Örnek.
P x polinomunun x eksi 1 ile bölümünde bölüm B x ve kalan eksi 4'tür ve B x polinomunun x eksi 3 ile bölümünden kalan 5'tir.
Buna göre P x polinomunun x kare artı 2x eksi 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Şimdi öncelikle burada B x polinomunun x artı 3 ile bölümünden kalan ifadesi vermiş.
Buna dikkat edelim.
Bölen burada nedir?
x artı 3 0 eşitleyecek olursak ne eşitlendi eksi 3'e?
O halde B x burada ne olmuş oldu?
B eksi 3 neye eşit olmuş oldu?
Burada beşe eşit olmuş oldu.
Bunu bulduk şimdi.
P x'i hesaplayalım.
P x neye eşit?
x eksi bir bölen bölenle bölümü çarp, bölüm.
Burada B x kalan ne?
Kalanım eksi 4.
Şimdi burada neyi biliyorum?
B eksi 3'ü.
O zaman x Gördüğümüz yere burada ne yazacağız?
Eksi 3 yazacağız.
O halde artık P eksi üçü bulmuş oluyoruz.
Eksi 3, eksi 1 daha eksi 4 çarpı.
Buradan de Gelmiş oldu.
B Eksi 3 5 eksi 3'üne eşit 5'e.
Yanında bir de ne var?
Eksi 4 var.
O halde P eksi 3 buradan neye eşit olmuş oldu?
Eksi yirmi eksi dört daha eksi 24'e eşit olmuş oldu.
Şimdi soru bana neyi soruyor?
P x eşittir x kare artı 2x eksi 3 ile bölümünden kalan.
Peki bunu biz çarpanlara ayıralım.
x'e x, artı 3'e eksi 1 yani yazarken şöyle yazabiliriz.
x artı üç bölenim benim.
x artı 3 çarpı x eksi 1 olmuş oluyor.
Peki böleni biliyorum bölümü biliyor muyum?
Bilmiyorum.
Buna da böyle r x gibi bir polinom diyelim.
Bir de artı nedir?
Kalanım var.
Kalanım da şimdi bölenim ikinci dereceden olduğu için kalanı birinci dereceden olmak zorunda yani artı b olmak zorunda.
Peki şimdi artık ben neyi biliyorum?
P eksi 3'ün eksi 24'e eşit olduğunu biliyorum.
x gördüğümüz yere eksi 3 yazalım.
Eksi 3 yazacak olursak burası sıfırlanır.
O halde direkt burada eksi 3a artı B neye eşit olmuş oluyor?
Eksi yirmi dörde eşit olmuş oluyor.
Bir de ben neyi biliyorum burada?
x Gördüğümüz yere bir yazalım.
X Gördüğümüz yere bir yazacak olursak yukarıda çünkü bana ne demiş?
x eksi 1 ile bölüm bx kalanım eksi 4.
Burada x yerine bir yazacak olursak eksi dörde eşit olduğunu görüyoruz.
Aynı şekilde burada da yazalım.
Bir yazacak olursak yine sıfırlanır.
O halde burada da bir yazalım.
A Artı B neye eşit olmuş oluyor?
Eksi dörde.
Şimdi burada artık denklem sistemlerinden yok etme metodunu uygulayalım.
Yukarıyı eksi ile çarpalım.
3a eksi b eşittir 24, eksi eksi artı yaptı.
Artı B eşittir eksi dört taraf tarafa topladık.
4a neye eşit olmuş oldu?
20'ye.
A buradan 5 gelmiş oldu.
A artı ve eksi 4 ise şurada yerine yazalım.
5 artı B eşittir eksi 4'ten b'si eksi 9 gelmiş oluyor.
Artık A'yı B'yi bulduk.
Bana ne demiş?
Bölümünden kalanı sormuş.
Biz zaten kalanına ne demiştik?
Ax artı B demiştik.
O halde P x polinomunda artık kalanım nedir?
Şöyle a gördüğümüz yere 5 yazacak olursak 5x eksi dokuz benim cevabım olmuş oluyor.
Örnek.
P x polinomu Q x polinomuna bölünüyor.
Bu bölümden elde edilen kalan kaçtır?
diye soruyor.
Şimdi öncelikle P x polinomuna bakacak olursak kaç tane terim var?
x eksi 1, 2x eksi 1'den 10x eksi bire kadar.
Önce şu ifadelerin hepsini toplayacak olursak x'ten 10x'e kadar olan sayıların toplamı.
x hepsinde ortak.
