Tanjant Fonksiyonunun Periyodu ve Grafiği

Sevgili arkadaşlar, herkese merhabalar.  Bu dersteki konumuz tanjant fonksiyonunun   periyodu ve grafiği.
f(x) eşittir a artı b  çarpı tanjant n üzeri cx artı d fonksiyonunun   periyoduna T diyelim.
T burada nasıl hesaplanır  sevgili gençler?
Burada tanjantın üzerindeki n   sayısı tabii ki pozitif tam sayı olacak ama  buradaki n'nin teklik çiftliğinin önemi yok.   Biliyorsunuz sinüs ve kosinüsün periyodunu  bulurken o n sayısının teklik ve çiftliğinin   önemi vardı ama tanjant ve kotanjantta böyle  bir şey yok.
Tanjantınkini söylüyoruz hemen.   π bölü mutlak c.
c dediğimiz şey, yine önceki  derslerimizde de söylemiştik hangi fonksiyon   bize verilmişse trigonometrik olarak burada  tanjant verilmiş.
Hemen onun içine bakıyorum.   x'in katsayısı ne orada?
c.
π bölü oradaki işte  c'nin mutlağı bize neyi verecek?
Fonksiyonun   periyodunu vermiş olacak sevgili arkadaşlar.  Hemen bir örnek var, ona bakalım birlikte.   Ne diyor?
f(x) eşittir 5 çarpı tanjant küp  üzeri yani tanjant üzeri 3, 8 eksi x verilmiş   fonksiyon artı 3 ve g(x) de tanjant kare  periyotları bulmamızı istiyor.
Hemen ne yapalım?
  Şurada T1 diyeyim f(x)'in periyoduna.
Formülümüz   neydi sevgili arkadaşlarım?
π bölü mutlak c.  c dediğimiz şey x'in katsayısı.
Bakıyorum,   tanjantın içine girdim.
Kural 8 eksi x, x'in  katsayısı -1.
Dolayısıyla diyorum ki π bölü mutlak   içerisinde -1 dışarıya mutlak içerisinden 1 diye  çıkar.
π bölü 1'den T1 yani f(x) fonksiyonunun   periyodu π olmuş oldu.
Gelelim şu şekilde hemen  T2 diyelim ve g(x) fonksiyonunun periyodunu da   beraber bulalım.
Ne demiştik?
π bölü mutlak c.  Bu sefer bakıyorum tanjantın içerisinde 3x eksi 8   bölü 2 var.
Yani x'in katsayısı ne?
Bakın 3  değil.
Aşağıda 2 de var ya, dolayısıyla mutlak   içerisinde 3/2 yazıyorum ona.
Ters çevirip  çarptığımda mutlak içerisinden zaten pozitif   çıkıyor.
2π/3 olarak T2 yani g(x) fonksiyonunun  periyodu da bulunmuş oluyor böylelikle sevgili   gençler.
Şimdi tanjant fonksiyonunun grafiği nasıl  çizilir, bundan bahsedelim.
Tanjant fonksiyonunun   grafiğini çizerken öncelikle fonksiyonun neyini  buluyoruz hemen biz?
Periyodunu buluyoruz sevgili   arkadaşlar ve periyot uzunluğunda bir  aralık çiziyoruz.
Çizdiğimiz bu aralıkta   öncelikle periyodu oluşturduktan sonra, periyot  aralığındaki görüntüsünü oluşturduktan sonra diğer   aralıklar zaten bunun tekrarı olarak karşımıza  çıkacak resmi.
Bunu biliyorum.
Periyot uzunluğunda   aralığımızı çizdik, sonra yapacağımız şey seçilen  aralıkta fonksiyonun değerlerinin bulunabileceği   bazı açılar var.
Ne onlar?
İşte 0 derece,  gibi.
Bu açıları seçerek bunların değişimlerini  inceleyeceğiz.
İnceledikten sonra artık grafiği   oluşturmuş olacağız.
Hemen bir örnekle bakın  daha iyi açıklamaya çalışalım.
Diyor ki bize   f(x) eşittir 3tan2x+1 fonksiyonunun grafiğini 0,  π/2 aralığında çiziniz.
Evet, yapmamız gereken   şey nedir?
Önce bunun periyodunu bulmak.
Tabii  ki sonrasında da bilindik açılarla değişimini   incelemek.
Hemen açıları inceleyebileceğimiz küçük  bir tablo ekranlarınıza getireyim.
Yukarıdaki   boşlukta da T eşittir diyeyim, periyodu birlikte  bulalım.
Ne demiştik?
π bölü mutlak c.
x'in   katsayısı 2 olduğu için mutlaka içerisinde 2  yazıyorum.
O da π/2'ye karşılık geliyor sevgili   arkadaşlar.
Fonksiyonun periyodunu bulduk.
Zaten  aralık.
Evet periyoda da uygun, hiçbir sorun yok.  Şimdi hangi açıları bulmaya çalışalım?
0, π/2   aralığında seçeceğim yalnız.
Dolayısıyla 0'la  başlıyorum.
Radyan cinsinden devam edeyim.
π/6,   sonrasında da işte π/4.
45 derece.
π/3, 60 derece  diyeyim ve π/2 diyelim bırakalım.
Sonrasında kimi   oluşturmaya çalışıyoruz?
Tanjant 2x yazayım  önce.
