökün derecesi 2 var.
Üçte iki çarpımı.
Zan da artık burası kök ün derecesi olarak altı olmuş oldu.
Onu buraya yazalım ve içerde de 255 var.
Arada sayı olmadığı için köklerini, derecelerini çarpı bildim.
Daha sonra ne yapacağız arkadaşlar?
Artık şu sekizi ben 253 olarak yazmak istiyorum.
Çünkü kolaylık sağlayacak bize.
Şuradan devam edelim.
Kök'ün içinde iki üzeri üç var.
Daha sonra çarpı bir tane altıncı dereceden kök 255 var.
Şimdi buradaki 253 arkadaş Ser Kök'ün derecesini alarak içeriye girecek.
Tabii 200 yürütün üssünü 6 gelecek.
Yani aslında 200 lere 18 olarak girecek.
Şimdi dışarıda bir kök var.
Daha sonra içeride de altıncı dereceden kök var.
201 18 olarak girdi.
255 de burada var.
O zaman demek ki 250 23 olmuş oldu.
En son durumda buradaki kökün derecesi değil ki.
2 ile 6'yı çarpacak olursak bakınız tek bir kök halinde 10, ikinci dereceden kök içinde 250 23 olarak eza veriyoruz.
Tabi arkadaşlar bu 250 23'ü dışarıda çıkartabiliriz.
Biz at da onu da çıkartalım.
Nasıl çıkartırız şimdi?
12'nci dereceden kökün içinde 2 üzeri 12'yi ben ayırıyorum.
Çarpma olarak ve 2 üzeri 11 olarak tutuyorum.
Çünkü 200 veron bir çıkamaz.
210 12'de ne olacak arkadaşlar?
Eeee kökenin dereceleri ve üstün derecesi gideceği için 2 olarak çıkmış olacak ve daha sonra 10 ikinci dereceden 2 üzeri on bir olmuş olacak.
Peki o ikinci verdiğimiz kural 6 eksi, 2 kök, 8 bakınız kök içinde ve 6 artı 2 kök 8 bu da yine kök içindi.
Şimdi bizim burada o zaman şartımız şu olacak eğer bu 8'in çarpan ağları toplandığında buraya veriyorsa biz bunu ayırabiliriz.
Yani şöyle bakınız bu 8'in farklı farklı çarpanlar var.
Ama 4'le iki çarpı anlarını alırsanız 4 iki burada altı yapıyor ve istediğimiz şeye ulaşıyoruz.
Arada da eksi olduğu için biz şunu şöyle yazabiliriz.
O zaman burayı kök 4, eksi kök iki olarak yazarız.
Yani buradaki sayıları kökün içine alarak yazarız.
Bu şekilde arada artı var ve burada da aynı durum var.
Zaten sadece arada artı var.
O zaman ben bunu nasıl yazacağım?
Kök 4 artı burada kök 2 olarak yazmış olacağım.
O zaman burada ne olmuş oldu?
Bakınız Kök İkiler gitti.
Kök Dörtler de dışarı iki olarak çıktı.
Yani iki artı 2'den bu buradaki işlemin sonucunun dört olduğunu söyleriz.
Peki burada diğer bir örneğimiz değişimde burada kökün içinde 8, eksi kökenimiz 8 var.
Burada da artı 8 artı kök 28 ler kökün için de bu işlemin sonucu sorulmuş.
Bakınız burada bu sefer 2'ler yok.
O zaman ilk öncekileri getirmemiz lazım.
Yani şu hale getirmemiz gerekiyor.
Bunu 8 eksim 2 kök 7 önüne getirmemiz lazım.
Çünkü 28 4 çarpı 7'dir.
4 çarpı yedi olduğu için 4'te dışarıya 2 olarak çıkar ve bu haliydi.
Sağ taraftaki de aynı o zaman demek ki biz bunu şu şekilde yazabiliriz.
8 artı 2 kök yedi olarak yazmış oluyoruz.
E ne yapacağız?
Buradaki 7'nin çarpanlar mı burada 7 ile birdir.
Bakınız 7 ile biri topladığınızda 8'e elde diyorsunuz.
O zaman demek ki biz bunu kök yedi eksi kök bir olarak artı burada da aynı kök yedi artı kök bir olarak yazabiliriz.
Burada kök veriler gitti.
Kök kediyle de kök gereği toplarsanız 2 tane burada kök 7'nin geldiğini görürsünüz.
İlk özelliğimizi bakalım IX elemanları pozitif reel sayılar M ile ne edip pozitif tam sayı olsun ve ikiden büyük eşit nerede ikiden büyük eşit olsun bunlar köklerin dereceleri olmak üzere bakınız herkesle iç içe kök durumu var.
Birinin derecesi mi, birinin derecesi ne olsun?
Şimdi arkadaşlar bu şekilde olduğunda biz şöyle yapabiliriz.
Köklerin derecelerini çarpa biliyoruz ve tek bir kök halinde yaza biliyoruz.
Ama şöyle bir şartımız var arkadaşlar bazen burada arada sayılar olabilir.
Biz bu aradaki sayılar istemiyoruz.
