Tekrarlı permütasyon.
N tane nesnenin r1 adedi, r2 adedi ve r3 adedi ayrı ayrı özdeş iseler, bu n tane nesnenin permütasyonların sayısı n faktöriyel bölü r bir faktöriyel r iki faktöriyel r üç faktöriyel ile bulunur.
Şimdi bu ifade ne demek ona bakalım.
Mesela bir tane örnek verelim.
Elimde 112 sayısı olsun.
Bu 112 sayısı ile rakamlarının yerleri değiştirilerek üç basamaklı kaç tane sayı yazılır?
Hadi hesaplayalım.
Tüm meselem bunun rakamları yerleştirerek 112 zaten kendisi veya yüz yirmi bir veya iki yüz on bir kaç tane sayı elde ettim.
Ben üç tane sayıyı elde ettim.
Üç basamaklı olmak şartıyla böyle bir şart koştum.
Şu an tek tek yazdım ve üç tane buldum.
Peki gelelim tekrarlı permütasyon ile çözelim.
Bana üç basamaklı demiş ve sayıları 112.
Toplam kaç tane rakamım var benim?
Üç.
Üç faktöriyel bölü tekrar edenleri paydaya yazıyoruz.
Hangi rakamlar tekrar etmiş?
Bir ve bir yani iki tane, iki tane ne var?
Bir var.
Bunu aşağıya yazıyoruz çünkü adedini yazıyoruz.
O halde buradan cevabımız ne geldi?
İki faktöriyel çarpı üç bölü iki faktöriyelden yine bizim cevabımız üç gelmiş oldu.
Şimdi bunu örnekler üzerinden anlatalım.
Örnek.
Karakaş kelimesi içindeki harfler kullanılarak anlamlı ya da anlamsız 7 harfli kaç kelime yazılabilir?
Şimdi elimdeki tüm harflere bakıyorum.
Tüm harfler kaç tane?
Yedi tane.
Toplam benim elimde yedi adet harf var.
Peki şimdi hangileri tekrar etmiş ona bakalım.
Bir, iki, üç.
A'dan 3 adet.
Bir de başka tekrar edenler var.
K'den iki adet.
O halde ne yapıyorduk?
Tüm durumu pay kısmına yazıyorum, yedi faktöriyel bölü tekrar edenleri paydaya yazıyorum.
Üç faktöriyel çarpı iki faktöriyel.
Yani o halde buradan açalım yedi faktöriyeli.
7 6 5 4 3 faktöriyele kadar açtım bölü üç faktöriyel n çarpı iki faktöriyel Üç faktöriyeller birbirini götürdü.
6'yı da ikiye böldüm.
Üç.
Buradan ne geldi cevabımız?
420 gelmiş oldu.
Şimdi öncüllü bir soruyla devam edelim.
Özdeş dört tane mavi, iki siyah ve üç gri bilye yan yana.
A şıkkı kaç farklı şekilde sıralanır?
Şimdi özdeş dedikleri için dört tane mavi bilyeyi aynı kabul edeceğim.
Elimde iki tane siyah var ve üç tane de gri var.
Kaç farklı şekilde sıralanır demiş.
Şimdi burada toplam kaç bilye Var?
4 artı 3 artı 2'ye buradan toplam 9 tane bilye var.
Ne yapıyorduk?
Tüm durumu paya yazıyorduk.
9 faktöriyel bölü bunlar özdeş olduğu için tekrar edenleri paydalara yazacağız.
4 faktöriyel çarpı iki faktöriyel çarpı üç faktöriyel.
Buradan sonucu bulalım.
4, 5, 6, 7, 8, 9 bölü 4 faktöriyeller birbirini götürdü.
Üç faktöriyel de 6 yapar.
Bu da birbirini götürdü.
8'le ikiyi sadeleştirdim.
4.
9 çarpı 4 36, çarpı yedi 7 kere, 5 35, 36 çarpı 35'ten cevabımız 1260 gelmiş oluyor.
Şimdi B şıkkı ile devam edelim.
