Merhaba arkadaşlar.
Konumuz polinomların dereceleri ile ilgili işlemler.
Şimdi p(x)'in derecesi m olsun.
q(x)'in derecesi n olsun m büyükmüş n'den.
Buna göre AB birer gerçek sayı olmak üzere şimdi p ax artı b polinomunun derecesi yine bana m'i verir.
Şimdi bu ne demek hemen yazalım.
Mesela p(x) x küp olsun.
q(x) de x kare olsun.
Evet burada m'i n'den büyük almış olduk.
Üç büyüktür 2.
Şimdi birinci öncüle bakacak olursak ben P(x)'in içerisine ax artı B yazacak olursam o halde yine ne olmuş oldu derecem?
Ax artı b'nin küpü yine burada derecesi en büyük olan ne olmuş oluyor?
Ax küp yani yine derece üç gelmiş oluyor.
Bunu örneklendirmiş olduk.
Şimdi ise p(x) çarpı q(x) derecesi m artı n.
Bu ne demek şimdi?
p(x) dediğimde x küp q(x) dediğimde x kare.
Biz çarpmada ne yapıyoruz?
Üsleri topluyoruz.
3 iki daha 5.
İşte bu sebeple toplama yaptık.
m artı n'i bulmuş olduk.
p(x) üzeri K.
Yani bu ne demek?
Mesela p(x)'in karesi.
O halde p(x) neye eşit?
x küpe.
X küpün karesi, üssün üssü, üssünün sonucu.
Biz ne yapıyoruz?
Çarpıyoruz yüzden burada k gibi bir sayıyla çarpmış k çarpı m bulmuş.
Şimdi ise p(x) artı q(x) demiş.
Hemen başlayalım.
p(x)'im nedir?
x Küp.
Artı q(x)'im ne?
x kare.
İşte bu ifadenin derecesi ne olmuş oluyor, yine derece ne demekti?
Toplamada da kuvvetleri en büyük olan yani üç olmuş oluyor.
Burada da m olduğunu söylemiş.
Şimdi ise bölmede bakalım.
P(x)'i bölecek olursak q(x)'e x küp bölü x kare ne yapıyoruz?
Üstleri çıkartma yapıyoruz.
Üçten iki çıkardım.
Üsleri bir bu sebepten dolayı m eksi n demiş.
Şimdi ise üs yukarıdaydı.
Şimdi içeri alalım.
P küp diyelim bu sefer şöyle.
P Küp.
x.
Bu ifadenin derecesi nedir diye sorarsa yani yine üssün üssü ile karşılaşacağım p(x)'i x küp kabul etmiştik.
x küpün küpü.
Yine çarpma yapıyorum.
O yüzden bu sebeple K çarpı m'yi vermiş burada derecemizi biz dokuz bulmuş olduk.
Şimdi ise bir örneğe bakalım.
Örnek.
p(x) ve q(x) polinomlarını vermiş.
A şıkkına bakalım.
p(x) artı q(2x)'in toplamının derecesini sormuş.
Şimdi öncelikle p(x)'e bakacak olursak p(x)'in derecesini ne kabul edelim?
Biz burada üç kabul edelim.
Yani şu geri kalan diğer terimleri yok edecek olursak.
Çünkü sadece dereceye odaklanacağız.
Yani p(x)'i x küp gibi düşünelim.
Aynı şekilde q(x)'te de derecesi en büyük olan terim nedir?
Burada x üzeri 4'tür.
Yani diğer terimleri yine görmezden gelirsek x üzeri 4 kabul edelim.
Şimdi soruyu çözmeye başlayalım.
P(x) nedir?
x küp artı q(2x), x gördüğümüz üzere 2x yazacağız 2x üzeri 4.
Peki bunu düzenleyelim.
X küp artık 2 üzeri 4 çarpı x üzeri 4 gelmiş oldu.
Burada şu sayıların hiçbir önemi yok çünkü bana bunun nesini sormuş.
Bunun derecesini sormuş.
Peki burada toplamada dereceyi nasıl buluyorduk?
Üssün kuvvetinde en büyük olan yani 4'tür.
B şıkkına bakalım p kare x.
Yani x küp vardı.
X küpün karesi yani derecesi üssün üssü olmuş oluyor.
Çarpım x kare artı 1.
Peki q x'te x gördüğümüz yere x kare artı bir yazalım.
Üssünde ne var?
4 var.
Yine üssün üstü ne yaptı?
