Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersteki konumuz bir açının esas ölçüsü, yine konumuza devam edeceğiz.
Aslında bu ders biraz daha örnekler üzerinde durmaya çalışacağım.
İlk sorumuzla başlayalım.
Ölçüsü -930 derece olan açının esas ölçüsünü bulunuz, demiş.
Hemen bu tarz sorularda arkadaşlar, ne yapıyoruz 930 pozitifmiş gibi düşünüyoruz.
İlk dersimizde de öğrenmiştik, hemen açıyı alıyorduk 360'a bölüyorduk ve bölümünden kalanı alacağım, iki kere var 720 ama çıkardığımda şimdi 210 derece bulacağım da açımız 930 değil ki eksi 930.
O halde bulduğum kalan da -210 derece aslında ve biliyorsunuz ki bir açının esas ölçüsü negatif olamaz.
Bu durumda ne yapıyorum biliyor musunuz?
-210 dereceyi pozitif yapabilmek için hemen bir tanecik gibi göstereyim ama 360'tan 210'u çıkarıyorum. Şurası 0, burası 5, burası da 1 oluyor.
Yani aslında aradığımız esas ölçü, 150 dereceymiş diyebiliriz, sevgili gençler.
Hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Bu sorumuzda da diyor ki -41π bölü 8 radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
diye sorulmuş bu sefer, tamam.
Şimdi radyan cinsinden sorulduğunda ne yapıyorduk?
41'i alıyorduk paydada ne var 8, 8'in iki katı 16 buna bölüyorduk, biliyoruz zaten bunu.
Yine pozitifmiş gibi düşünelim.
Kaç kere var bu, bunda arkadaşlar?
İki kere var, 32 çıkarma işlemi yaptım, kalanımız ne oldu şurası 9 değil mi?
Dolayısıyla 9π bölü 8 derdim eğer bu açı eksi değil artı olmuş olsaydı ama ne var yine başında bir tane eksi var.
Bunu da artı yapabilmek adına, tıpkı bir öncekinde olduğu gibi bir 2π ekliyorum arkadaşlar ki pozitif olsun. bölü 8 radyan olarak esas ölçümüz bulunur.
Tabii siz eğer yine bunu dereceye çevirmek isterseniz, ne yapacağız π yerine 180 derece yazacaksınız. Hemen yazalım 7 çarpı 180 derece bölü 8, hemen şurası 180'i 4'e bölebilirim biliyorsunuz, kaç olur?
45 derece şunu da 4'e böldüm 2 artık sadeleştirmiyim rasyonel olmasın.
7 ile 45'i çarpalım, 5 kere 7, 35 elde 3, ikisi var arkadaşlar olarak açımızın esas ölçüsü ifade edilebilir diyelim.
Bir sonraki örneğimize geçelim, diyor ki daire biçimindeki bir pistin B noktasından ok yönünde harekete başlayan bir koşucu 2350 derecelik açı yaparak duruyor.
Bu koşucu hareketini hangi ardışık iki nokta arasında tamamlamıştır?
diye sormuş.
Yine bir aslında esas ölçü bulmamız gereken bir soru.
Gidelim hemen şurada 2350 derecelik açının esas ölçüsünü bulalım.
Bunun için biliyorsunuz 360 dereceye yine böleceğim.
6 kere var zannediyorum.
Burası ne olur işlemimizi yapalım şurası 0, burası 9, şurası da arkadaşlar 2'den 1 çıktı elde vermiştik, 1 olur .
Şimdi esas ölçümüz neymiş?
190 dereceymiş. Aslında bu şu demek, altı kez tur atmış pist etrafında bu hareketlimiz bizim B noktasından başlayan koşucumuz.
Altı kez tur atıp tekrar B'ye gelmiş.
Bakın bir dönmüş B, bir dönmüş B tekrar altı kez bu iş yapmış.
Sonrasında 190 derece daha dönmüş.
Biliyorsunuz şuradan çıktım daha dönsem 180 dönmüş oldum D noktasına geldim. derece daha ilerliyorum ki şu noktalarda bir yere geliyorum.
B' olarak gösterelim B noktasının yeni yerini, diyor ki hangi ardışık iki nokta arasında tamamlamıştır?
A ve D noktaları arasında bu koşucu hareketini tamamlamıştır, diyebiliriz değerli gençler ve geldik bir sonraki soruya.
