Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu dersimizde de yine iki kat açı formülleri ile ilgili sorular çözmeye farklı soru tipleri ile devam ediyoruz.
Birinci örneğimizle başlayalım. Diyor ki sinα çarpı cosα bölü 1 eksi 2 tane sin²α hemen burada sinüsün iki kat açı formülünü yakalayabilmek adına her iki tarafı 2 ile çarpıyorum.
Ne oluyor yukarısı?
Sinüs 2α oluyor. sin²α neydi zaten?
Kosinüs 2α'ydı.
Burası da ne oldu arkadaşlar?
4/3'e eşit oldu.
Sin bölü cos'un ne olduğunu biliyorum?
Tanjant olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla tanjant 2α değerimiz bizim kullanacağım.
O da neydi?
2 tane tanjant 2α bölü Dolayısıyla burada tanjant 2α yerine 4/3 yazalım hemen.
İfadenin pay kısmı 2 çarpı 4/3 olacak. Payda kısmı da 1 eksi 4 bölü 3'ün karesi, isterseniz direkt 16/9 olarak onu yazabiliriz. Buradan tanjant 4α eşittir diyelim.
Üst taraf 8/3 geldi.
Alt taraf 9 eksi 16, eksi 7 bölü 9 geldi. Dolayısıyla birincisini aynen yazıp, ikinciyi ters çevirip çarptım.
Orası ne geldi biliyor musunuz?
Hatta 3'leri de şöyle sadeleştireyim mi?
Bir yazalım bunu.
Ne demiştik?
-9/7 şöyle.
Şunları da sadeleştireyim.
-24/7 geldi.
Bu yalnız tanjant 4α. Bana sorduğu şey ne?
Kotanjant 4α, bunun çarpma işlemine göre tersi yani -7/24 olarak aradığımız değer bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki 1 bölü 1 artı 1 bölü cotα çarpı 1 eksi 1 bölü cotα eşittir kotanjant α eşitliği veriliyormuş. Buna göre tanjant 2α'nın değeri nedir, diye sormuş.
Şimdi buradaki hemen şunu gördüm ben.
1 bölü kotanjant α yerine isterseniz hemen tanjant α yazabilirsiniz.
Burada da öyle.
1 artı tanjant α'yla 1 eksi tanjant α'yı çarparsak 1 bölü neye eşit biliyor musunuz?
Kotanjant α'ya, yani 1 bölü tanjant α'ya eşit.
Şimdi burada tanjant α'nın iki kat açı formülünü elde edebilmek için biraz uğraşıyorum açıkçası.
Yani tanjant α bölü, içler dışlar yapıyorum.
1 eksi tanjant kare α 1 olmuş oldu.
Yani içler dışlar yaparken aslında şunu sadece karşıya attım.
1'i burada bıraktım diyeyim daha doğru bir ifade olur ve çok benzedi değil mi?
Sadece bir şey eksik, şurada bir tane 2 eksik.
Her iki tarafı da 2'yle çarpayım.
2tanα bölü 1 eksi tan²α.
İşte bu zaten ne ifadesi?
Tanjant 2α'nın açılımı.
Tanjant 2α neymiş arkadaşlar?
2'ymiş ki zaten bana dikkat ederseniz zaten tanjant 2α değerini soruyordu. Böylelikle ikinci sorumuzu da rahatlıkla cevaplamış olduk.
Gelelim sıradaki sorumuza.
4m bir dar açı olmak üzere tanjant 4m 4/3 olduğuna göre tanjant m değerini bulunuz.
Şimdi burada tabi hatırlayacaksınız diğer soru çözümlerinde sündürme metodunu kullanmıştık.
Yani m'den 4m'ye ya da gerek yok.
Hemen bir tane üçgen çizelim biz şöyle ve diyelim ki şurası 90 derece olsun.
Sırayla bakınız hani şöyle yapıyorduk ya, şunlar birbirine eşit olsunlar.
