Merhaba arkadaşlar, limit sınırlarını grafikten çözmeye devam ediyoruz.
Yanda y f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
Limit x 3'e sağdan yaklaşırken x'i bulalım.
3'e sağdan geldim arkadaşlar üçe sağdan yaklaştığında x'leri 3'e yaklaştırdığını da y'lerim nereye yaklaştı?
Onlar da artarak ikiye yaklaştı.
O yüzden sağdan limitim 2'dir.
0 da demiş 0.
Şurası orijinimiz.
0'a sağdan geldim.
Sonuç 5.
Soldan geldim.
Sonuç 5.
O halde limitim 5'tir.
Burada sağ sol demediği için 0'a direkt sıfırdaki limiti sorduğu için mecburen hem sağ hem sola bakmalıyız.
Evet, eksi 6'nın soldan ve eksi altının sağdan limiti sorulmuş bir kere eksi 6'da bakın direkt görüyoruz.
Orada bir kopma var değil de sıçramış grafik.
Burada limit olmadığını biliyorum.
Yani ben direkt limit x eksi 6'ya giderken f(x) sorulsaydı bana direkt yoktur derdim.
Çünkü sıçramış değerlerine bakmadan bile.
Evet biz değerlerini de bulalım.
Eksi 6'ya soldan yaklaştığımızda eksi 6'nın solundan tuttum en son eksi 6'yı yaklaştırdığında bakın y'ler de 7'ye yaklaştı.
Burası 7.
Eksi 6'ya sağdan geldim.
Bakın eksi 6'ya yaklaştığınızda durun ve y'ye bakın.
Kaç olmuş?
Altı olmuş.
O zaman bu da altıdır ve x eksi 6'ya giderken fonksiyonumuzun limiti yoktur.
Altındaki örneğe bakalım şimdi.
Evet burada da yanda yine y eşittir f(x)'in grafiğini verdik kaç tane x doğal sayısı için f(x) fonksiyonun limiti vardır ve negatiftir.
Bir kere fonksiyon dördün sağında sonuçlar pozitif değil mi?
Bakın değerlerimiz pozitif çıkıyor.
Burada limitinin negatif olma ihtimali yok.
x'i dörde yaklaştırıp negatif elde edemeyeceğim.
Eksi 2'nin solunda da hep pozitif değerler var.
O zaman benim bakacağım aralık eksi 2'den dörde kadar olan aralık.
Bakın fonksiyonun sonucu burada negatif, burada x ekseninin altında kalmış.
Bir de bana doğal sayı dediği için zaten şu kısmı da almıyoruz.
Sıfırdan dörde kadar inceleyeceğiz.
Sıfır yazdığımızda sıfır bir doğal sayıdır.
Sıfırın sağdan soldan limitine bakın.
Sağdan limiti eksi iki, soldan limiti de eksi iki.
Sıfırda limit vardır ve negatif arkadaşlar.
Ve bu aralıkta bir var, bir de 1'in şurada bir yerde bir değeri var değil mi?
O değeri yazmamış grafik ama bir değeri olduğunu görüyoruz.
Orada bir kopma yok.
Bire sağdan geldim, soldan geldim.
Sonuçta hep şu noktaya yaklaştım iki durumda da o zaman limiti vardır ve negatiftir arkadaşlar.
İkide bakın sıçrama var değil mi?
2'nin sağdan soldan limitini de bulayım.
Sağdan limiti nereye yaklaştı, x'ler ikiye yaklaştığında y'ler eksi bire yaklaştı.
2'ye soldan yaklaştığında y'ler eksi 5'e yaklaştı, 2'de limit yokmuş.
3'e bakalım.
Üç de şurada bir yerde bir nokta.
Bunun da bir değeri var, Negatif bir değeri var değil mi?
O yüzden 3'te de limitim vardır ve negatiftir.
4'teki limiti var ama pozitif bize negatif olmasını istemişti.
Kaç x doğal sayısı için demiş üç tane x doğal sayısı için limitin vardır ve negatif arkadaşlar.
Son örneğimiz bakalım.
Son örneğimiz evet grafiğini verdik yine ve f fonksiyonunu eksi 5'ten yedi aralığının reel sayılara tanımladım.