X üzeri 6 yaptı.
Burada yine artı biri şöyle görmezden gelecek olursak üssün üssü ne yaptı?
x üzeri 8.
Tabanlar aynı üsleri ne yapıyoruz?
Topluyoruz x üzeri 14.
İşte bu ifadenin derecesi ne olmuş oldu?
14 gelmiş oldu.
Peki derece p x artı 3.
X gördüğümüz yere x artı 3 yazıyoruz.
x artı 3'ün küpü olmuş oldu.
q x küp.
Yine x gördüğümüz yere x küp yazıyoruz üzerinde ne var?
4 var.
Eksi x kare var.
Çarpı p(x) x küp.
q eksi x.
q eksi x'te yine eksi çift kuvvet olduğu için yine x üzeri 4 gelir.
Dedim ki burada sabitleri görmüyoruz sadece kuvvetlere bakacağız.
X küp artı x'in üssü x üzeri on iki eksi buradan tabanları aynı üsleri toplayalım.
Üç iki daha beş dört daha dokuz.
İşte artık soru bana şu ifadenin derecesini sormuş.
Buradan x üzeri 15 gelmiş oldu.
X üzeri 15 eksi X üzeri 9 üssü.
Bu ifadenin derecesi.
Toplamada ne yapıyorduk?
En büyük olana bakıyorduk.
Yani buradan cevabımız bizim 15 gelmiş oluyor.
Yeni örnekle devam edelim.
p(x) q(x) birer polinom olmak üzere derece p(x) çarpı q x kare eşittir 16 derece q 3x artı bir bölü x küp eksi 5 eşittir bir olduğuna göre q(x) polinomunun derecesi nedir?
Şimdi öncelikle p(x) ile q(x) hakkında hiçbir şey bilmiyorum o halde ben p(x)'e şöyle x üzeri m diyeyim q(x) de x üzeri n diyeyim.
Yani p(x)'in derecesi ne olmuş oldu?
m.
q(x)'in derecesi n.
Peki burada x kare q x kare demiş.
Üssün üssü olduğu zaman biz ne yapıyorduk?
Burada çarpma yapıyorduk.
Yani buradan x üzeri aslında 2n olmuş oluyor.
Burada da x üzeri m vardı.
Derecesini ne yapıyoruz?
Tabanlar aynıysa üsleri topluyoruz.
Yani buradan m artı 2n neye eşit olmuş oldu?
16'ya.
Şimdi devam edelim.
q 3 artı 1 yani x gördüğüm yere ben yine q şöyle yapalım.
3x artı 1 yazacak olursam 3x artı 1 üzeri n.
Sabiti görmüyorum.
Yine kuvvet ne gelmiş oldu burada?
x üzeri n yani n gelmiş oldu.
O halde şuradan n yapalım.
x üzeri n gibi düşünelim yine burayı.
Aşağıda da x küp eksi 5 var yine aynı şekilde ve x küp eksi 5 іfadеsіnі x gördüğümüz x küp eksi 5 yazacık olursak üzeride n var sabiti görmüyorum.
Üssün üssü yani x üzeri 3m olmuş oldu.
Yani burada ilk üzeri 3m yazacak olursak tabanlar aynı üsleri ne yapıyoruz bölmede?
Çıkartıyoruz.
m eksi 3m de neye eşit olmuş oldu?
Bire.
İşte buradan artık denklem sistemlerinden rahat bulabilirim.
Yukardaki terimler ifadeyi 3'le çarptım.
3m artı 6n eşittir 48, n eksi 3m eşittir bir.
Buradan m'ler birbirini götürdü 7n eşittir 49, n buradan 7 gelmiş oldu.
n'i bulduk.
Bana neyi sormuş?
q(x)'in derecesi.
Peki.
q(x) ne idi?
x üzere n'di n'i ne bulduk?
7.
Yani bu ifadenin derecesi ne olmuş oldu artık?
Yedi olmuş oldu.
Konumuz polinomların dereceleri ile ilgili işlemler.
Şimdi p(x)'in derecesi m olsun.
q(x)'in derecesi n olsun m büyükmüş n'den.
Buna göre AB birer gerçek sayı olmak üzere şimdi p ax artı b polinomunun derecesi yine bana m'i verir.
Şimdi bu ne demek hemen yazalım.
Mesela p(x) x küp olsun.
q(x) de x kare olsun.
Evet burada m'i n'den büyük almış olduk.
Üç büyüktür 2.
