Sevgili gençler, herkese merhabalar.
Bu dersimizde de tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının denklemleri ile ilgili sorular çözmeye devam edeceğiz.
İlk örneğimizle başlayalım.
Diyor ki kotanjant 4x artı 10 derece artı tanjant 20 derece eşittir 0 denkleminin 0, π/2 açık aralığındaki köklerini bulunuz.
Şimdi hemen şöyle yapalım. Tanjant oradaki 20 dereceyi karşıya atayım ve kotanjant 4x artı 10 derece eşittir ne olur?
Eksi tanjant 20 derece olur.
Sonucu eksi tanjant 20 dereceye eşit olan açı aslında buradaki hani eksiyi içeri atarak tanjant -20 olarak da düşünebilirsiniz onu.
Ya da hani ben dedim ya, fonksiyonların isimlerini aynı yapmamız lazım rahat çözebilmemiz için.
Dolayısıyla ben buraya kotanjant desem acaba sonuç eksi olup da tanjant isim değişmesi için bir 90 şart.
Şimdi bölgeden olur.
O zaman 90 artı 20 olarak değerlendiriyorum orayı.
Yani şuraya 110 derece diyorum.
Gerçekten ismini değiştiriyor, işaretini de değiştiriyor ve bu ikisi birbirine eşit.
Çok iyi, o zaman ne diyeceğim?
4x artı 10 dereceyi 110 dereceye eşitliyorum ve artı işte periyodumuz neydi?
Tanjant ve kotanjantta biliyorsunuz π kadar yani k eleman tam sayı tabii ki.
Başka da zaten tanjant ve kotanjantta durum yoktu.
Sadece bu durum vardı.
Şimdi 10 dereceyi karşıya attım 110 eksi x eşittir 25 derece artı şunu 4'e böldüğümüzde ne olur?
45 derece çarpı k olur.
Burada hemen kökleri şimdi bulmaya çalışalım.
Nedir kökler?
k'ye 0 versem direkt olarak 25 derece olacak.
1 versem 45 artı 25'ten 70 derece olacak.
2 versem bir açı bulmuş olduk ve başka kökü yok o zaman. kaybetmeden bir sonraki sorumuza geçtik.
Sinüs en küçük 2 pozitif açının toplamı kaç radyandır, diye sormuş.
Şimdi hemen şöyle diyorum.
Sinüs 2a bu tarafta kalsın.
Kosinüs 2a'yı karşıya attım, eksi kosinüs 2a olsun.
Burada da cos2a'yı bu tarafa alsam.
Yani şöyle diyelim, sinüs 2a bölü kosinüs 2a eşittir -1.
Zaten bu ne demek?
Sin bölü cos biliyorsunuz tanjanttı.
Tanjant 2a'nın -1 olduğunu gördük.
Dolayısıyla şöyle devam edeyim isterseniz, tanjant 2a demek tanjant değeri -1 olan açı kaç?
Tanjant biliyorsunuz 3π/4'tür. Dolayısıyla ben diyeceğim ki 2a eşittir 3π/4 artı kπ, periyodumuz π olduğu için.
k'ler ne yine burada?
Tam sayılar.
Şimdi hemen, öncelikle burada k'ye bir 0 verelim.
2a eşittir 3π/4'ten a'mız ne olur?
3π/8 olur. Başka burada k'ye 1 veriyorum.
4, 3 daha 7π/4. İkiye de böldüğümüzde 7π/8 olarak ikinci a'mızı bulduk.
Bu sefer direkt sadeleştirmedim.
2a'yı bulup ikiye bölerek buldum.
Bu iki pozitif açının toplamı sormuş bana.
Şu ikisini topladığımızda ne olur?
3 artı 7'den 10π/8 radyan.
Sadeleştirirsek eğer 5π/4 radyan diyebiliriz denklemi sağlayan en küçük 2 pozitif açının toplamına diyelim ve bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki, tanjant a çarpı kotanjant 4a eşittir -1 denkleminin 0, π kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?
Şimdi, bu tarz sorularda şöyle yapıyoruz.
Burada da kotanjantı karşıya atacağım ama ne olur o?
Tanjant a eşittir -1 bölü kotanjant 4a olur.
Şimdi bu aslında başında eksi var.
Eksi tanjant 4a.
Yine bu eksiyi kusmuş gibi düşünelim.
Şöyle de yazabiliriz bunu, tanjant -4a.
Hiçbir hata yok yazılımda arkadaşlar. Dolayısıyla şöyle diyeceğiz artık, tanjant a'yı tanjant -4a'ya eşitledik ya.
a eşittir diyorum -4a artı periyodumuz neydi?
π'ydi.
kπ'yi yanına yazıyorum.
Bu durumda şöyle oldu.
5 tane a eşittir kπ.
Yani bizim a dediğimiz şey kπ/5'miş sevgili arkadaşlar.
Burada tabii ki 0 verdiğimizde k'ye, a eşittir 0 olur.
O bir kök olacaktır.
Hemen şöyle yazalım, a eşittir 0.
İşte 1 verdiğimizde π/5 olacaktır.
2 verdiğimizde 2π/5 olacaktır. değil mi?
5 verdik, 5π/5'ten π olmuş olur zaten ama tabii şuna dikkat etmemiz lazım. burada da aslında bir kök var ama tanımsızlık yapıyor değil mi?
Tanjant 0 nedir?
Sin0 bölü cos0 yani 0 bölü 1.
Orada problem yok ama kotanjant yine hem 0'da hem π'de tanımsızlığa yol açtığı için bu kökleri alamıyoruz.
Dolayısıyla kaç tane kökü vardır, diye sormuş.
Bir, iki, üç, dört tanedir diyeceğiz sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
Bu dersimizde de tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının denklemleri ile ilgili sorular çözmeye devam edeceğiz.