Yani arası boş olacak.
Arasını boş hale getirdikten sonra biz bunu iç içe kök halinin yani tek bir kök halinde yazar biliyoruz.
O yüzden ne yapmamız lazım buradaki aradaki sayı ya dışarı çıkartacağız çıkabiliyor sa çıkmıyorsa da bu sefer kökün için atacağız ve o şekilde yapmış olacağız.
Örneğinde göreceğiz zaten.
Peki ikinci bir kuralımız arkadaşlar bu da çok özel bir kuraldır.
Bakınız kökün içinde a artı eksi 2 kök beye var.
Şimdi arkadaşlar bu şekilde bir kök ifade varsa arkadaşlar buradaki A sayısı M geleneğinin toplamı olsun ve aynı buradaki m ile nene'nin çarpımı ayrı da buradaki kökün içindeki B olsun.
Bakınız çok özel bir şart.
Burası sadece 2 olacak.
Burası iki olmazsa da olmaz.
Burası ilçe olacak.
Daha sonra beynin çarpanlar olacak ve bu beynin çarpanlar aynı zamanda buradaki ayı verecek ve herkese buradaki çarpanlar demeye de neden büyük olsun?
Şimdi arkadaşlar bakınız kökün içinde a artı 2 kök veya varsa.
Ve biz şunu şöyle yazabiliriz.
Yani tabii buradaki şartı sağladığı üzere biz bunu çökme artı kök n olarak yazabiliriz.
Bakınız büyük olan buraya yazılacak makineden büyük olmak üzere ve eksi olursa da arkadaşlar bu sefer sadece aradaki işaret değişecek.
Yani çökmeye eksi kök ne olmuş olacak.
Bu arkadaşlar örnekte çok daha iyi anlaşılacaktır ve korkulacak kadar zor bir kural da değildir.
Şimdi örnekler bize bakalım.
Kök'ün için 3 kök O3 var ve bu küp kök IX olarak yazılmış.
Ix Kaçtır değişim?
Bakınız arkadaşlar bunu tek bir kök haline getirmemiz lazım.
O yüzden ilk önce üçü şunun için alıyorum ben o zaman şöyle elde etmiş oluruz.
Kök bir tane vardı bir tane daha.
Artık kök var içerde.
Burada boşluk oluştu.
Bu 3'te 3'ün karesi olarak girdi.
Bir de burada 3 var.
O zaman demek ki içeride üçün küpü oldu.
O zaman zanneder ki.
Bakınız burada ikisinin de köklerinin dereceleri 2 ve arada bir boşluk olduğu için herhangi bir sayı olmadığı için çarp attığımızda artık kökün derecesinin 4 olarak ve içerideki s ile 3 üzeri 3 olarak yazabiliriz.
Bakınız bu küp kök içse eşit imiş.
E o zaman ben bunları şu an bu haline eşit diyemem.
Köklerinin derecelerini aynı yaparak gidebiliriz.
Ama biz burada yüzsüz şeylerden gidelim.
Şimdi burası nedir?
3 üzeri üç bölü dört olarak yazılabilir ve burası da IX üzeri 1 bölü 3 olarak yazılabilir.
O zaman demek ki ben bunları aynı yapmak için şöyle yapıyorum.
Her iki tarafın burada küpünü alıyorum.
Her iki tarafın çöpünü alayım ki burada üssün üssünden sadece iz kalsın.
Burası da istediğimiz sayı olsun.
Şimdi burada üssün üssünden ne oluyor?
3 üzeri dokuz bölüğü 4 oluyor ve sağ tarafta da bakınız IX üzeri bir bölüğü 3 üzeri üç var.
Şartlarımıza sade yaşıyor.
Yani ilk üsleri bir kalıyor.
O zaman demek ki bakınız IX Burada 3 üzere dokuz bölüğü 4 olarak elde etmiş oluyoruz.
Şimdi bu örneğimiz inceleyelim bakınız iç içe bir kök durumu var, bu işlemin sonucu kaçtır diyor.
Şimdi uzunca bir işlem yapacağız arkadaşlar, en içerden başlayarak geleceğiz burada.
Bakınız buradaki dördü.
Ben ilk başta buradaki 2'nin yanına almak istiyorum.
Yani içeri almak istiyorum ve kökleri yazarak geliyorum.
Bakınız en dışarıda 8 var.
Daha sonra içerde çarpı bir küp kök var.
Daha sonra bir daha artık ne olmuş oldu.
4 içeriye 16 olarak girmiş oldu.
Tabii biz onu üzeri 4 olarak sokalım.
Bir de 2 üzeri bir var orada yani 255 olmuşuz.
Şimdi devam ediyorum arkadaşlar.
Bakınız en dışarıdaki kökü tutuyorum, içinde 8 var o da kalıyor.
Daha sonra bakınız 3 var ve burada kökün derecesi 2 var.
Üçte iki çarpımı.
Zan da artık burası kök ün derecesi olarak altı olmuş oldu.
Onu buraya yazalım ve içerde de 255 var.
Arada sayı olmadığı için köklerini, derecelerini çarpı bildim.