Şimdi birinci öncüle bakacak olursak ben P(x)'in içerisine ax artı B yazacak olursam o halde yine ne olmuş oldu derecem?
Ax artı b'nin küpü yine burada derecesi en büyük olan ne olmuş oluyor?
Ax küp yani yine derece üç gelmiş oluyor.
Bunu örneklendirmiş olduk.
Şimdi ise p(x) çarpı q(x) derecesi m artı n.
Bu ne demek şimdi?
p(x) dediğimde x küp q(x) dediğimde x kare.
Biz çarpmada ne yapıyoruz?
Üsleri topluyoruz.
3 iki daha 5.
İşte bu sebeple toplama yaptık.
m artı n'i bulmuş olduk.
p(x) üzeri K.
Yani bu ne demek?
Mesela p(x)'in karesi.
O halde p(x) neye eşit?
x küpe.
X küpün karesi, üssün üssü, üssünün sonucu.
Biz ne yapıyoruz?
Çarpıyoruz yüzden burada k gibi bir sayıyla çarpmış k çarpı m bulmuş.
Şimdi ise p(x) artı q(x) demiş.
Hemen başlayalım.
p(x)'im nedir?
x Küp.
Artı q(x)'im ne?
x kare.
İşte bu ifadenin derecesi ne olmuş oluyor, yine derece ne demekti?
Toplamada da kuvvetleri en büyük olan yani üç olmuş oluyor.
Burada da m olduğunu söylemiş.
Şimdi ise bölmede bakalım.
P(x)'i bölecek olursak q(x)'e x küp bölü x kare ne yapıyoruz?
Üstleri çıkartma yapıyoruz.
Üçten iki çıkardım.
Üsleri bir bu sebepten dolayı m eksi n demiş.
Şimdi ise üs yukarıdaydı.
Şimdi içeri alalım.
P küp diyelim bu sefer şöyle.
P Küp.
x.
Bu ifadenin derecesi nedir diye sorarsa yani yine üssün üssü ile karşılaşacağım p(x)'i x küp kabul etmiştik.
x küpün küpü.
Yine çarpma yapıyorum.
O yüzden bu sebeple K çarpı m'yi vermiş burada derecemizi biz dokuz bulmuş olduk.
Şimdi ise bir örneğe bakalım.
Örnek.
p(x) ve q(x) polinomlarını vermiş.
A şıkkına bakalım.
p(x) artı q(2x)'in toplamının derecesini sormuş.
Şimdi öncelikle p(x)'e bakacak olursak p(x)'in derecesini ne kabul edelim?
Biz burada üç kabul edelim.
Yani şu geri kalan diğer terimleri yok edecek olursak.
Çünkü sadece dereceye odaklanacağız.
Yani p(x)'i x küp gibi düşünelim.
Aynı şekilde q(x)'te de derecesi en büyük olan terim nedir?
Burada x üzeri 4'tür.
Yani diğer terimleri yine görmezden gelirsek x üzeri 4 kabul edelim.
Şimdi soruyu çözmeye başlayalım.
P(x) nedir?
x küp artı q(2x), x gördüğümüz üzere 2x yazacağız 2x üzeri 4.
Peki bunu düzenleyelim.
X küp artık 2 üzeri 4 çarpı x üzeri 4 gelmiş oldu.
Burada şu sayıların hiçbir önemi yok çünkü bana bunun nesini sormuş.
Bunun derecesini sormuş.
Peki burada toplamada dereceyi nasıl buluyorduk?
Üssün kuvvetinde en büyük olan yani 4'tür.
B şıkkına bakalım p kare x.
Yani x küp vardı.
X küpün karesi yani derecesi üssün üssü olmuş oluyor.
Çarpım x kare artı 1.
Peki q x'te x gördüğümüz yere x kare artı bir yazalım.
Üssünde ne var?
4 var.
Yine üssün üstü ne yaptı?
X üzeri 6 yaptı.
Burada yine artı biri şöyle görmezden gelecek olursak üssün üssü ne yaptı?
x üzeri 8.
Tabanlar aynı üsleri ne yapıyoruz?
Topluyoruz x üzeri 14.
İşte bu ifadenin derecesi ne olmuş oldu?
14 gelmiş oldu.
Peki derece p x artı 3.
X gördüğümüz yere x artı 3 yazıyoruz.
x artı 3'ün küpü olmuş oldu.
q x küp.
Yine x gördüğümüz yere x küp yazıyoruz üzerinde ne var?