Bu açıların her ikisi de m olsun. İki iç açının toplamı bunlara komşu olmayan bir dış açıya eşittir.
Burası da 2m.
Aynı mantık yine burası ikizkenar olsun, şurası 2m olacaktır bu durumda.
2m, 2m daha son olarak en dıştaki açımız da 4m olacak ve bu 4m'nin tanjantı yani karşı bölü komşusu 4/3'müş.
3, oldu ve şimdi bizden istediği ifade tanjant m'ydi.
Bunu bulmanın yolu da şöyle.
Bakınız şurası da kaç?
3, 5 daha 8 ya.
4 var 8 var.
Dik kenarlar arasında 1'e 2 oran olduğu için hipotenüs neydi?
Kısa olanın kök 5 katıydı, 4 kök 5.
Dolayısıyla ikizkenarlıktan hemen buraya da 4 kök 5 yazıyorum. Şimdi geldik son olarak tanjant m değerine.
O da karşı bölü komşu demek.
Dikkat ederseniz bunun karşısında 4 var sevgili arkadaşlar. Komşusu da 8 artı 4 kök 5.
4 parantezinde yazayım mı onu da?
Ne olur?
2 artı kök 5 olur.
Şimdi paydasını 2 eksi kök 5'le çarparsak hemen tanjant m değerini elde etmiş olacağız.
Pay kısmı zaten 2 eksi kök 5.
Paydada ne var?
Bakalım hemen.
2 kere daha güzel olacak herhalde.
Tanjant m demek -1'e böldüğümüzde kök 5 eksi 2 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve konumuzla alakalı bir sonraki soruyla devam edelim.
Diyor ki bir A ifadesi verilmiş.
Kotanjant kare 50 derece bölü kotanjant 40 derece eşitliğine göre sinüs Şimdi hemen bakalım.
Burada kotanjant kare A eşittir diye başlayayım.
Tanjant kare 40 derece yazabiliriz hemen, tanjant kare 40 derece. Sonrasında 1 eksi tanjant kare 40 yine aşağıda var.
Bakınız şimdi burada 1 bölü kotanjant 40 demek ne demek?
Bunu ters çevirdiğimizde burası tanjant 40 derece demek ama bölü var.
Dolayısıyla çarpı diyeceğim ve ters çevirip çarpacağım.
1 bölü tanjant 40 derece olacak.
Şununla şunun bir tanesi gitsin.
Bakınız ne oldu biliyor musunuz?
A eşittir tanjant 40 derece bölü 1 eksi tanjant kare 40 derece.
Yine tanjantın iki kat açı formülüne benzetebilme adına her iki tarafı öncelikle bir 2 ile çarpıyorum.
Değil mi?
2A neye eşit olmuş oldu dikkat ederseniz eğer?
İki tane tanjant 40 derece bölü 1 eksi tan²40 derece.
Direkt gördüğünüz bu tanjant 2A işte yani burası tanjant 80 derece demekmiş.
Şimdi benden bunun sinüs değerini istiyor.
80'le 10 arasında yine bir bağıntı var tabii ki.
Ne?
Birbirine 90'a tamamlıyor yani aynı dik üçgen içerisindeler.
O halde ne yapıyorum hemen?
Bir tanecik dik üçgen çizelim, tamam.
Şu kısa olan yeri gören açı 10 derece olsun.
Burası da 80 derece olur.
Şimdi biz ne bulduk?
Tanjant 80'i 2A bulduk.
Yani bunun karşısı 2A, komşusu 1.
Dolayısıyla hipotenüsü hemen yazalım.
2A'nın karesi nedir arkadaşlar?
burada sinüs 10 dereceyi yazıyorum.
Neydi sinüs?
bölü kök içerisinde 4A² artı 1 olarak sinüs A cinsinden.
Bu soruyla birlikte yine bu günlük de dersimizin sonuna gelmiş olduk. Bir sonraki derste görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizde de yine iki kat açı formülleri ile ilgili sorular çözmeye farklı soru tipleri ile devam ediyoruz.
