Merhabalar arkadaşlar şimdi ispat kavramları ile alakalı karışık sorular çözeceğiz burada.
İlk örneğimize bakalım.
Bir öğrenci n elemandır pozitif tam sayılar olmak üzere n'yi bölen her bir p asal sayısı için p kare de n'yi böler diye bir önerme atılmış ve diyor ki bu önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile kullanarak ispatlamak istiyor.
Buna göre öğrencinin verdiği örnek aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Şimdi buradaki kısım birazcık daha zor gibi ama örneklerine baktığımızda kolay olduğunu göreceğiz.
Şimdi n'yi bölen bir tane p asal sayısı var ama bu p asal sayısının karesini aldığımızda tekrardan n'yi böldürmeye çalışacağız bakalım olacak mı?
Burada a, b, c, d, e şıkları var ve p ve n olarak seçilmiş zaten.
Şimdi ilk önce baktığımızda p'nin n'yi bölmesini istiyoruz p burada asal sayı.
n de bizim normal seçtiğimiz bir sayı.
Şimdi baktığımızda 3, 9'u bölüyor sıkıntı yok ama 3'ün karesi olan 9, veremez çünkü bu örnek bunun doğru olduğunu söyler yani aksine bir örnek vermiş olmaz burada.
B şıkkına bakalım.
2, 32'yi bölüyor sıkıntı yok.
2'nin karesi olan 4, 32'yi bölüyor mu?
Evet böler yani demek ki bunu da örnek olarak veremez çünkü aksi bir örnek değil bu.
5'e baktık, 5 75'i böler sıkıntı yok.
5'in karesi olan 25, 75'i böler mi?
Evet yine böler.
3 kalır hatta yani 3 bölümü gelir.
Demek ki bu da sağlıyor sıkıntı yok.
7, 14'ü böler sıkıntı yok ama 7'nin karesi olan 49, 14'ü böler mi?
Hayır yani burada biz sağlamayan bir tane örnek bulduk.
O zaman demek ki sağlamayan bir tane örnek bulduğumuz için bunu aksine ve örnek verme yöntemini kullandığımızda buradaki örneği verdiğimizde biz buradaki teoremin yanlış olduğunu söylemiş oluruz yani buradaki önermenin yanlışını ispatlamış oluyoruz.
Şimdi diğer bir örneğimiz.
"4x eksi 2 eşit değildir 10 ise x eşit değildir 3'tür." demiş.
"Bu önermenin ispatı olmayana ergi yöntemi ile ispat edilecektir." diyor.
Buna göre ispatın ilk adımı ne olmalıdır?
Şimdi olmayana ergi yöntemiyle ispatla biz ne yapıyorduk ilk önce şunu aklımıza getirmemiz lazım p ise q'nun denginin q'nun değili ise p'nin değili olduğunu hatırlamamız lazım.
Bunu hatırladıktan sonra şu kısmı kullanarak biz olmayana ergi yöntemini kullanıyorduk.
O zaman demek ki buradaki teorem de yani verilen buradaki önerme de ilk önce şuranın p olduğunu şuranın da q olduğunu bilmemiz lazım.
İlk önce başlarken ne yapmamız lazım?
Buradaki kısmın değilini alarak başlamamız lazım.
q'yu burada şöyle yazacak olursak: x eşit değildir 3'tür diye yazacak olursak o zaman demek ki burada bunun tekrardan değilini alırsak yani q'nun değilini alırsak x eşittir 3'tür diye almamız lazım ki teoreme de böyle başlarız.
Zaten nasıl başlarız bunu ispatlamaya çalışırken?
x eşittir değilini elde etmeye çalışırız yani bunun da değilini yazalım en sonunda bunu çözdüğümüzde şunu bulmamız lazım yani 4x eksi 2'nin de 10'a eşit olduğunu bulmamız lazım.
Bu da bize p'nin değerini verecektir zaten.
Şimdi geldik sonuncu örneğimize.
"Tek sayıyla çift sayının toplamı tek sayıdır." demiş.
Bunu zaten temel kavramlarda görüyoruz.
"Bu teoremi aşağıdaki gibi ispatlanmıştır." diyor.
Bakalım nasıl ispatlanmış hatta ispatından önce ne sorduğuna bakalım.
"Buna göre ispat için kullanılan yöntem nedir?
" diyor.
Tamam yöntemi soruyor.
O zaman demek ki ispatı inceleyelim k ve t elemandır tam sayılar olmak üzere 2k artı 1 tek ve 2t çift olsun demiş ve daha sonra ne yapmış?
2k artı 1 ile 2t'yi toplamış, burada işlemleri bulmuş ve şurada parantez aldıktan sonra 2 çarpı k artı t artı 1 olarak aldıktan sonra demiş ki 2 çarpı k artı t çift olduğundan dolayı buna 1 eklediğimizdeki bu sonuç tek sayı olur demiş ve buna göre ispat için kullanılan yöntemin ne olduğunu sormuş.
Şimdi ne yapmış olduğu bu adam?
Tek sayı ve çift sayının toplamının tek sayı olmasını istiyordu ve bunu ispatlamak istiyordu.
O zaman ne yaptı?
İlk önce tek bir sayı seçti daha sonra çift bir sayı seçti ve bunları direkt olarak işleme soktu.
İşleme soktuktan sonra çözdü ve sonucunu ne yapmış oldu?
Tek sayı olarak bulmuş oldu yani direkt olarak çözdü buradaki ispatı yapmış oldu.
O zaman demek ki biz burada ne diyeceğiz?
Doğrudan ispat yöntemini kullandığını söylemiş olacağız.
Doğrudan ispat ile çözmüştür.