Diyor ki 11π2 radyanlık açının esas ölçüsü eğer birim çember üzerinde gösterilirse bu açının bitim kolunun ordinatı kaç olur?
Yine güzel bir esas ölçü sorusu aslında.
Hemen alıyorum ne yapıyorum 11'i paydasındaki sayının 2 katı olan 4 ifadesine bölüyorum.
Bu kaç kere var?
Ne yapıyorduk?
Kalanı alıyorduk 3, yanına π yazıp payda değişmiyordu zaten.
3π bölü iki olarak ifade edebiliyoruz biz esas ölçümüzü biliyorsunuz, 3π bölü 2 ne demek aslında derece olarak π yerine birim çember üzerinde gösterelim.
Şöyle küçük bir çember çiziyim ben hemen, şu şekilde koordinatları da üstüne ekliyorum.
270 derece diyince burası biliyorsunuz 1, 1, yine -1, -1 burası x ekseni burası y ekseni.
Nereye gelmiş oldum?
Bakın şöyle bir dönme gerçekleştirdim ve y ekseninin negatif tarafına gelmiş olduk.
Aslında şu noktadayım değil mi?
Bu noktanın hatta koordinatlarını sormamış ama onu da yazabilirim.
Apsisini söylemem gerekirse, y ekseninin üzerinde olduğu için apsisi sıfırdır.
Ordinatı da yine burası birim çemberdi biliyorsunuz yarıçap 1'di burada da yazıyor hatta, -1 olarak ordinatı da ifade edilebilir, sevgili arkadaşlar.
Bu açının bitim kolu için diyelim, sıradaki sorumuza geçelim.
-39π bölü noktasının bu sefer koordinatlarını istemiş.
Evet yine esas ölçüyü bulalım hemen.
Şimdi 39'u alıyorum paydada kaç var 4, 2 katına yani kaça bölücem arkadaşlar?
8'e böleceğim burası 4 kere var 4 kere 8, 32 kalanım ise 7 oldu.
Şimdi normalde ne yapıyordum 7'yi alıyordum yanına π koyup ve paydası değişmiyordu 4'tü ama bu eksi olduğu için bakın şurda bir eksi var, buraya da bir eksi ekleyeceğim ve bunu pozitif yapmak için 2π ekliyordum, bakın ne oldu?
2 kere 4, yine π yerine 180 derece yazarsanız 180 bölü 4'ten burası ne olur?
45 derece olur, şimdi bana diyor ki 45 derecelik açıyı birim çember üzerinde bir göster bakalım.
Hemen şuraya yine bir birim çember bakın şöyle çiziyim ben.
Bu da küçük oldu herhalde, azıcık büyüteyim alanımı şöyle biraz daha geniş kullanabileceğim bir yere çizeyim, evet bakınız hemen şurada bir birim çember oldu.
45 derece biliyorsunuz hemen şöyle birinci açıortay doğrusu bu y eşittir x, şuralar 45'er derecedir ve birim çember üzerinde olduğu için yarıçap 1, dolayısıyla şurdaki hipotenüs 1, yani burada aslında oluşturduğumuz üçgen şuraya A diyelim, buraya O diyelim buraya B diyelim.
AOB üçgeni nedir?
Bir ikizkenar dik üçgendir.
45-45-90 üçgenidir arkadaşlar ve A noktasının koordinatlarına bakacak olursak şimdi.
Hem OB hem de AB birbirine eşit ikizkenar olduğu için.
Her ikisine de K diyelim aslında, A noktasının koordinatları K'ya K'dır.
Hem apsisi hem de ordinatı, yani şuradaki OB uzunluğu da K'dır.
AB uzunluğu da K'dır diyebiliriz ve hatta kök iki katı yani K'nın kök 2 katı hipotenüsü verir.
K kök 2, 1'e eşittir yani K nedir buradan?
da ifade edilebilir.
O zaman A noktasının koordinatlarını bulmuş olduk arkadaşlar. Neymiş A noktasının koordinatları?
K'yı yerine yazıyorum direkt.
Kök 2 bölü 2'ye yine kök 2 bölü 2 olarak koordinatlar bulunur, sevgili gençler.
Diyelim ve bu sorumuzla birlikte dersimizi bitirmiş olalım.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersteki konumuz bir açının esas ölçüsü, yine konumuza devam edeceğiz.