Mavi ve siyah bilyeler kendi arasında yan yana bulunmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanır?
Şimdi burada mavi bilyeleri bir araya alacağım.
Bir de siyah bilyeleri bir araya alacağım.
Griler yan yana olmak zorunda değil.
Şimdi önce mavi bilyeler kendi aralarında yer değiştirebilir.
O yüzden 4 faktöriyel.
Sarı bilyeler kendi aralarında yer değiştirebilir.
İki faktöriyel ve bunlar bir, iki, üç ayrı.
Bu bir bütün dört.
Bu bir bütün beş, beş.
Faktöriyeller de kendi aralarında yer değiştirebilir.
Bölü şimdi arkadaşlar yine özdeş dedikleri için tekrar edenlere paydayı yazıyorum.
Üç faktöriyel gri.
İki tane sarı, dört tane de mavi.
Buradan cevabımız ne gelmiş oldu?
İki faktöriyeller birbirini götürdü.
Dört faktöriyeller birbirini götürdü.
Beş çarpı dört çarpı üç faktöriyeller de birbirini götürdü.
Buradan cevabımız 20 gelmiş oldu.
Gelelim C şıkkına.
Herhangi iki mavi bilye yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanır?
Şimdi şöyle düşünelim.
Elimde sarılar var.
Sarıları bir ayırın bakalım.
Sonra grileri de bir ayıralım.
Bunların aralarına mavi gelecek.
Bir, iki, üç, dört, beş, altı, altı farklı yere mavi gelecek.
Peki şimdi başlayalım.
Öncelikle sarılar kendi aralarında yer değiştirebilir.
Toplam kaç tane tik attım ben burada?
5.
5 tanesi kendi aralarında yer değiştirebilir.
Yani 5 faktöriyel.
Şimdi kaç tane benim boşluğum vardı?
6 tane.
Fakat bu 6 boşluğa ben 4 tane mavi yerleştireceğim.
O halde bir tanesini buraya yerleştirdim.
Yani 6 ihtimalim var.
Sonra 1 tanesini buraya yerleştirdim.
Artık 5 ihtimalin var.
Bir tanesini buraya yerleştirdim.
Artık 4 ihtimalim var.
Bir tanesini de buraya yerleştirdim.
Artık üç ihtimalim var.
Peki bölü yine tekrar edenleri paydaya yazıyoruz.
4 faktöriyel çarpı üç faktöriyel çarpı iki faktöriyel.
O halde buradan hesaplayacak olursak şunlar birbirini götürdü.
5, üç faktöriyel altı yapar.
4'ü 2'ye böldüm 2, 25 çarpı 6'dan cevabımız 150 gelmiş oluyor arkadaşlar.

Sıkça Sorulan Sorular

Tekrarlı permütasyon soruları nasıl çözülür?

Tekrarlı permütasyon sorularını nasıl çözeceğimizi öğrenmek için öncelikle sıralama formülünü ve permütasyon konu anlatım yazımızı hatırlayalım. Yazımızda n tane farklı nesnemizin olduğunu belirtmiştik. Bu nesnelerden birbirinin tıpatıp aynısı olanlar varsa, yani tekrarlı permütasyon mevcutsa, nasıl bir çözüm yolu geliştirmemiz gerekiyor?

Bu aynı nesneler aralarında yer değiştirseler bile fark edemeyiz, dolayısıyla sıralamayı değiştiremezler. n tane nesneyi sıralarken n! adet farklı diziliş olduğunu öğrendik. Aynı nesnelerin kendi aralarındaki değişimini 1 olarak saymamız gerekir çünkü daha önceden belirttiğimiz gibi kendi aralarındaki değişim sıralamalara bir etki etmeyecektir. Bu aynı değişimlerin sayısının tüm duruma bölümünü alırsak 1 olarak saymış oluruz.