Birinci örneğimizle başlayalım. Diyor ki sinα çarpı cosα bölü 1 eksi 2 tane sin²α hemen burada sinüsün iki kat açı formülünü yakalayabilmek adına her iki tarafı 2 ile çarpıyorum.
Ne oluyor yukarısı?
Sinüs 2α oluyor. sin²α neydi zaten?
Kosinüs 2α'ydı.
Burası da ne oldu arkadaşlar?
4/3'e eşit oldu.
Sin bölü cos'un ne olduğunu biliyorum?
Tanjant olduğunu biliyorum.
Dolayısıyla tanjant 2α değerimiz bizim kullanacağım.
O da neydi?
2 tane tanjant 2α bölü Dolayısıyla burada tanjant 2α yerine 4/3 yazalım hemen.
İfadenin pay kısmı 2 çarpı 4/3 olacak. Payda kısmı da 1 eksi 4 bölü 3'ün karesi, isterseniz direkt 16/9 olarak onu yazabiliriz. Buradan tanjant 4α eşittir diyelim.
Üst taraf 8/3 geldi.
Alt taraf 9 eksi 16, eksi 7 bölü 9 geldi. Dolayısıyla birincisini aynen yazıp, ikinciyi ters çevirip çarptım.
Orası ne geldi biliyor musunuz?
Hatta 3'leri de şöyle sadeleştireyim mi?
Bir yazalım bunu.
Ne demiştik?
-9/7 şöyle.
Şunları da sadeleştireyim.
-24/7 geldi.
Bu yalnız tanjant 4α. Bana sorduğu şey ne?
Kotanjant 4α, bunun çarpma işlemine göre tersi yani -7/24 olarak aradığımız değer bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve hemen bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki 1 bölü 1 artı 1 bölü cotα çarpı 1 eksi 1 bölü cotα eşittir kotanjant α eşitliği veriliyormuş. Buna göre tanjant 2α'nın değeri nedir, diye sormuş.
Şimdi buradaki hemen şunu gördüm ben.
1 bölü kotanjant α yerine isterseniz hemen tanjant α yazabilirsiniz.
Burada da öyle.
1 artı tanjant α'yla 1 eksi tanjant α'yı çarparsak 1 bölü neye eşit biliyor musunuz?
Kotanjant α'ya, yani 1 bölü tanjant α'ya eşit.
Şimdi burada tanjant α'nın iki kat açı formülünü elde edebilmek için biraz uğraşıyorum açıkçası.
Yani tanjant α bölü, içler dışlar yapıyorum.
1 eksi tanjant kare α 1 olmuş oldu.
Yani içler dışlar yaparken aslında şunu sadece karşıya attım.
1'i burada bıraktım diyeyim daha doğru bir ifade olur ve çok benzedi değil mi?
Sadece bir şey eksik, şurada bir tane 2 eksik.
Her iki tarafı da 2'yle çarpayım.
2tanα bölü 1 eksi tan²α.
İşte bu zaten ne ifadesi?
Tanjant 2α'nın açılımı.
Tanjant 2α neymiş arkadaşlar?
2'ymiş ki zaten bana dikkat ederseniz zaten tanjant 2α değerini soruyordu. Böylelikle ikinci sorumuzu da rahatlıkla cevaplamış olduk.
Gelelim sıradaki sorumuza.
4m bir dar açı olmak üzere tanjant 4m 4/3 olduğuna göre tanjant m değerini bulunuz.
Şimdi burada tabi hatırlayacaksınız diğer soru çözümlerinde sündürme metodunu kullanmıştık.
Yani m'den 4m'ye ya da gerek yok.
Hemen bir tane üçgen çizelim biz şöyle ve diyelim ki şurası 90 derece olsun.
Sırayla bakınız hani şöyle yapıyorduk ya, şunlar birbirine eşit olsunlar.
