Limitte Belirsizlik Tanımı

Merhaba gençler bu videomuzda belirsizlikler konusuna başlıyoruz.
Limit x a'ya giderken f x sıfırsa ve limit x a'ya giderken g x sıfır ise limit x a'ya giderken f x bölü g x dediğinde arkadaşlar bakın burası da 0 yapıyor burası da 0 yapıyor 0 böyle sıfır bir belirsizliktir.
Arkadaşlar tanımsızlık değildir.
Bu belirsizlikten kurtulmak için gerekli sadeleştirmeleri yapıp belirsizlikten kurtulduktan sonra limit alacağız.
Bu arada tanımsızlıkla belirsizlik arasındaki farkı söyleyeyim.
Tanımsızlıkda bir değeri yerine yazdığınızda zaten öyle bir sonuç yoktur arkadaşlar.
Onun bir değeri yoktur.
Direkt tanımsız deriz geçeriz.
Yani o değeri fonksiyonda yerine yazamayız zaten tanım kümesinin dışındadır.
Belirsizlikte ise yerine yazarız ve o değerin yaklaştığı değeri buluruz.
Arkadaşlar böyle bir değer yoktur deyip geçmeyin belirsizlikte.
Tanımsızlıkda zaten o değer yoktur.
Bulmaya uğraşmayız bile.
Belirsizlikte de yakınsadığı yere bakarız.
Limitine bakabiliriz arkadaşlar.
0 böyle sıfır bir tanımsızlık değil belirsizlik türüdür.
Evet limitinin değerini bulalım.
Şimdi x beşe giderken bakın beşi yerine yazdığımızda pay kısmında yerine yazın.
25 eksi 25'ten sıfır paydada yerine yazın 5 eksi beşten sıfır.
Dolayısıyla sıfır bölü sıfır belirsizliği elde ederiz.
O halde belirsizlikten kurtulalım.
Limit x beşe giderken x kare eksi 25 yerine çarpanlara ayıracağım.
x Eksi 5 çarpı x artı 5 şeklinde çarpanlara ayırdım.
İki kare farkından ve bakın zaten belirsizlik yani sıfır şu ilk eksi 5 çarpanı yüzünden geliyor arkadaşlar.
Bunlar da sadeleştiğinde x yerine şimdi beşi yazabilirsiniz.
Beşi yerine yazdığınızda beş artı 5'ten cevabımız on olur.
Belirsizliğin geldiği x eksi beş çarpanını sadeleştirilmiş olduk ve belirsizlikten kurtulduk.
Arkadaşlar çarpanlara ayırma kısmını iyi bilmeniz gerekiyor.
Burada o yaptığım şeyi de hatırlatayım x kare eksi y kare.
İki kare farkı yaptım, x eksi y çarpı x artı y şeklinde ayrılıyordu.
x kare eksi yirmi beşi bu şekilde çarpanlara ayırdım.
Evet, diğer örneğimize bakalım.
Pay kısmında bir üç terimli var arkadaşlar.
Bunları bir kere dördü yerine bir yazıyoruz önce zaten.
Paya yazdığımda sıfır yaptı, paydaya yazdığımda da sıfır yaptı.
Burada sıfır bölü sıfır belirsizliği vardır dedim ve kurtulacağım şimdi.
Bunu x x burayı da eksi dörde iki şeklinde bakın çarpımları eksi sekizi, toplamları eksi 2'yi verecek şekilde belirliyorduk bu sayıları.
O zaman çarpanlara ayrılmış hali şudur.
x dörde giderken x eksi 4 çarpı x artı 2 şeklinde çarpanlara ayırdım.
Paydada da x eksi 4 var zaten.
x yerine 4 yazınca sıfır yapıyordu.
Çünkü ikisinde de x eksi 4 çarpanı var.
Bunlardan kurtulduğunda x yerine dördü yazabilirim artık.
Yazın x yerine dördü, 4 artı 2'den cevabımız altı olur arkadaşlar.
Devam edelim.
Limit x 2'ye giderken üç üzeri x eksi dokuz, dokuz üzeri x eksi seksen bir bakın.
Bu polinom tipli değil, çarpanlara ayırabiliriz ama değil mi?
x yerine 2 yazdığımızda pay 9 eksi 9'dan sıfır, paydamız 80 eksi, seksen 1'den sıfır elde edilir ve ben bunu limit x ikiye giderken -paya dokunmayalım- 3 üzeri x eksi dokuz.
Bakın payda aslında şu değil mi?
9 üzeri x dediğimiz şey 3 üzeri x'in karesidir.
