Sinx=Siny Denkleminin Çözüm Kümesini Bulma

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.
Bu  dersteki konumuz trigonometrik denklemler.   Öncelikle ilk alacağımız denklem, sinüs x eşittir  sinüs y denklemin çözüm kümesini bulma.
Şimdi   sinüs x eşittir sinüs y denkleminde ölçüsü x'in  esas ölçülerine eşit olan bütün açılar denklemi   sağlayacaktır elbette ki ve aynı zamanda biz  şunu da biliyoruz, aslında sinx dediğimiz şey   ile sin(pi - x) dediğimiz şey aynı şeydir.  Çünkü işte pi'den geri geliyoruz düştüğümüz   bölge ikinci bölge, sinüsün oradaki işareti artı  isim de değişmez.
Bu da sinüs x'tir yani şimdi   x ile pi - x'in gösterdiği açılar aynı açılar  olduğu için sinx = siny denkleminin çözüm kümesi   ile ilgili şimdi şöyleyeceklerimizden rahatlıkla  bahsedebiliriz.
Nelerdir onlar?
Hemen konuşalım,   tekrar ifade edelim.
sinx = siny ise iki durum  vardır.
Ne dedik?
Ölçüsü burada y ve y'nin esas   ölçüleri olan yani ölçüsü esas ölçüsü y olan bütün  açılar, y ve y'nin 360° ve katlarına sahip olan   bütün açılar denklemi sağlar.
Aynı zamanda pi -  y'ler de sağlar.
Bu az önce ifade ettiğimiz şey   çünkü.
Hem y'lere bakacağız esas ölçüsü y olan  açılara, üzerine 2kpi eklememizin sebebi bu.   Diğer taraftan da pi - y'lere bakacağız.
Her  ikisi de denklemi sağlayacaktır, arkadaşlar.   Şimdi ne söylemek istediğimizi biraz daha detaylı  bir şekilde anlatmaya çalışalım.
Sin2alfa neymiş?
   kök 3 bölü 2 denkleminin [0,pi] aralığındaki  çözüm kümesini bulunuz, demiş.
Sevgili gençler,   burada ne yapacağız?
Hemen sol taraf zaten sinüs  cinsinden verilmiş, sağ tarafında sinüs cinsinden   ifade etmeye çalışalım.
Sinüs 2alfa'yı  biz hemen sinüs 60 dereceye eşitleyelim,   çünkü sin60 kök3/2'dir.
Bu durumda ne demiştik?
  Şimdi 2alfa ya esas ölçüsü 60 derece olan açılar   eşittir işte buraya 2kpi da 360 derece çarpı  k yazabilirsiniz.
Burada k'lar tabiiki nedir?
   Bir tam sayıdır.
Diğer taraftan "veya" ne demiştik  bütün açıları yine eşittir .Bu durumda buraya  sayı.
Hemen burada ilk denklemimiz de her  iki tarafı ikiye bölüyorum.
Alfa eşittir   önce 0 verelim.
Alfa açımız 30° olur.
Şimdi k'ya   açı biraz daha büyüyecek ama 0,pi aralığında   demişti.
Dolayısıyla direkt 1 verdiğimiz zaman  böldüğümde ikinci denklemde alfa eşittir 60° artı   vereceğim.
Önce isterseniz 0 vererek başlayalım.   Bu durumda alfamız 60 derece olacak.
Şimdi 1  verdiğimde 180'den geçeceği için aralığın dışına   çıkmış olacak, başka kökümüz yok.
Dolayısıyla  çözüm kümesini ifade ederken iki tane eleman var   bu aralıkta denklemin çözüm kümesi ile ilgili.  Biri 30, diğeri de 60 dereceymiş, diyebiliriz.   Böylelikle sorunun çözümünü tamamlamış oluruz,  sevgili arkadaşlar ve gelelim bir sonraki soruya.   Diyor ki sinüs alfa eşittir 2cos kare 160 -1  denklemini sağlayan en küçük üç pozitif açının   toplamı kaç derecedir?
Şimdi burada biliyorum  ki ben şurası 2coskarex -1 demek kosinüsün iki   kat açık formülü yani burada aslında sinüs alfa  eşittir buraya ben ne yazabilirim?
Kosinüs 160   derecenin iki kat olan 320 derece yazabilirim.  Şimdi burası sinüs, diğeri kosinüs olmadı bu.   Hemen buraya değiştirmem lazım.
İsmini değiştirmek  için bir 270'ten gidiyorum ki isim değişsin.
270'e   kaç eklersem 320 olur?
50 derece.
Dolayısıyla  burayı hemen cos 270 + 50 diye yazalım.   Bu durumda ne olur?
Şimdi sinalfa eşittir (270'ten  ileri gidiyorum, 3.
bölgedeyim, kosinüsün işareti   artı ama isim değişir) sinüs 50 derece.
Çok  güzel, harika oldu.
Öncelikle diyeceğim ki alfa   eşittir 50 derece artı 360 derece çarpı k, yine  neydi?
k'larımız tam sayı.
Hemen k'ya 0 verelim.   k'ya 0 verdiğimizde alfa ne olur?
50 derece  olur.
Bir de 1 vereyim isterseniz zaten en   küçük 3 pozitif açıyı sormuş.
1 de vereyim 360  artı 50 = 410 derece yapar.
Bu yetsin.
Bir de   diğer taraftan gelecek köklere bakalım.
En küçük 3  tanesini toplayacağım.
Bir de alfa ne olabilirdi?
   Buradan biraz daha büyük gelecek ama zannediyorum  Yine k'lar tam sayı.
Öncekle 0 verdim,   k eşittir o için ikinci durumdaki köklerimizden  bir tanesi.130 derece.
Zaten diğerine bakmaya   gerek yok.
Niye?
360'a daha büyük bir  sayı ekleyeceğim için diğer ilk iki   bulduğum kökten çok daha büyük bir sayı  gelecek.
Bana en küçük 3 pozitif tam sayı   soruyordu.
Hemen şunları toplayalım bakın.
Ne  yapar şuarası?
Toplayalım, 590 derece olarak bu   en küçük 3 açının toplamı bulunmuş olur, sevgili  arkadaşlar ve bu soruyu birlikte bu dersimizin de   sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde  görüşmek üzere.
Kendinize çok iyi bakın.
Sıkça Sorulan Sorular

 

Sinüs fonksiyonunun olduğu trigonometrik denklemler formülleri nedir?

 

sinx = siny denkleminde ölçüsü x’in esas ölçüsüne eşit tüm açılar denklemi sağlar.

sinx = sin(π - x) olduğunu bildiğimizden, denklemin çözüm kümesi şu şekilde ifade edilebilir:

sinx = siny ise,

k bir tam sayı olmak üzere,

x = y + 2kπ veya x = (π - y) + 2kπ formülleri sinx = siny denkleminin çözüm kümesi olur.