Yani 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamı nedir?
10 çarpı on bir bölü iki.
Kaç tane eksi bir var?
Terim sayısı 10 du.
10 çarpı eksi birden eksi 10 dabit terim gelir.
O halde buradan P ne geldi?
10'u 2'ye böldüm 5.
55x eksi 10 gelmiş oluyor.
Şimdi ise Q x polinomuna bakalım.
Q polinomu da 5x artı 1, 5x artı 2 sabitler, bir ikiden on bire kadar.
Kaç tane terim var?
Onbir.
On bir çarpı on iki bölü iki.
Bu benim sabit terimim.
Terim sayısı on bir olduğu için on bir tane ne olacak?
5x olmuş olacak on bir çarpı 5x.
Buradan cevabımız 55x, on ikiye ikiye böldüm altı.
55x artı 66 gelmiş oluyor.
Şimdi polinom bölmesi yapalım.
P x'i yani 55x eksi 10'u Q x'e yani 55x artı 66'ya bölüyorum.
Şimdi katsayılar fark ettiyseniz aynı.
O halde bir defa var.
55 x artı 66.
55 x'ler birbirini götürür.
Çıkarma yapıyoruz.
Eksi 10 eksi dağıttım içeri.
Eksi 6'dan eksi 76 gelmiş oluyor kalanımız.
Örnek.
Üçüncü dereceden baş katsayısı eksi 3 olan bir gerçek katsayılı P x polinomu için P bir eşittir P 2 eşittir p eksi 4 eşittir eksi 5 eşitlikleri veriliyor.
Buna göre p eksi bir kaçtır?
Şimdi verilen bu ifade ne demek?
Aslında x eksi 1 ile bölümünden kalan eksi 5 veya Bu p x polinomu x eksi iki ile bölümünden kalan eksi 5 veya p x polinomu x artı 4 ile bölümünden kalanı eksi 5.
O halde artı kalanı ekleyebiliriz.
Fakat burada bir de aynı zamanda baş katsayısını eklemek durumundayız.
Baş katsayısı da vermiş.
Eksi 3.
Şu an karşıma üçüncü dereceden bir p x polinomu çıkmış oluyor.
Soru bana neyi sormuş?
P eksi biri.
O halde artık x gördüğümüz yerlere ne yazacağız?
Eksi bir yazacağız.
Buradan P eksi 1 eşittir eksi üç çarpı eksi 1, eksi 2, eksi 1, eksi 1, eksi 2, yaptı eksi 1, eksi 2, eksi 3 yaptım.
Eksi 1, artı 4'ten üç geldi.
Bir de yanında eksi 5 var.
Buradan cevabımız eksi elli dört gelmiş oluyor.
Yanında da eksi beş var.
Cevabımız eksi elli dokuz gelmiş oluyor.
Örnek.
Gerçel katsayılı ve baş kat ayısı iki olan dördüncü dereceden bir P x polinomu x gerçel sayısı için P x eşittir P eksi x eşitliğini sağlamaktadır.
P eksi üç eşittir p 1 eşittir sıfır olduğuna göre P 2 kaçtır?
Şimdi öncelikle verilen p eksi 3 ifadesine bakacak olursak p x neye eşit?
P eksi x'e.
Yani eksilisi.
O halde x gördüğümüz yere eksi 3 yazarsak eksi eksi artı yapar.
Yani p x neye eşit aslında?
P 3'e.
Aynı şekilde burada eksi gördüğümüz yere bir yazacak olursak p bir neye eşit?
P eksi bire.
İşte bu ifadelerde bölümünden kalalım her zaman nedir?
Sıfırdır.
O halde P eksi 3 ifadesi ne demektir?
Aslında x artı üçlü bölümünden kalanın 0 p x polinomunun.
Aynı şekilde x eksi 3 ile bölümünden kalanın 0 veya 1 yapabilmesi için x eksi 1 ile bölümünden kalan veya x eksi 1 yapabilmesi için x artı 1 ile bölümünden kalan sıfırdır P x polinomunun.
Tabii burada aynı zamanda başında bir baş katsayısı olacak.
Baş katsayısını vermiş mi?
İki vermiş.
Soru bana artık neyi sordu?
P 2.
Biz x'i bulmuş olduk.
Hemen yazalım.
İki çarpı üç iki daha beş, ikiden üç çıkardım eksi 1.
2'den 1 çıkardım.
Bir, iki, bir daha üç.
Buradan cevabımız bizim üç kere beş, on beş, eksi otuz gelmiş oluyor.