81 de 9'un karesidir.
O halde ben bunu 3 üzeri x eksi dokuz 2 kare farkından üç üzeri x artı dokuz şeklinde ayırabiliriz.
Çarpanlara ayırdığımızda 3 üzeri x eksi dokuz çarpı üç üzeri x artı dokuz şeklinde ayırdım.
3 üzeri x eksi 9ları götürdüm ve belirsizlikten kurtulmuş oldum.
Şimdi x yerine 2 yazarsanız pay zaten 1 oldu.
Bir şey kalmadı.
Payda paydaya baktığınızda x yerine iki yazarsanız burada 9 artı 9'dan 18 elde ederiz ki cevabımız bir bölü on sekizdir arkadaşlar.
Yine çarpanlara ayırarak belirsizlikten kurtulacağımız bir soru x yerine 3 yazdığımızda 81 eksi, 81'den payımız sıfır, 27 eksi 27'den paydamızda sıfır elde ederiz ve sıfır bölü sıfır belirsizliği vardır deriz.
Şimdi kurtulalım belirsizlikten.
Bakın burada iki kare farkı var.
Burada x karenin karesi eksi 9'un karesi var.
Ben bunu ayırdığımda x kare eksi dokuz ve x kare artı dokuz elde ederim.
Hatta x kare eksi 9'u x'in karesi ve 3'ün karesi var orada.
Onu da x eksi 3 çarpı, x artı 3 çarpı, x kare artı 9 olarak ayıralım.
Limit x 3'e giderken pay neymiş bu ayırdığım çarpanları yazayım.
Tekrar x eksi 3 çarpı, x artı 3 çarpı x kare artı dokuz.
Evet paydaya gelelim, şimdi bakın burada küp açılımı yapacağım, Onu hatırlayalım.
A küp artı b küp ifadesini çarpanlara ayırırken ben şöyle anlatıyorum.
Küpleri atın arkadaşlar A artı B sonra kareleri köşelere koyun a kare b kare.
Ortaya da çarpımlarını koyacağız.
A çarpı b kareler hep artıdır zaten bu a çarpı b de şu işaretin tam tersi.
Burada artı mı var?
O zaman burası eksi olacak.
Böyle daha kolay akılda kalıyor.
Direkt ezberleyeceğiö derseniz de ezberleyebilirsiniz.
Küpleri atıyorum.
A eksi b kareleri yazdığımızda a kare b kare.
Bunlar hep artı olacak zaten ortaya da çarpımlarını yazıyoruz.
Iki katını değil.
Kareler hep artıydı.
Evet, bu ortada eksi olduğu için çarpmaları artı olacak.
Yani ben x küp eksi 27'yi bu x'in küpü ve 3'ün küpüdür.
Küpleri atarsanız şöyle yazayım.
x'in küpü ve 3'ün küpü var burada çarpanlara ayıralım şimdi küpleri attım x eksi 3, sonra kareleri koydum x kare ve dokuz.
Çarpımları 3x.
Evet x eksi demişiz o zaman burası artı olacak.
Kareler hep artıydı, çarpanlara ayrılmış hali budur arkadaşlar.
x eksi 3 çarpı x kare artı üç x artı 9.
Şimdi bakın x eksi 3 çarpanları yüzünden sıfır geliyordu zaten onlardan kurtulduğumda şimdi x yerine üç yazabilirim.
Yazın x yerine üçü.
Evet, burası 6 olur çarpı burada x yerine üç yazarsanız dokuz artı 9'dan on sekiz olur bölü burada x yerine üç yazdığınızda dokuz artı dokuz artı dokuz elde ederiz.
Yani en son altı çarpı on sekiz bölü yirmi yedi buluruz.
Bunları da dokuz ile sadeleştirirsiniz.
Payda burası iki, burası da üç olur.
Son hali on iki bölü 3'ten cevabımızı dört olur arkadaşlar.
Evet, son örneğimiz.
Limitinin değerini bulunuz.
Hocam burada hiç sayı yok demeyin.
Bu da sadeleşecek.
Burada x y'ye giderken y'yi bir sayı olarak düşünün arkadaşlar.
Değişkenimiz x burada evet yine 0 bölü 0 belirsizliğimiz var.
x kare eksi y kare yerine yine x eksi y x artı y olarak çarpanlara ayırırsam şu x eksi y'leri götürdüm şimdi x yerine y yazıyorum arkadaşlar.
Bir tek bu çarpan kaldı.
x yerine y yazarsanız cevabımız y artı y'den 2y olmalıdır.