Aslında bu ders biraz daha örnekler üzerinde durmaya çalışacağım.
İlk sorumuzla başlayalım.
Ölçüsü -930 derece olan açının esas ölçüsünü bulunuz, demiş.
Hemen bu tarz sorularda arkadaşlar, ne yapıyoruz 930 pozitifmiş gibi düşünüyoruz.
İlk dersimizde de öğrenmiştik, hemen açıyı alıyorduk 360'a bölüyorduk ve bölümünden kalanı alacağım, iki kere var 720 ama çıkardığımda şimdi 210 derece bulacağım da açımız 930 değil ki eksi 930.
O halde bulduğum kalan da -210 derece aslında ve biliyorsunuz ki bir açının esas ölçüsü negatif olamaz.
Bu durumda ne yapıyorum biliyor musunuz?
-210 dereceyi pozitif yapabilmek için hemen bir tanecik gibi göstereyim ama 360'tan 210'u çıkarıyorum. Şurası 0, burası 5, burası da 1 oluyor.
Yani aslında aradığımız esas ölçü, 150 dereceymiş diyebiliriz, sevgili gençler.
Hemen bir sonraki sorumuza geçelim.
Bu sorumuzda da diyor ki -41π bölü 8 radyanlık açının esas ölçüsü kaç derecedir?
diye sorulmuş bu sefer, tamam.
Şimdi radyan cinsinden sorulduğunda ne yapıyorduk?
41'i alıyorduk paydada ne var 8, 8'in iki katı 16 buna bölüyorduk, biliyoruz zaten bunu.
Yine pozitifmiş gibi düşünelim.
Kaç kere var bu, bunda arkadaşlar?
İki kere var, 32 çıkarma işlemi yaptım, kalanımız ne oldu şurası 9 değil mi?
Dolayısıyla 9π bölü 8 derdim eğer bu açı eksi değil artı olmuş olsaydı ama ne var yine başında bir tane eksi var.
Bunu da artı yapabilmek adına, tıpkı bir öncekinde olduğu gibi bir 2π ekliyorum arkadaşlar ki pozitif olsun. bölü 8 radyan olarak esas ölçümüz bulunur.
Tabii siz eğer yine bunu dereceye çevirmek isterseniz, ne yapacağız π yerine 180 derece yazacaksınız. Hemen yazalım 7 çarpı 180 derece bölü 8, hemen şurası 180'i 4'e bölebilirim biliyorsunuz, kaç olur?
45 derece şunu da 4'e böldüm 2 artık sadeleştirmiyim rasyonel olmasın.
7 ile 45'i çarpalım, 5 kere 7, 35 elde 3, ikisi var arkadaşlar olarak açımızın esas ölçüsü ifade edilebilir diyelim.
Bir sonraki örneğimize geçelim, diyor ki daire biçimindeki bir pistin B noktasından ok yönünde harekete başlayan bir koşucu 2350 derecelik açı yaparak duruyor.
Bu koşucu hareketini hangi ardışık iki nokta arasında tamamlamıştır?
diye sormuş.
Yine bir aslında esas ölçü bulmamız gereken bir soru.
Gidelim hemen şurada 2350 derecelik açının esas ölçüsünü bulalım.
Bunun için biliyorsunuz 360 dereceye yine böleceğim.
6 kere var zannediyorum.
Burası ne olur işlemimizi yapalım şurası 0, burası 9, şurası da arkadaşlar 2'den 1 çıktı elde vermiştik, 1 olur .
Şimdi esas ölçümüz neymiş?
190 dereceymiş. Aslında bu şu demek, altı kez tur atmış pist etrafında bu hareketlimiz bizim B noktasından başlayan koşucumuz.
Altı kez tur atıp tekrar B'ye gelmiş.
Bakın bir dönmüş B, bir dönmüş B tekrar altı kez bu iş yapmış.
Sonrasında 190 derece daha dönmüş.
Biliyorsunuz şuradan çıktım daha dönsem 180 dönmüş oldum D noktasına geldim. derece daha ilerliyorum ki şu noktalarda bir yere geliyorum.
B' olarak gösterelim B noktasının yeni yerini, diyor ki hangi ardışık iki nokta arasında tamamlamıştır?
A ve D noktaları arasında bu koşucu hareketini tamamlamıştır, diyebiliriz değerli gençler ve geldik bir sonraki soruya.