Sonrasında ne yapayım biliyor musunuz?
   ekleyeyim şöyle.
Evet, sonuçta ne oluşturmuş   olduk son satırda da?
Bana sorduğu f(x)'in, yani  şurası neymiş?
f(x)'in karşılıklarını, sonuçlarını   bulmuş olacağız orada.
Hemen 0'ı yerine yazıyorum.  Tanjant 0 biliyorsunuz 0'dır.
Alt satırda 3'le   çarpıp 1 topluyorum.
3 kere 0, 0.
1 topladım  yani tanjant π/3 olmuş oluyor.
O da kök 3'tür.
Ne  yapacağım bunu?
Hemen 3'le çarpacağım, 3 kök 3.   Sonrasında 1 ekleyeceğim sevgili arkadaşlar.  π/4'ü yazıyorum.
π/4 ama tanjant 2x'de yazınca 2   çarpı π/4'ten π/2 olmuş olacak.
Dolayısıyla orada  nedir?
Tanımsızdır.
Hemen, biliyorum ki artı ve   eksi sonsuzda bir asimptot olacak orada.
Asimptot  nedir?
Bu değerde fonksiyon tanımsız, görüntüsü   olmayacak.
Dolayısıyla alt satırda yine aynı  şekilde artı sonsuz eksi sonsuz değerleri bizim   karşımıza çıkacak.
Bunu birazdan grafikte  göstereceğiz beraber.
π/3'ü yazıyorum.
Tanjant   eksi kök 3'tür.
3'le çarpıyorum, eksi 3 kök 3   artı 1.
Onu da yazmış olduk.
π/2'yi yazıyorum.  şimdi bu değerleri isterseniz gelin birlikte   hemen grafikte dolduralım.
Hemen eksenlerimizi  işaretliyorum, x ve y ekseni.
Şurası 90 ve orijin,   başlangıç noktasını işaretledim.
Şimdi neydi  sevgili gençler?
0 verdiğimizde, x yerine 0   verdiğimizde y'si biliyorsunuz 1 çıkıyordu.  Dolayısıyla hemen y eksenini 1'de kesti.
Bunu göstermiş olduk.
Sonucu 1 çıkan bir değer daha  vardı.
Neydi o?
Hatırlayınız lütfen, π/2'ydi   değil mi?
90 dereceyi de yerine yazdığımızda aynı  görüntüyü vermiş oldu.
Zaten benden bu aralıktaki,   bakınız şuraya kadar olan 0, π/2 aralığından yani  nokta arasında kalan bölümün grafiği istiyordu.  Niye?
Bundan sonraki çünkü tekrar olmuş olacak.   Bakın, sağ tarafta bundan sonraki gördüğünüz  şuralar nokta nokta nokta üstünden gideyim   isterseniz.
Tekrarı olmuş oluyor, şeklin.
Aynı görüntüler çıkmış olacak karşımıza.
Peki ne   yaptık?
0'ı yazdık.
Şimdi, π/6 var biliyorsunuz.  Nedir o?
30 dereceye karşılık gelir ama π/4'te de   asimptotumuz var.
Bakın şu yukarıdan aşağı inen  nokta nokta nokta gösterdiklerimiz nedir?
Bakın,   bu ve bu arkadaşlar asimptottur.
Yani burada  fonksiyon ne oluyor aslında?
Tanımsız oluyor.
O   tanımsız olduğu değeri yazalım mı hemen birlikte  isterseniz?
π/4 olarak gösterelim.
Tabii bundan   önce hocam π/6 vardı, 3 kök 3 artı 1 çıkacaktı  sonucu.
Kesinlikle bakın, onu isterseniz şu   şekilde gösterebilirsiniz de.
Şurada ne var?
π/6  var, bu 30 derece.
Şu π/4 yani 45'ten daha biraz   daha küçük.
y'deki karşılığı ne oluyordu bunun?
  Hemen yazalım.
3 kök 3 artı 1 olmuş oluyordu.   Evet, şimdi tabii ki bunu 0 yapan bir değer yok  mu?
Neydi bu?
Şöyle yazayım isterseniz.
y eşittir   f(x) eşittir 3 tane tanjant 2x artı 1.
Tabii ki  var, bakın trigonometrik denklemlerde daha detaylı   ele alacağız bunu.
Şimdi nedir burada tanjant 2x  eksi 1 bölü 3 yapan değer?
Şurada bir yerde, tabii   ki x eksenini kestiği bir kök var ama karşılığını  tam olarak bilmediğimiz için orayı şu an boş   bırakıyoruz.
Doldurmamıza gerek yok.
Sonrasında  başka hangi değerler vardı?
İşte 45 dereceden   sonra biliyorsunuz bir de ne var orada?
π/3, 60  derecelik bir yer var.
60 derece de sonucu negatif   çıktığı için şurada bir yerde olmuş olacak.
Bakın  burada, hemen yazayım onu.
Nedir orası?
π/3'tür.   Şurada bir yerde bakın karşılığı çıkacak.  Bu karşılığı da hemen altına yazalım.
Eksi 3   kök 3 artı 1 olarak onu da doldurmuş olduk.  Evet, sevgili arkadaşlar bu sorumuzla birlikte   dersimizin de sonuna gelmiş olduk.
Bir sonraki  ders görüşmek üzere, kendinize çok iyi bakın.