P x polinomunun x eksi 1 ile bölümünde bölüm B x ve kalan eksi 4'tür ve B x polinomunun x eksi 3 ile bölümünden kalan 5'tir.
Buna göre P x polinomunun x kare artı 2x eksi 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Şimdi öncelikle burada B x polinomunun x artı 3 ile bölümünden kalan ifadesi vermiş.
Buna dikkat edelim.
Bölen burada nedir?
x artı 3 0 eşitleyecek olursak ne eşitlendi eksi 3'e?
O halde B x burada ne olmuş oldu?
B eksi 3 neye eşit olmuş oldu?
Burada beşe eşit olmuş oldu.
Bunu bulduk şimdi.
P x'i hesaplayalım.
P x neye eşit?
x eksi bir bölen bölenle bölümü çarp, bölüm.
Burada B x kalan ne?
Kalanım eksi 4.
Şimdi burada neyi biliyorum?
B eksi 3'ü.
O zaman x Gördüğümüz yere burada ne yazacağız?
Eksi 3 yazacağız.
O halde artık P eksi üçü bulmuş oluyoruz.
Eksi 3, eksi 1 daha eksi 4 çarpı.
Buradan de Gelmiş oldu.
B Eksi 3 5 eksi 3'üne eşit 5'e.
Yanında bir de ne var?
Eksi 4 var.
O halde P eksi 3 buradan neye eşit olmuş oldu?
Eksi yirmi eksi dört daha eksi 24'e eşit olmuş oldu.
Şimdi soru bana neyi soruyor?
P x eşittir x kare artı 2x eksi 3 ile bölümünden kalan.
Peki bunu biz çarpanlara ayıralım.
x'e x, artı 3'e eksi 1 yani yazarken şöyle yazabiliriz.
x artı üç bölenim benim.
x artı 3 çarpı x eksi 1 olmuş oluyor.
Peki böleni biliyorum bölümü biliyor muyum?
Bilmiyorum.
Buna da böyle r x gibi bir polinom diyelim.
Bir de artı nedir?
Kalanım var.
Kalanım da şimdi bölenim ikinci dereceden olduğu için kalanı birinci dereceden olmak zorunda yani artı b olmak zorunda.
Peki şimdi artık ben neyi biliyorum?
P eksi 3'ün eksi 24'e eşit olduğunu biliyorum.
x gördüğümüz yere eksi 3 yazalım.
Eksi 3 yazacak olursak burası sıfırlanır.
O halde direkt burada eksi 3a artı B neye eşit olmuş oluyor?
Eksi yirmi dörde eşit olmuş oluyor.
Bir de ben neyi biliyorum burada?
x Gördüğümüz yere bir yazalım.
X Gördüğümüz yere bir yazacak olursak yukarıda çünkü bana ne demiş?
x eksi 1 ile bölüm bx kalanım eksi 4.
Burada x yerine bir yazacak olursak eksi dörde eşit olduğunu görüyoruz.
Aynı şekilde burada da yazalım.
Bir yazacak olursak yine sıfırlanır.
O halde burada da bir yazalım.
A Artı B neye eşit olmuş oluyor?
Eksi dörde.
Şimdi burada artık denklem sistemlerinden yok etme metodunu uygulayalım.
Yukarıyı eksi ile çarpalım.
3a eksi b eşittir 24, eksi eksi artı yaptı.
Artı B eşittir eksi dört taraf tarafa topladık.
4a neye eşit olmuş oldu?
20'ye.
A buradan 5 gelmiş oldu.
A artı ve eksi 4 ise şurada yerine yazalım.
5 artı B eşittir eksi 4'ten b'si eksi 9 gelmiş oluyor.
Artık A'yı B'yi bulduk.
Bana ne demiş?
Bölümünden kalanı sormuş.
Biz zaten kalanına ne demiştik?
Ax artı B demiştik.
O halde P x polinomunda artık kalanım nedir?
Şöyle a gördüğümüz yere 5 yazacak olursak 5x eksi dokuz benim cevabım olmuş oluyor.
Örnek.
P x polinomu Q x polinomuna bölünüyor.
Bu bölümden elde edilen kalan kaçtır?
diye soruyor.
Şimdi öncelikle P x polinomuna bakacak olursak kaç tane terim var?
x eksi 1, 2x eksi 1'den 10x eksi bire kadar.
Önce şu ifadelerin hepsini toplayacak olursak x'ten 10x'e kadar olan sayıların toplamı.
x hepsinde ortak.