Diyor ki 11π2 radyanlık açının esas ölçüsü eğer birim çember üzerinde gösterilirse bu açının bitim kolunun ordinatı kaç olur?
Yine güzel bir esas ölçü sorusu aslında.
Hemen alıyorum ne yapıyorum 11'i paydasındaki sayının 2 katı olan 4 ifadesine bölüyorum.
Bu kaç kere var?
Ne yapıyorduk?
Kalanı alıyorduk 3, yanına π yazıp payda değişmiyordu zaten.
3π bölü iki olarak ifade edebiliyoruz biz esas ölçümüzü biliyorsunuz, 3π bölü 2 ne demek aslında derece olarak π yerine birim çember üzerinde gösterelim.
Şöyle küçük bir çember çiziyim ben hemen, şu şekilde koordinatları da üstüne ekliyorum.
270 derece diyince burası biliyorsunuz 1, 1, yine -1, -1 burası x ekseni burası y ekseni.
Nereye gelmiş oldum?
Bakın şöyle bir dönme gerçekleştirdim ve y ekseninin negatif tarafına gelmiş olduk.
Aslında şu noktadayım değil mi?
Bu noktanın hatta koordinatlarını sormamış ama onu da yazabilirim.
Apsisini söylemem gerekirse, y ekseninin üzerinde olduğu için apsisi sıfırdır.
Ordinatı da yine burası birim çemberdi biliyorsunuz yarıçap 1'di burada da yazıyor hatta, -1 olarak ordinatı da ifade edilebilir, sevgili arkadaşlar.
Bu açının bitim kolu için diyelim, sıradaki sorumuza geçelim.
-39π bölü noktasının bu sefer koordinatlarını istemiş.
Evet yine esas ölçüyü bulalım hemen.
Şimdi 39'u alıyorum paydada kaç var 4, 2 katına yani kaça bölücem arkadaşlar?
8'e böleceğim burası 4 kere var 4 kere 8, 32 kalanım ise 7 oldu.
Şimdi normalde ne yapıyordum 7'yi alıyordum yanına π koyup ve paydası değişmiyordu 4'tü ama bu eksi olduğu için bakın şurda bir eksi var, buraya da bir eksi ekleyeceğim ve bunu pozitif yapmak için 2π ekliyordum, bakın ne oldu?
2 kere 4, yine π yerine 180 derece yazarsanız 180 bölü 4'ten burası ne olur?
45 derece olur, şimdi bana diyor ki 45 derecelik açıyı birim çember üzerinde bir göster bakalım.
Hemen şuraya yine bir birim çember bakın şöyle çiziyim ben.
Bu da küçük oldu herhalde, azıcık büyüteyim alanımı şöyle biraz daha geniş kullanabileceğim bir yere çizeyim, evet bakınız hemen şurada bir birim çember oldu.
45 derece biliyorsunuz hemen şöyle birinci açıortay doğrusu bu y eşittir x, şuralar 45'er derecedir ve birim çember üzerinde olduğu için yarıçap 1, dolayısıyla şurdaki hipotenüs 1, yani burada aslında oluşturduğumuz üçgen şuraya A diyelim, buraya O diyelim buraya B diyelim.
AOB üçgeni nedir?
Bir ikizkenar dik üçgendir.
45-45-90 üçgenidir arkadaşlar ve A noktasının koordinatlarına bakacak olursak şimdi.
Hem OB hem de AB birbirine eşit ikizkenar olduğu için.
Her ikisine de K diyelim aslında, A noktasının koordinatları K'ya K'dır.
Hem apsisi hem de ordinatı, yani şuradaki OB uzunluğu da K'dır.
AB uzunluğu da K'dır diyebiliriz ve hatta kök iki katı yani K'nın kök 2 katı hipotenüsü verir.
K kök 2, 1'e eşittir yani K nedir buradan?
da ifade edilebilir.
O zaman A noktasının koordinatlarını bulmuş olduk arkadaşlar. Neymiş A noktasının koordinatları?
K'yı yerine yazıyorum direkt.
Kök 2 bölü 2'ye yine kök 2 bölü 2 olarak koordinatlar bulunur, sevgili gençler.
Diyelim ve bu sorumuzla birlikte dersimizi bitirmiş olalım.
Bir sonraki ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