Tanım kümem eksi beş kapalı yedi açık aralığı.
Fonksiyon grafiği verildi.
Eksi 5'teki limit soruldu.
Şimdi eksi 5'te bakın fonksiyonumuzun solu yok zaten.
Çünkü tanım kümesi eksi 5 kapalı aralığı değil mi?
Böyle durumlarda arkadaşlar eğer sınır noktaysa solundan, sağından solundan limit bakıyoruz biz.
Ama direkt sadece eksi 5 verdiğinde bunun solu yok zaten değil mi?
Böyle durumlarda arkadaşlar grafiğin sadece sağdan limitine bakarız, sağdan limitim neyse eksi 5'teki limiti odur diyeceğim.
Solu yok çünkü zaten evet eksi 5'in sağından limiti arkadaşlar evet yaklaştıralım bakın şuradan tuttum grafiği.
x'leri eksi 5'e yaklaştırdığımda y'ler ne oldu?
Arttı.
Şurada biraz en son 7'ye geldi değil mi 7'nin üzerine çıkamadı.
Evet, o zaman cevabımız 7'dir.
Eksi dörtteki limiti.
Eksi 4 nerede?
Eksi dördün bakın sağa sola demediği için sağına soluna bakmam lazım.
Sağdan limiti en son yedi oldu.
Soldan yaklaştınız en son 7'ye yaklaştı.
Demek ki dördün eksi 4'teki limiti sağdan ve soldan yedi olduğu için limiti 7'dir.
Bakın eksi dörtte fonksiyonumuz tanımlı değil ama limiti var yaklaştığı bir değer var.
Üçteki limiti sorduk.
Bakın üçte bir sıçrama var mı arkadaşlar?
3'ün olduğu yerde kaç olduğuna bakmadım bile.
Direkt yoktur dedim.
6'daki limitimiz altının şöyle biraz kaydıralım, altının sağdan yaklaştınız 0 oldu y'lerimiz.
Soldan geldiniz altıya doğru y'leriniz yine 0 oldu.
O yüzden x altıya giderken f(x) neymiş?
0 olacakmış arkadaşlar.
Yanda y f(x) fonksiyonunun grafiği verildi.
Limit x 3'e sağdan yaklaşırken x'i bulalım.
3'e sağdan geldim arkadaşlar üçe sağdan yaklaştığında x'leri 3'e yaklaştırdığını da y'lerim nereye yaklaştı?
Onlar da artarak ikiye yaklaştı.
O yüzden sağdan limitim 2'dir.
0 da demiş 0.
Şurası orijinimiz.
0'a sağdan geldim.
Sonuç 5.
Soldan geldim.
Sonuç 5.
O halde limitim 5'tir.
Burada sağ sol demediği için 0'a direkt sıfırdaki limiti sorduğu için mecburen hem sağ hem sola bakmalıyız.
Evet, eksi 6'nın soldan ve eksi altının sağdan limiti sorulmuş bir kere eksi 6'da bakın direkt görüyoruz.
Orada bir kopma var değil de sıçramış grafik.
Burada limit olmadığını biliyorum.
Yani ben direkt limit x eksi 6'ya giderken f(x) sorulsaydı bana direkt yoktur derdim.
Çünkü sıçramış değerlerine bakmadan bile.
Evet biz değerlerini de bulalım.
Eksi 6'ya soldan yaklaştığımızda eksi 6'nın solundan tuttum en son eksi 6'yı yaklaştırdığında bakın y'ler de 7'ye yaklaştı.
Burası 7.
Eksi 6'ya sağdan geldim.
Bakın eksi 6'ya yaklaştığınızda durun ve y'ye bakın.
Kaç olmuş?
Altı olmuş.
O zaman bu da altıdır ve x eksi 6'ya giderken fonksiyonumuzun limiti yoktur.
Altındaki örneğe bakalım şimdi.
Evet burada da yanda yine y eşittir f(x)'in grafiğini verdik kaç tane x doğal sayısı için f(x) fonksiyonun limiti vardır ve negatiftir.
Bir kere fonksiyon dördün sağında sonuçlar pozitif değil mi?
Bakın değerlerimiz pozitif çıkıyor.
