Merhaba sevgili gençler, ekstremum noktalarla ilgili örnek çözümlerimize devam ediyoruz.
F(x) eşittir x kare eksi 2x eksi 8 fonksiyonunun eksi 4 3 kapalı aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
Bir kere F(x) fonksiyonumuz düzlemde bir parabol belirtir.
Yani bu soruyu parabol bilginiz ile de çözebilirsiniz.
Tepe noktasından maksimum ya da minimum değeri ne alıyordu?
Kolların aşağı yukarı olmasına göre.
Ama konumuz türev olduğu için ben türevden çözeceğim.
En büyük, en küçük değerlerden bahsettiği için ekstrem noktaları arıyorum.
Yani türev almam gerekiyor.
f türev x 2x eksi 2'dir ve türevi sıfır yapan tek katlı köklere bakmalıyız.
Buradan tek katlı kökümüzün bir olduğunu gördüm ve türevin işaret tablosunu yaparak bunun maksimum minimum olduğunu belirtmem gerekiyor.
Birin sağındaki solundaki işaretlerin bu en büyük dereceli terimi X.
X'in işareti pozitif, baş katsayısının işareti pozitif olduğu için sağ pozitif kökler işaret değiştirerek sola negatif yazdım.
Yani fonksiyon burada azalan, burada artan olmalıdır.
Azalandan artan geçtiği için x eşittir birde minimum değerini alır.
Arkadaşlar bakın tepe noktasından yapsaydınız da eksi b bölü iki a'dan bunun tepe noktasının apsisinin bir olduğunu görürsünüz.
Devam ediyorum.
Türevle.
X eşittir birde minimum değerini alması gerekir dedim.
x yerine 1 yazarak minimum değeri bulacağım.
Şimdi 1 eksi 2 eksi 8'den minimum değerimiz eksi 9 dur.
Arkadaşlar bu kesin minimumdur dedik.
Şimdi maksimuma bakalım.
Bu bir parabol olduğunu biliyoruz ve tamam burada minimum değerini aldı.
Şimdi maksimum değeri nerede alır?
Normalde reelden reele tanımlı olsaydı maksimum değeri soramaz.
Parabol bu sonsuza kadar giderlerdi ama bir sınır koyduğu için eksi 4 3 sınırı koyduğu için eksi 4 burası 3 burası olsun ikisinden birinde maksimum değerini alacak.
Üç daha büyük diye üç yazınca maksimum değerini alır demeyin, ikisinde yerine yazıp denememiz gerekiyor.
f eksi 4 eşittir x yerine eksi 4 koydum.
16 artı 8 eksi 8'den buradan 16 buldum.
x yerine 3 koyalım, bir de f 3 eşittir 9 eksi 6 eksi 8'den.
Bunun da eksi 5 olduğunu gördüm.
Bakın 16 daha büyük.
O zaman burada burası da maksimum değerimizdir.
Arkadaşlar en büyük, en küçük değerlerini bulmuş olduk.
Bakalım diğer örneğimizde.
F(x) eşittir x küp artı 2x kare eksi ax artı üç fonksiyonu ilk eksenini üç farklı noktada kestiğine göre A'nın alabileceği değer aralığını bulunuz dedik.
Şimdi bunun x eksenini üç farklı noktada kesmesi ne demek?
Onu yorumlayalım şöyle kabataslak x eksenini üç farklı noktada kesen bir fonksiyon çiziyorum.
Kesti ikinciyi kesti ve üçüncü kesti.
Şimdi dikkat edin x eksenini kestiğim bu noktada x eksenini kestim.
Sonra tekrar x'i kesmem için bir yerden dönüp x'e geri gelmem lazım.
O yüzden burada bir maksimum oluşması şart.
İkinci noktada kestim.
Sonra üçüncü bir noktada x'i tekrar kesmem için bir yerden dönüp tekrar x'e dönmem gerekiyor.
Yani burada bir minimum oluşması gerekiyor arkadaşlar.
O zaman F(x) fonksiyonunun bir tane maksimum, 1 tane minimum değeri vardır.
Yani iki tane ekstremum noktası vardır.
Yani türevini 0 yapan iki farklı kök vardır, iki farklı tek katlı kök vardır.
O zaman türevimizi alalım.
f türevi x eşittir 3x kare artı 4x eksi a bunu sıfır yapan arkadaşlar iki farklı değer varmış.