4 var.
Eksi x kare var.
Çarpı p(x) x küp.
q eksi x.
q eksi x'te yine eksi çift kuvvet olduğu için yine x üzeri 4 gelir.
Dedim ki burada sabitleri görmüyoruz sadece kuvvetlere bakacağız.
X küp artı x'in üssü x üzeri on iki eksi buradan tabanları aynı üsleri toplayalım.
Üç iki daha beş dört daha dokuz.
İşte artık soru bana şu ifadenin derecesini sormuş.
Buradan x üzeri 15 gelmiş oldu.
X üzeri 15 eksi X üzeri 9 üssü.
Bu ifadenin derecesi.
Toplamada ne yapıyorduk?
En büyük olana bakıyorduk.
Yani buradan cevabımız bizim 15 gelmiş oluyor.
Yeni örnekle devam edelim.
p(x) q(x) birer polinom olmak üzere derece p(x) çarpı q x kare eşittir 16 derece q 3x artı bir bölü x küp eksi 5 eşittir bir olduğuna göre q(x) polinomunun derecesi nedir?
Şimdi öncelikle p(x) ile q(x) hakkında hiçbir şey bilmiyorum o halde ben p(x)'e şöyle x üzeri m diyeyim q(x) de x üzeri n diyeyim.
Yani p(x)'in derecesi ne olmuş oldu?
m.
q(x)'in derecesi n.
Peki burada x kare q x kare demiş.
Üssün üssü olduğu zaman biz ne yapıyorduk?
Burada çarpma yapıyorduk.
Yani buradan x üzeri aslında 2n olmuş oluyor.
Burada da x üzeri m vardı.
Derecesini ne yapıyoruz?
Tabanlar aynıysa üsleri topluyoruz.
Yani buradan m artı 2n neye eşit olmuş oldu?
16'ya.
Şimdi devam edelim.
q 3 artı 1 yani x gördüğüm yere ben yine q şöyle yapalım.
3x artı 1 yazacak olursam 3x artı 1 üzeri n.
Sabiti görmüyorum.
Yine kuvvet ne gelmiş oldu burada?
x üzeri n yani n gelmiş oldu.
O halde şuradan n yapalım.
x üzeri n gibi düşünelim yine burayı.
Aşağıda da x küp eksi 5 var yine aynı şekilde ve x küp eksi 5 іfadеsіnі x gördüğümüz x küp eksi 5 yazacık olursak üzeride n var sabiti görmüyorum.
Üssün üssü yani x üzeri 3m olmuş oldu.
Yani burada ilk üzeri 3m yazacak olursak tabanlar aynı üsleri ne yapıyoruz bölmede?
Çıkartıyoruz.
m eksi 3m de neye eşit olmuş oldu?
Bire.
İşte buradan artık denklem sistemlerinden rahat bulabilirim.
Yukardaki terimler ifadeyi 3'le çarptım.
3m artı 6n eşittir 48, n eksi 3m eşittir bir.
Buradan m'ler birbirini götürdü 7n eşittir 49, n buradan 7 gelmiş oldu.
n'i bulduk.
Bana neyi sormuş?
q(x)'in derecesi.
Peki.
q(x) ne idi?
x üzere n'di n'i ne bulduk?
7.
Yani bu ifadenin derecesi ne olmuş oldu artık?
Yedi olmuş oldu.
Sıkça Sorulan Sorular
İki polinomun toplamının derecesi ne olur?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[P(x)] = m , der[Q(x)] = n ve m > n ise,
der[P(x) + Q(x)] = m olur.
Sonuç olarak, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
İki polinomun farkının derecesi ne olur?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[P(x)] = m , der[Q(x)] = n ve m > n ise,
der[P(x) - Q(x)] = m olur.
Sonuç olarak, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir.
İki polinomun çarpımının derecesi ne olur?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[P(x)] = m , der[Q(x)] = n ve m > n ise,
der[P(x) . Q(x)] = m + n olur.
Sonuç olarak, polinomların dereceleri toplamına eşittir.
Bir polinom başka bir polinoma bölünürse derecesi ne olur?
P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere, der[P(x)] = m , der[Q(x)] = n ve m > n ise,
olur.
Sonuç olarak, polinomların dereceleri farkına eşittir.
Polinomun üssünün derecesi ne olur?
der[P(x)] = m ve k bir doğal sayı olmak üzere,
der[P(x)]k = k.m olur.
der[Pk(x)] = k.m olur.