Doğrudan ispat yöntemi yazalım buraya.
İlk örneğimize bakalım.
Bir öğrenci n elemandır pozitif tam sayılar olmak üzere n'yi bölen her bir p asal sayısı için p kare de n'yi böler diye bir önerme atılmış ve diyor ki bu önermenin yanlış olduğunu aksine örnek verme yöntemi ile kullanarak ispatlamak istiyor.
Buna göre öğrencinin verdiği örnek aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Şimdi buradaki kısım birazcık daha zor gibi ama örneklerine baktığımızda kolay olduğunu göreceğiz.
Şimdi n'yi bölen bir tane p asal sayısı var ama bu p asal sayısının karesini aldığımızda tekrardan n'yi böldürmeye çalışacağız bakalım olacak mı?
Burada a, b, c, d, e şıkları var ve p ve n olarak seçilmiş zaten.
Şimdi ilk önce baktığımızda p'nin n'yi bölmesini istiyoruz p burada asal sayı.
n de bizim normal seçtiğimiz bir sayı.
Şimdi baktığımızda 3, 9'u bölüyor sıkıntı yok ama 3'ün karesi olan 9, veremez çünkü bu örnek bunun doğru olduğunu söyler yani aksine bir örnek vermiş olmaz burada.
B şıkkına bakalım.
2, 32'yi bölüyor sıkıntı yok.
2'nin karesi olan 4, 32'yi bölüyor mu?
Evet böler yani demek ki bunu da örnek olarak veremez çünkü aksi bir örnek değil bu.
5'e baktık, 5 75'i böler sıkıntı yok.
5'in karesi olan 25, 75'i böler mi?
Evet yine böler.
3 kalır hatta yani 3 bölümü gelir.
Demek ki bu da sağlıyor sıkıntı yok.
7, 14'ü böler sıkıntı yok ama 7'nin karesi olan 49, 14'ü böler mi?
Hayır yani burada biz sağlamayan bir tane örnek bulduk.
O zaman demek ki sağlamayan bir tane örnek bulduğumuz için bunu aksine ve örnek verme yöntemini kullandığımızda buradaki örneği verdiğimizde biz buradaki teoremin yanlış olduğunu söylemiş oluruz yani buradaki önermenin yanlışını ispatlamış oluyoruz.
Şimdi diğer bir örneğimiz.
"4x eksi 2 eşit değildir 10 ise x eşit değildir 3'tür." demiş.
"Bu önermenin ispatı olmayana ergi yöntemi ile ispat edilecektir." diyor.
Buna göre ispatın ilk adımı ne olmalıdır?
Şimdi olmayana ergi yöntemiyle ispatla biz ne yapıyorduk ilk önce şunu aklımıza getirmemiz lazım p ise q'nun denginin q'nun değili ise p'nin değili olduğunu hatırlamamız lazım.
Bunu hatırladıktan sonra şu kısmı kullanarak biz olmayana ergi yöntemini kullanıyorduk.
O zaman demek ki buradaki teorem de yani verilen buradaki önerme de ilk önce şuranın p olduğunu şuranın da q olduğunu bilmemiz lazım.
İlk önce başlarken ne yapmamız lazım?
Buradaki kısmın değilini alarak başlamamız lazım.
q'yu burada şöyle yazacak olursak: x eşit değildir 3'tür diye yazacak olursak o zaman demek ki burada bunun tekrardan değilini alırsak yani q'nun değilini alırsak x eşittir 3'tür diye almamız lazım ki teoreme de böyle başlarız.
Zaten nasıl başlarız bunu ispatlamaya çalışırken?
x eşittir değilini elde etmeye çalışırız yani bunun da değilini yazalım en sonunda bunu çözdüğümüzde şunu bulmamız lazım yani 4x eksi 2'nin de 10'a eşit olduğunu bulmamız lazım.
Bu da bize p'nin değerini verecektir zaten.
Şimdi geldik sonuncu örneğimize.
"Tek sayıyla çift sayının toplamı tek sayıdır." demiş.
Bunu zaten temel kavramlarda görüyoruz.
"Bu teoremi aşağıdaki gibi ispatlanmıştır." diyor.
Bakalım nasıl ispatlanmış hatta ispatından önce ne sorduğuna bakalım.
"Buna göre ispat için kullanılan yöntem nedir?
" diyor.
Tamam yöntemi soruyor.
O zaman demek ki ispatı inceleyelim k ve t elemandır tam sayılar olmak üzere 2k artı 1 tek ve 2t çift olsun demiş ve daha sonra ne yapmış?
2k artı 1 ile 2t'yi toplamış, burada işlemleri bulmuş ve şurada parantez aldıktan sonra 2 çarpı k artı t artı 1 olarak aldıktan sonra demiş ki 2 çarpı k artı t çift olduğundan dolayı buna 1 eklediğimizdeki bu sonuç tek sayı olur demiş ve buna göre ispat için kullanılan yöntemin ne olduğunu sormuş.
Şimdi ne yapmış olduğu bu adam?
Tek sayı ve çift sayının toplamının tek sayı olmasını istiyordu ve bunu ispatlamak istiyordu.
O zaman ne yaptı?
İlk önce tek bir sayı seçti daha sonra çift bir sayı seçti ve bunları direkt olarak işleme soktu.
İşleme soktuktan sonra çözdü ve sonucunu ne yapmış oldu?
Tek sayı olarak bulmuş oldu yani direkt olarak çözdü buradaki ispatı yapmış oldu.
O zaman demek ki biz burada ne diyeceğiz?
Doğrudan ispat yöntemini kullandığını söylemiş olacağız.
Doğrudan ispat ile çözmüştür.
Doğrudan ispat yöntemi yazalım buraya.