İki farklı değer olması ne demek?
Bu ikinci dereceden bir denklem.
O yüzden bunun deltası büyüktür sıfır olması demek.
Deltamız b kare eksi 4ac'den b'miz 4 yani on altı eksi 4.
a'sı 3, c de eksi a.
Bu sıfırdan büyük olacaksa on altı artı on iki a büyüktür sıfır dedik.
On iki a büyüktür eksi on altı Her iki tarafı 12'ye döndüğümüzde a büyüktür eksi on altı bölü on iki.
Yani a büyük olmalıdır eksi dört bölü üçten A'nın alabileceği değer aralığı soruldu.
O halde a elemanıdır hangi aralığın?
Eksi 4 bölü 3'ten büyük olacak eksi 4 bölü 3 dahil değil, eksi 4 bölü 3 sonsuz aralığında olmalıdır a değerleri.
Evet, son örneğimiz.
F(x) üçüncü dereceden baş katsayısı bir olan bir polinom fonksiyondur.
F(x)'in grafiğinin x eksenini kestiği üç noktadan ikisinin apsisi eksi üç ve eksi dörttür.
Bu ne demek arkadaşlar?
Bir fonksiyon x eksenini nerede keser?
F(x) fonksiyonu sıfır yapan yani köklerinde keser değil mi?
O zaman eksi üç ve eksi 4 bu polinom fonksiyonun kökleri imiş.
Onun altını çizelim, devam edelim.
F(x)'in ekstremum noktalarından birinin apsisi sıfırdır.
Bu ne demek?
F(x)'in türevini sıfır yapan bir değer sıfırmış.
Yani f türev sıfır sıfıra eşitmiş.
Ekstremum noktalardan birinin apsisi budur diyor.
X eksenini kesti, üçüncü noktayı bulun şimdi.
F(x) fonksiyonunun köklerinin ikisi eksi 3 ve eksi 4 olduğunu biliyorsan, F(x) fonksiyonun içinde kesinlikle x artı 3 ve x artı 4 çarpanların olması lazım.
Eksi 3 ve eksi 4 bunun kökü olacaksa bir kök daha var.
Üçüncü bir noktada daha geziyormuş onu bilmiyoruz.
Ona da x eksi a diyelim, A apsisli noktada kestin.
Baş katsayısının da 1 olduğunu söylemişti.
Normalde şuraya bir sayı yazmam lazım.
Benim bilmediğim için buraya bir a b bir rakam, harf koymalıydım ama başkatsayısının bir olduğunu söyledi.
Yani kesinlikle fonksiyonum budur arkadaşlar.
Şimdi ne demişti?
F(x) ekstrem noktalarından birinin apsisi sıfırdır.
Yani f türev 0 0 mış.
O zaman bu fonksiyonun türevini alıyor.
Burada çarpımının türevi gelecek.
Şimdi üç tane çarpım var.
O zaman birincinin türevi çarpı ikinci, üçüncü.
Birincinin türevi bir.
Çarpı ikinci ve üçüncü aynen yazıyoruz.
x eksi a artı ikincinin türevi yani x artı dördün türevi çarpı, diğerleri aynen yazıldı x artı üçüncünün türevi.
Üçüncünün türevi de birdir.
Çarpı birinci ve ikinci aynen yazılacak.
x artı üç çarpı x artı dört dedik.
Evet, burada x yerine 0 yazalım.
Şimdi f türev 0 eşittir.
Ne yapar?
Burada x yerine 0 yazdığınızda eksi 4a buradan gelir.
Burada 0 yazdığınızda eksi 3a da buradan gelir.
Burada 0 yazdığınızda da 12 gelir ve sonucumuz 0 olacakmış.
Eksi 7a eşittir eksi 7a artı on iki eşittir sıfır olacaksa buradan 7a eşittir 12 dir.
7a'yı sağa attım.
A'nın 12 bölü 7 olduğunu buldum.
Evet yani fonksiyonumda şurası.
Köklerimiz neydi?
Bir tanesi eksi üçtü, bir tanesi eksi dörttü, bir tanesinin de A olduğunu söylemiştik zaten.
Yani x eksenini kesti.
Üçüncü noktanın apsisi a'dır.
a'nın da 12 bölü yedi olduğunu buldum.