Daha sonra ne yapacağız arkadaşlar?
Artık şu sekizi ben 253 olarak yazmak istiyorum.
Çünkü kolaylık sağlayacak bize.
Şuradan devam edelim.
Kök'ün içinde iki üzeri üç var.
Daha sonra çarpı bir tane altıncı dereceden kök 255 var.
Şimdi buradaki 253 arkadaş Ser Kök'ün derecesini alarak içeriye girecek.
Tabii 200 yürütün üssünü 6 gelecek.
Yani aslında 200 lere 18 olarak girecek.
Şimdi dışarıda bir kök var.
Daha sonra içeride de altıncı dereceden kök var.
201 18 olarak girdi.
255 de burada var.
O zaman demek ki 250 23 olmuş oldu.
En son durumda buradaki kökün derecesi değil ki.
2 ile 6'yı çarpacak olursak bakınız tek bir kök halinde 10, ikinci dereceden kök içinde 250 23 olarak eza veriyoruz.
Tabi arkadaşlar bu 250 23'ü dışarıda çıkartabiliriz.
Biz at da onu da çıkartalım.
Nasıl çıkartırız şimdi?
12'nci dereceden kökün içinde 2 üzeri 12'yi ben ayırıyorum.
Çarpma olarak ve 2 üzeri 11 olarak tutuyorum.
Çünkü 200 veron bir çıkamaz.
210 12'de ne olacak arkadaşlar?
Eeee kökenin dereceleri ve üstün derecesi gideceği için 2 olarak çıkmış olacak ve daha sonra 10 ikinci dereceden 2 üzeri on bir olmuş olacak.
Peki o ikinci verdiğimiz kural 6 eksi, 2 kök, 8 bakınız kök içinde ve 6 artı 2 kök 8 bu da yine kök içindi.
Şimdi bizim burada o zaman şartımız şu olacak eğer bu 8'in çarpan ağları toplandığında buraya veriyorsa biz bunu ayırabiliriz.
Yani şöyle bakınız bu 8'in farklı farklı çarpanlar var.
Ama 4'le iki çarpı anlarını alırsanız 4 iki burada altı yapıyor ve istediğimiz şeye ulaşıyoruz.
Arada da eksi olduğu için biz şunu şöyle yazabiliriz.
O zaman burayı kök 4, eksi kök iki olarak yazarız.
Yani buradaki sayıları kökün içine alarak yazarız.
Bu şekilde arada artı var ve burada da aynı durum var.
Zaten sadece arada artı var.
O zaman ben bunu nasıl yazacağım?
Kök 4 artı burada kök 2 olarak yazmış olacağım.
O zaman burada ne olmuş oldu?
Bakınız Kök İkiler gitti.
Kök Dörtler de dışarı iki olarak çıktı.
Yani iki artı 2'den bu buradaki işlemin sonucunun dört olduğunu söyleriz.
Peki burada diğer bir örneğimiz değişimde burada kökün içinde 8, eksi kökenimiz 8 var.
Burada da artı 8 artı kök 28 ler kökün için de bu işlemin sonucu sorulmuş.
Bakınız burada bu sefer 2'ler yok.
O zaman ilk öncekileri getirmemiz lazım.
Yani şu hale getirmemiz gerekiyor.
Bunu 8 eksim 2 kök 7 önüne getirmemiz lazım.
Çünkü 28 4 çarpı 7'dir.
4 çarpı yedi olduğu için 4'te dışarıya 2 olarak çıkar ve bu haliydi.
Sağ taraftaki de aynı o zaman demek ki biz bunu şu şekilde yazabiliriz.
8 artı 2 kök yedi olarak yazmış oluyoruz.
E ne yapacağız?
Buradaki 7'nin çarpanlar mı burada 7 ile birdir.
Bakınız 7 ile biri topladığınızda 8'e elde diyorsunuz.
O zaman demek ki biz bunu kök yedi eksi kök bir olarak artı burada da aynı kök yedi artı kök bir olarak yazabiliriz.
Burada kök veriler gitti.
Kök kediyle de kök gereği toplarsanız 2 tane burada kök 7'nin geldiğini görürsünüz.
Sıkça Sorulan Sorular
İç içe sonlu kökler nasıl çözülür?
İç içe kökleri kök içinde kök gördüğümüzde ayırt ediyoruz. İç içe köklerin nasıl çözüldüğünü köklü sayıların üslü sayılara dönüştürülmesi kuralından anlayabiliriz. şeklinde bir iç içe sonlu köklü sayı verilmiş olsun. İçteki köklü sayıyı üslü sayıya dönüştürelim.
olur. Bu sayıyı da kök derecesi genişletme kuralını hatırlayıp n ile genişletebilirim.
Sonuç olarak, iç içe köklerin derecesini çarpım olarak yazdığımızda iç içe kökleri çözmüş oluruz.
İç içe sonlu kökler formülleri nelerdir?
İç içe sonlu köklü sayılar formülleri listesi:
durumundaki köklü sayılarda a = m + n ve b = m.n olmak üzere,
(m > n olma koşuluyla)