İlk örneğimizle başlayalım.
Diyor ki kotanjant 4x artı 10 derece artı tanjant 20 derece eşittir 0 denkleminin 0, π/2 açık aralığındaki köklerini bulunuz.
Şimdi hemen şöyle yapalım. Tanjant oradaki 20 dereceyi karşıya atayım ve kotanjant 4x artı 10 derece eşittir ne olur?
Eksi tanjant 20 derece olur.
Sonucu eksi tanjant 20 dereceye eşit olan açı aslında buradaki hani eksiyi içeri atarak tanjant -20 olarak da düşünebilirsiniz onu.
Ya da hani ben dedim ya, fonksiyonların isimlerini aynı yapmamız lazım rahat çözebilmemiz için.
Dolayısıyla ben buraya kotanjant desem acaba sonuç eksi olup da tanjant isim değişmesi için bir 90 şart.
Şimdi bölgeden olur.
O zaman 90 artı 20 olarak değerlendiriyorum orayı.
Yani şuraya 110 derece diyorum.
Gerçekten ismini değiştiriyor, işaretini de değiştiriyor ve bu ikisi birbirine eşit.
Çok iyi, o zaman ne diyeceğim?
4x artı 10 dereceyi 110 dereceye eşitliyorum ve artı işte periyodumuz neydi?
Tanjant ve kotanjantta biliyorsunuz π kadar yani k eleman tam sayı tabii ki.
Başka da zaten tanjant ve kotanjantta durum yoktu.
Sadece bu durum vardı.
Şimdi 10 dereceyi karşıya attım 110 eksi x eşittir 25 derece artı şunu 4'e böldüğümüzde ne olur?
45 derece çarpı k olur.
Burada hemen kökleri şimdi bulmaya çalışalım.
Nedir kökler?
k'ye 0 versem direkt olarak 25 derece olacak.
1 versem 45 artı 25'ten 70 derece olacak.
2 versem bir açı bulmuş olduk ve başka kökü yok o zaman. kaybetmeden bir sonraki sorumuza geçtik.
Sinüs en küçük 2 pozitif açının toplamı kaç radyandır, diye sormuş.
Şimdi hemen şöyle diyorum.
Sinüs 2a bu tarafta kalsın.
Kosinüs 2a'yı karşıya attım, eksi kosinüs 2a olsun.
Burada da cos2a'yı bu tarafa alsam.
Yani şöyle diyelim, sinüs 2a bölü kosinüs 2a eşittir -1.
Zaten bu ne demek?
Sin bölü cos biliyorsunuz tanjanttı.
Tanjant 2a'nın -1 olduğunu gördük.
Dolayısıyla şöyle devam edeyim isterseniz, tanjant 2a demek tanjant değeri -1 olan açı kaç?
Tanjant biliyorsunuz 3π/4'tür. Dolayısıyla ben diyeceğim ki 2a eşittir 3π/4 artı kπ, periyodumuz π olduğu için.
k'ler ne yine burada?
Tam sayılar.
Şimdi hemen, öncelikle burada k'ye bir 0 verelim.
2a eşittir 3π/4'ten a'mız ne olur?
3π/8 olur. Başka burada k'ye 1 veriyorum.
4, 3 daha 7π/4. İkiye de böldüğümüzde 7π/8 olarak ikinci a'mızı bulduk.
Bu sefer direkt sadeleştirmedim.
2a'yı bulup ikiye bölerek buldum.
Bu iki pozitif açının toplamı sormuş bana.
Şu ikisini topladığımızda ne olur?
3 artı 7'den 10π/8 radyan.
Sadeleştirirsek eğer 5π/4 radyan diyebiliriz denklemi sağlayan en küçük 2 pozitif açının toplamına diyelim ve bir sonraki sorumuza geldik.
Diyor ki, tanjant a çarpı kotanjant 4a eşittir -1 denkleminin 0, π kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?
Şimdi, bu tarz sorularda şöyle yapıyoruz.
Burada da kotanjantı karşıya atacağım ama ne olur o?
Tanjant a eşittir -1 bölü kotanjant 4a olur.
Şimdi bu aslında başında eksi var.
Eksi tanjant 4a.
Yine bu eksiyi kusmuş gibi düşünelim.
Şöyle de yazabiliriz bunu, tanjant -4a.
Hiçbir hata yok yazılımda arkadaşlar. Dolayısıyla şöyle diyeceğiz artık, tanjant a'yı tanjant -4a'ya eşitledik ya.
a eşittir diyorum -4a artı periyodumuz neydi?
π'ydi.
kπ'yi yanına yazıyorum.
Bu durumda şöyle oldu.
5 tane a eşittir kπ.
Yani bizim a dediğimiz şey kπ/5'miş sevgili arkadaşlar.
Burada tabii ki 0 verdiğimizde k'ye, a eşittir 0 olur.
O bir kök olacaktır.
Hemen şöyle yazalım, a eşittir 0.
İşte 1 verdiğimizde π/5 olacaktır.
2 verdiğimizde 2π/5 olacaktır. değil mi?
5 verdik, 5π/5'ten π olmuş olur zaten ama tabii şuna dikkat etmemiz lazım. burada da aslında bir kök var ama tanımsızlık yapıyor değil mi?
Tanjant 0 nedir?
Sin0 bölü cos0 yani 0 bölü 1.
Orada problem yok ama kotanjant yine hem 0'da hem π'de tanımsızlığa yol açtığı için bu kökleri alamıyoruz.
Dolayısıyla kaç tane kökü vardır, diye sormuş.
Bir, iki, üç, dört tanedir diyeceğiz sevgili arkadaşlar ve bu soruyla birlikte bu dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.