O zaman üçüncü noktamın apsisi arkadaşlar on iki bölü yedi olmalıdır.
F(x) eşittir x kare eksi 2x eksi 8 fonksiyonunun eksi 4 3 kapalı aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz.
Bir kere F(x) fonksiyonumuz düzlemde bir parabol belirtir.
Yani bu soruyu parabol bilginiz ile de çözebilirsiniz.
Tepe noktasından maksimum ya da minimum değeri ne alıyordu?
Kolların aşağı yukarı olmasına göre.
Ama konumuz türev olduğu için ben türevden çözeceğim.
En büyük, en küçük değerlerden bahsettiği için ekstrem noktaları arıyorum.
Yani türev almam gerekiyor.
f türev x 2x eksi 2'dir ve türevi sıfır yapan tek katlı köklere bakmalıyız.
Buradan tek katlı kökümüzün bir olduğunu gördüm ve türevin işaret tablosunu yaparak bunun maksimum minimum olduğunu belirtmem gerekiyor.
Birin sağındaki solundaki işaretlerin bu en büyük dereceli terimi X.
X'in işareti pozitif, baş katsayısının işareti pozitif olduğu için sağ pozitif kökler işaret değiştirerek sola negatif yazdım.
Yani fonksiyon burada azalan, burada artan olmalıdır.
Azalandan artan geçtiği için x eşittir birde minimum değerini alır.
Arkadaşlar bakın tepe noktasından yapsaydınız da eksi b bölü iki a'dan bunun tepe noktasının apsisinin bir olduğunu görürsünüz.
Devam ediyorum.
Türevle.
X eşittir birde minimum değerini alması gerekir dedim.
x yerine 1 yazarak minimum değeri bulacağım.
Şimdi 1 eksi 2 eksi 8'den minimum değerimiz eksi 9 dur.
Arkadaşlar bu kesin minimumdur dedik.
Şimdi maksimuma bakalım.
Bu bir parabol olduğunu biliyoruz ve tamam burada minimum değerini aldı.
Şimdi maksimum değeri nerede alır?
Normalde reelden reele tanımlı olsaydı maksimum değeri soramaz.
Parabol bu sonsuza kadar giderlerdi ama bir sınır koyduğu için eksi 4 3 sınırı koyduğu için eksi 4 burası 3 burası olsun ikisinden birinde maksimum değerini alacak.
Üç daha büyük diye üç yazınca maksimum değerini alır demeyin, ikisinde yerine yazıp denememiz gerekiyor.
f eksi 4 eşittir x yerine eksi 4 koydum.
16 artı 8 eksi 8'den buradan 16 buldum.
x yerine 3 koyalım, bir de f 3 eşittir 9 eksi 6 eksi 8'den.
Bunun da eksi 5 olduğunu gördüm.
Bakın 16 daha büyük.
O zaman burada burası da maksimum değerimizdir.
Arkadaşlar en büyük, en küçük değerlerini bulmuş olduk.
Bakalım diğer örneğimizde.
F(x) eşittir x küp artı 2x kare eksi ax artı üç fonksiyonu ilk eksenini üç farklı noktada kestiğine göre A'nın alabileceği değer aralığını bulunuz dedik.
Şimdi bunun x eksenini üç farklı noktada kesmesi ne demek?
Onu yorumlayalım şöyle kabataslak x eksenini üç farklı noktada kesen bir fonksiyon çiziyorum.
Kesti ikinciyi kesti ve üçüncü kesti.
Şimdi dikkat edin x eksenini kestiğim bu noktada x eksenini kestim.
Sonra tekrar x'i kesmem için bir yerden dönüp x'e geri gelmem lazım.
O yüzden burada bir maksimum oluşması şart.
İkinci noktada kestim.
Sonra üçüncü bir noktada x'i tekrar kesmem için bir yerden dönüp tekrar x'e dönmem gerekiyor.
Yani burada bir minimum oluşması gerekiyor arkadaşlar.
O zaman F(x) fonksiyonunun bir tane maksimum, 1 tane minimum değeri vardır.
Yani iki tane ekstremum noktası vardır.
Yani türevini 0 yapan iki farklı kök vardır, iki farklı tek katlı kök vardır.
O zaman türevimizi alalım.
f türevi x eşittir 3x kare artı 4x eksi a bunu sıfır yapan arkadaşlar iki farklı değer varmış.
İki farklı değer olması ne demek?