Burada limitinin negatif olma ihtimali yok.
x'i dörde yaklaştırıp negatif elde edemeyeceğim.
Eksi 2'nin solunda da hep pozitif değerler var.
O zaman benim bakacağım aralık eksi 2'den dörde kadar olan aralık.
Bakın fonksiyonun sonucu burada negatif, burada x ekseninin altında kalmış.
Bir de bana doğal sayı dediği için zaten şu kısmı da almıyoruz.
Sıfırdan dörde kadar inceleyeceğiz.
Sıfır yazdığımızda sıfır bir doğal sayıdır.
Sıfırın sağdan soldan limitine bakın.
Sağdan limiti eksi iki, soldan limiti de eksi iki.
Sıfırda limit vardır ve negatif arkadaşlar.
Ve bu aralıkta bir var, bir de 1'in şurada bir yerde bir değeri var değil mi?
O değeri yazmamış grafik ama bir değeri olduğunu görüyoruz.
Orada bir kopma yok.
Bire sağdan geldim, soldan geldim.
Sonuçta hep şu noktaya yaklaştım iki durumda da o zaman limiti vardır ve negatiftir arkadaşlar.
İkide bakın sıçrama var değil mi?
2'nin sağdan soldan limitini de bulayım.
Sağdan limiti nereye yaklaştı, x'ler ikiye yaklaştığında y'ler eksi bire yaklaştı.
2'ye soldan yaklaştığında y'ler eksi 5'e yaklaştı, 2'de limit yokmuş.
3'e bakalım.
Üç de şurada bir yerde bir nokta.
Bunun da bir değeri var, Negatif bir değeri var değil mi?
O yüzden 3'te de limitim vardır ve negatiftir.
4'teki limiti var ama pozitif bize negatif olmasını istemişti.
Kaç x doğal sayısı için demiş üç tane x doğal sayısı için limitin vardır ve negatif arkadaşlar.
Son örneğimiz bakalım.
Son örneğimiz evet grafiğini verdik yine ve f fonksiyonunu eksi 5'ten yedi aralığının reel sayılara tanımladım.
Tanım kümem eksi beş kapalı yedi açık aralığı.
Fonksiyon grafiği verildi.
Eksi 5'teki limit soruldu.
Şimdi eksi 5'te bakın fonksiyonumuzun solu yok zaten.
Çünkü tanım kümesi eksi 5 kapalı aralığı değil mi?
Böyle durumlarda arkadaşlar eğer sınır noktaysa solundan, sağından solundan limit bakıyoruz biz.
Ama direkt sadece eksi 5 verdiğinde bunun solu yok zaten değil mi?
Böyle durumlarda arkadaşlar grafiğin sadece sağdan limitine bakarız, sağdan limitim neyse eksi 5'teki limiti odur diyeceğim.
Solu yok çünkü zaten evet eksi 5'in sağından limiti arkadaşlar evet yaklaştıralım bakın şuradan tuttum grafiği.
x'leri eksi 5'e yaklaştırdığımda y'ler ne oldu?
Arttı.
Şurada biraz en son 7'ye geldi değil mi 7'nin üzerine çıkamadı.
Evet, o zaman cevabımız 7'dir.
Eksi dörtteki limiti.
Eksi 4 nerede?
Eksi dördün bakın sağa sola demediği için sağına soluna bakmam lazım.
Sağdan limiti en son yedi oldu.
Soldan yaklaştınız en son 7'ye yaklaştı.
Demek ki dördün eksi 4'teki limiti sağdan ve soldan yedi olduğu için limiti 7'dir.
Bakın eksi dörtte fonksiyonumuz tanımlı değil ama limiti var yaklaştığı bir değer var.
Üçteki limiti sorduk.
Bakın üçte bir sıçrama var mı arkadaşlar?
3'ün olduğu yerde kaç olduğuna bakmadım bile.
Direkt yoktur dedim.
6'daki limitimiz altının şöyle biraz kaydıralım, altının sağdan yaklaştınız 0 oldu y'lerimiz.
Soldan geldiniz altıya doğru y'leriniz yine 0 oldu.
O yüzden x altıya giderken f(x) neymiş?
0 olacakmış arkadaşlar.