Yani 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamı nedir?
10 çarpı on bir bölü iki.
Kaç tane eksi bir var?
Terim sayısı 10 du.
10 çarpı eksi birden eksi 10 dabit terim gelir.
O halde buradan P ne geldi?
10'u 2'ye böldüm 5.
55x eksi 10 gelmiş oluyor.
Şimdi ise Q x polinomuna bakalım.
Q polinomu da 5x artı 1, 5x artı 2 sabitler, bir ikiden on bire kadar.
Kaç tane terim var?
Onbir.
On bir çarpı on iki bölü iki.
Bu benim sabit terimim.
Terim sayısı on bir olduğu için on bir tane ne olacak?
5x olmuş olacak on bir çarpı 5x.
Buradan cevabımız 55x, on ikiye ikiye böldüm altı.
55x artı 66 gelmiş oluyor.
Şimdi polinom bölmesi yapalım.
P x'i yani 55x eksi 10'u Q x'e yani 55x artı 66'ya bölüyorum.
Şimdi katsayılar fark ettiyseniz aynı.
O halde bir defa var.
55 x artı 66.
55 x'ler birbirini götürür.
Çıkarma yapıyoruz.
Eksi 10 eksi dağıttım içeri.
Eksi 6'dan eksi 76 gelmiş oluyor kalanımız.
Örnek.
Üçüncü dereceden baş katsayısı eksi 3 olan bir gerçek katsayılı P x polinomu için P bir eşittir P 2 eşittir p eksi 4 eşittir eksi 5 eşitlikleri veriliyor.
Buna göre p eksi bir kaçtır?
Şimdi verilen bu ifade ne demek?
Aslında x eksi 1 ile bölümünden kalan eksi 5 veya Bu p x polinomu x eksi iki ile bölümünden kalan eksi 5 veya p x polinomu x artı 4 ile bölümünden kalanı eksi 5.
O halde artı kalanı ekleyebiliriz.
Fakat burada bir de aynı zamanda baş katsayısını eklemek durumundayız.
Baş katsayısı da vermiş.
Eksi 3.
Şu an karşıma üçüncü dereceden bir p x polinomu çıkmış oluyor.
Soru bana neyi sormuş?
P eksi biri.
O halde artık x gördüğümüz yerlere ne yazacağız?
Eksi bir yazacağız.
Buradan P eksi 1 eşittir eksi üç çarpı eksi 1, eksi 2, eksi 1, eksi 1, eksi 2, yaptı eksi 1, eksi 2, eksi 3 yaptım.
Eksi 1, artı 4'ten üç geldi.
Bir de yanında eksi 5 var.
Buradan cevabımız eksi elli dört gelmiş oluyor.
Yanında da eksi beş var.
Cevabımız eksi elli dokuz gelmiş oluyor.
Örnek.
Gerçel katsayılı ve baş kat ayısı iki olan dördüncü dereceden bir P x polinomu x gerçel sayısı için P x eşittir P eksi x eşitliğini sağlamaktadır.
P eksi üç eşittir p 1 eşittir sıfır olduğuna göre P 2 kaçtır?
Şimdi öncelikle verilen p eksi 3 ifadesine bakacak olursak p x neye eşit?
P eksi x'e.
Yani eksilisi.
O halde x gördüğümüz yere eksi 3 yazarsak eksi eksi artı yapar.
Yani p x neye eşit aslında?
P 3'e.
Aynı şekilde burada eksi gördüğümüz yere bir yazacak olursak p bir neye eşit?
P eksi bire.
İşte bu ifadelerde bölümünden kalalım her zaman nedir?
Sıfırdır.
O halde P eksi 3 ifadesi ne demektir?
Aslında x artı üçlü bölümünden kalanın 0 p x polinomunun.
Aynı şekilde x eksi 3 ile bölümünden kalanın 0 veya 1 yapabilmesi için x eksi 1 ile bölümünden kalan veya x eksi 1 yapabilmesi için x artı 1 ile bölümünden kalan sıfırdır P x polinomunun.
Tabii burada aynı zamanda başında bir baş katsayısı olacak.
Baş katsayısını vermiş mi?
İki vermiş.
Soru bana artık neyi sordu?
P 2.
Biz x'i bulmuş olduk.
Hemen yazalım.
İki çarpı üç iki daha beş, ikiden üç çıkardım eksi 1.
2'den 1 çıkardım.
Bir, iki, bir daha üç.
Buradan cevabımız bizim üç kere beş, on beş, eksi otuz gelmiş oluyor.