Bu ikinci dereceden bir denklem.
O yüzden bunun deltası büyüktür sıfır olması demek.
Deltamız b kare eksi 4ac'den b'miz 4 yani on altı eksi 4.
a'sı 3, c de eksi a.
Bu sıfırdan büyük olacaksa on altı artı on iki a büyüktür sıfır dedik.
On iki a büyüktür eksi on altı Her iki tarafı 12'ye döndüğümüzde a büyüktür eksi on altı bölü on iki.
Yani a büyük olmalıdır eksi dört bölü üçten A'nın alabileceği değer aralığı soruldu.
O halde a elemanıdır hangi aralığın?
Eksi 4 bölü 3'ten büyük olacak eksi 4 bölü 3 dahil değil, eksi 4 bölü 3 sonsuz aralığında olmalıdır a değerleri.
Evet, son örneğimiz.
F(x) üçüncü dereceden baş katsayısı bir olan bir polinom fonksiyondur.
F(x)'in grafiğinin x eksenini kestiği üç noktadan ikisinin apsisi eksi üç ve eksi dörttür.
Bu ne demek arkadaşlar?
Bir fonksiyon x eksenini nerede keser?
F(x) fonksiyonu sıfır yapan yani köklerinde keser değil mi?
O zaman eksi üç ve eksi 4 bu polinom fonksiyonun kökleri imiş.
Onun altını çizelim, devam edelim.
F(x)'in ekstremum noktalarından birinin apsisi sıfırdır.
Bu ne demek?
F(x)'in türevini sıfır yapan bir değer sıfırmış.
Yani f türev sıfır sıfıra eşitmiş.
Ekstremum noktalardan birinin apsisi budur diyor.
X eksenini kesti, üçüncü noktayı bulun şimdi.
F(x) fonksiyonunun köklerinin ikisi eksi 3 ve eksi 4 olduğunu biliyorsan, F(x) fonksiyonun içinde kesinlikle x artı 3 ve x artı 4 çarpanların olması lazım.
Eksi 3 ve eksi 4 bunun kökü olacaksa bir kök daha var.
Üçüncü bir noktada daha geziyormuş onu bilmiyoruz.
Ona da x eksi a diyelim, A apsisli noktada kestin.
Baş katsayısının da 1 olduğunu söylemişti.
Normalde şuraya bir sayı yazmam lazım.
Benim bilmediğim için buraya bir a b bir rakam, harf koymalıydım ama başkatsayısının bir olduğunu söyledi.
Yani kesinlikle fonksiyonum budur arkadaşlar.
Şimdi ne demişti?
F(x) ekstrem noktalarından birinin apsisi sıfırdır.
Yani f türev 0 0 mış.
O zaman bu fonksiyonun türevini alıyor.
Burada çarpımının türevi gelecek.
Şimdi üç tane çarpım var.
O zaman birincinin türevi çarpı ikinci, üçüncü.
Birincinin türevi bir.
Çarpı ikinci ve üçüncü aynen yazıyoruz.
x eksi a artı ikincinin türevi yani x artı dördün türevi çarpı, diğerleri aynen yazıldı x artı üçüncünün türevi.
Üçüncünün türevi de birdir.
Çarpı birinci ve ikinci aynen yazılacak.
x artı üç çarpı x artı dört dedik.
Evet, burada x yerine 0 yazalım.
Şimdi f türev 0 eşittir.
Ne yapar?
Burada x yerine 0 yazdığınızda eksi 4a buradan gelir.
Burada 0 yazdığınızda eksi 3a da buradan gelir.
Burada 0 yazdığınızda da 12 gelir ve sonucumuz 0 olacakmış.
Eksi 7a eşittir eksi 7a artı on iki eşittir sıfır olacaksa buradan 7a eşittir 12 dir.
7a'yı sağa attım.
A'nın 12 bölü 7 olduğunu buldum.
Evet yani fonksiyonumda şurası.
Köklerimiz neydi?
Bir tanesi eksi üçtü, bir tanesi eksi dörttü, bir tanesinin de A olduğunu söylemiştik zaten.
Yani x eksenini kesti.
Üçüncü noktanın apsisi a'dır.
a'nın da 12 bölü yedi olduğunu buldum.
O zaman üçüncü noktamın apsisi arkadaşlar on iki bölü yedi olmalıdır.