Bu açıların her ikisi de m olsun. İki iç açının toplamı bunlara komşu olmayan bir dış açıya eşittir.
Burası da 2m.
Aynı mantık yine burası ikizkenar olsun, şurası 2m olacaktır bu durumda.
2m, 2m daha son olarak en dıştaki açımız da 4m olacak ve bu 4m'nin tanjantı yani karşı bölü komşusu 4/3'müş.
3, oldu ve şimdi bizden istediği ifade tanjant m'ydi.
Bunu bulmanın yolu da şöyle.
Bakınız şurası da kaç?
3, 5 daha 8 ya.
4 var 8 var.
Dik kenarlar arasında 1'e 2 oran olduğu için hipotenüs neydi?
Kısa olanın kök 5 katıydı, 4 kök 5.
Dolayısıyla ikizkenarlıktan hemen buraya da 4 kök 5 yazıyorum. Şimdi geldik son olarak tanjant m değerine.
O da karşı bölü komşu demek.
Dikkat ederseniz bunun karşısında 4 var sevgili arkadaşlar. Komşusu da 8 artı 4 kök 5.
4 parantezinde yazayım mı onu da?
Ne olur?
2 artı kök 5 olur.
Şimdi paydasını 2 eksi kök 5'le çarparsak hemen tanjant m değerini elde etmiş olacağız.
Pay kısmı zaten 2 eksi kök 5.
Paydada ne var?
Bakalım hemen.
2 kere daha güzel olacak herhalde.
Tanjant m demek -1'e böldüğümüzde kök 5 eksi 2 olarak bulunmuş olur sevgili arkadaşlar diyelim ve konumuzla alakalı bir sonraki soruyla devam edelim.
Diyor ki bir A ifadesi verilmiş.
Kotanjant kare 50 derece bölü kotanjant 40 derece eşitliğine göre sinüs Şimdi hemen bakalım.
Burada kotanjant kare A eşittir diye başlayayım.
Tanjant kare 40 derece yazabiliriz hemen, tanjant kare 40 derece. Sonrasında 1 eksi tanjant kare 40 yine aşağıda var.
Bakınız şimdi burada 1 bölü kotanjant 40 demek ne demek?
Bunu ters çevirdiğimizde burası tanjant 40 derece demek ama bölü var.
Dolayısıyla çarpı diyeceğim ve ters çevirip çarpacağım.
1 bölü tanjant 40 derece olacak.
Şununla şunun bir tanesi gitsin.
Bakınız ne oldu biliyor musunuz?
A eşittir tanjant 40 derece bölü 1 eksi tanjant kare 40 derece.
Yine tanjantın iki kat açı formülüne benzetebilme adına her iki tarafı öncelikle bir 2 ile çarpıyorum.
Değil mi?
2A neye eşit olmuş oldu dikkat ederseniz eğer?
İki tane tanjant 40 derece bölü 1 eksi tan²40 derece.
Direkt gördüğünüz bu tanjant 2A işte yani burası tanjant 80 derece demekmiş.
Şimdi benden bunun sinüs değerini istiyor.
80'le 10 arasında yine bir bağıntı var tabii ki.
Ne?
Birbirine 90'a tamamlıyor yani aynı dik üçgen içerisindeler.
O halde ne yapıyorum hemen?
Bir tanecik dik üçgen çizelim, tamam.
Şu kısa olan yeri gören açı 10 derece olsun.
Burası da 80 derece olur.
Şimdi biz ne bulduk?
Tanjant 80'i 2A bulduk.
Yani bunun karşısı 2A, komşusu 1.
Dolayısıyla hipotenüsü hemen yazalım.
2A'nın karesi nedir arkadaşlar?
burada sinüs 10 dereceyi yazıyorum.
Neydi sinüs?
bölü kök içerisinde 4A² artı 1 olarak sinüs A cinsinden.
Bu soruyla birlikte yine bu günlük de dersimizin sonuna gelmiş olduk. Bir sonraki derste görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
